[obm-l] Questão da UCB - DF

[Vanderlei Nemitz]

Considere um cubo ABCDEFGH no qual ABCD é uma face com 16 cm² de área, AE e
BH são arestas e AG é uma diagonal do cubo.
Considere que, em cada um de seus vértices, serão pintados três triângulos
retângulos de mesma cor, cada um sobre uma das faces para as quais aquele
vértice é comum, com o vértice do ângulo reto sendo o vértice do cubo, e
com 0,4 cm em cada um de seus catetos. Cada um dos vértices será pintado em uma
única cor, distinta de todas as outras. A partir daí, serão escolhidos três
de seus vértices para que se faça uma truncagem do cubo. Truncar um sólido
significa fazer nele um ou mais cortes planos. Neste caso, serão feitos
exatamente três cortes planos sobre arestas que convergem em um mesmo
vértice, e tais cortes serão feitos a 0,4 cm de distância dos vértices
escolhidos. Calcule o total de poliedros distintos que se pode obter, a
partir do cubo, ao fazer os cortes citados, considerando que um poliedro
difere de outro também pelas cores nas quais alguns de seus vértices estão
pintados.
RESPOSTA = 56

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo)

[Hermann]

Poderiam me explicar essa passagem
 13*x = 2*10n - 8 ? 10n = 4 mod 13 
obrigado
 Hermann
  - Original Message - 
  From: Willy George Amaral Petrenko 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, September 14, 2013 11:34 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo)


  Ou resolva a equação em N:


  (10*x+6)*4 = 6*10n + x ? 39*x + 24 = 6*10n ? 13*x = 2*10n - 8 ? 10n = 4 mod 
13 ? n = 5 + 12k. Logo o menor n é 5 e o menor número é (2*105 - 8)/13 = 15384  
Obviamente vc adiciona o 6 depois: 153846



  2013/9/14 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com

Escreva a multiplicacao que nem a gente fazia lah na 4a serie:
_6
  x4
6_


Agora vah fazendo a multiplicacao. 6x4=24, entao poe o 4, vai 2.
Mas, se eh 4 ali embaixo, eh 4 do lado esquero do 6. Entao fica algo assim:
46
   x4
64
Agora 4x4=16, mais 2, dah 18. Entao poe o 8 no resultado E TAMBEM DO LADO 
DO 4 NA PRIMEIRA LINHA (e vai 1).
___846

   x4
6___84
4x8=32, +1=33. O proximo eh 3. Continue assim achando os digitos da direita 
para a esquerda: 5, 1... E entao o proximo eh 6, que PODE ser aquele 6 inicial! 


Assim, o menor numero inteiro n eh 153846.


Abraco,
Ralph





2013/9/14 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes propriedades:
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  I. Em sua representação tem o 6 como último dígito
  II.Se o último dígito(6) é apagado  e colocado na frente dos dígitos 
restantes,o número resultante
  é quatro vezes maior que o número original n

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Re: [obm-l] Primos

[terence thirteen]

Outra forma é notar que se aplicarmos só a^2+4, uma hora introduziremos um
divisor de a.


Em 12 de setembro de 2013 11:52, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Eu consegui,muito obrigado.

 --
 From: rgc...@gmail.com
 Date: Wed, 11 Sep 2013 15:13:55 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Primos
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Você já tentou módulo 2, 3, 4 e não deu...
 Agora rode outra iteração e tente módulo 5 =)

 []s



 2013/9/11 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Os primos são da forma 6k+1 ou 6k+5.Se multiplicarmos dois primos,um da
 primeira forma e outro da segunda,e adicionarmos 4 ao resultado,obteremos
 um múltiplo de 3 que não é primo.
 Se multiplicarmos os dois da primeira forma e adicionarmos 4,encontraremos
 um número da segunda forma e ai poderemos aplicar o procedimeto anterior.
 Mas se multiplicarmos os dois da segunda forma(6k+5) e adicionarmos
 4,obteremos,ainda,um número
 dessa mesma forma.
 Pensei em números primos das formas 3k+1 e 3k+2 ou 4k+1 e 4k+3 e por esse
 caminho não deu ainda
 para mostrar o que foi pedido.

  Date: Wed, 11 Sep 2013 08:24:59 -0300
  Subject: Re: [obm-l] Primos
  From: bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  2013/9/11 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
  
   Seja S um conjunto de primos tal que a,b E S(a e b não precisam ser
 distintos) implica (ab+4) E S
   Mostre que S tem que ser vazio.
  
   Parece que há algo errado com o enunciado
   3 e 5 são primos e 3.5+4 = 19 é primo.
   Uma opinião?
  Bom, note que como 5 e 19 estarão em S, daí 5*19 + 4 = 99 também. Mas
  99 não é primo.
 
  Abraços,
  --
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de radicais irracionais é irracional

[terence thirteen]

Então a ideia é provar que o número está num corpo fora de Q? É, parece bem
mais ousada...



Em 9 de setembro de 2013 05:21, Willy George Amaral Petrenko 
wgapetre...@gmail.com escreveu:

 O caso geral é meio complicado. Mas vou dar uma ideia de como se prova que
 √2 + 3√3 é irracional.

 Primeiro introduzimos o conjunto Q[√2], que é o menor corpo que contem
 tanto Q quanto √2. Ele é formado pelos caras da forma a + b√2, onde a,b ∈
 Q. Suponha que √2 + 3√3 ∈ Q[√2]. Então existem a,b tal que √2 + 3√3 = a +
 b√2. Mas então temos que 3√3 ∈ Q[√2] também. Daí temos a,b ∈ Q com 3 = (a
 + b√2)3⇒ 3 = a3. Prossiga de maneira similar a prova tradicional de que 3√
 3 é irracional. Mas nesse caso vc prova √2 +3√3 não pertence a Q[√2]. Mas
 como Q ⊂ Q[√2], temos a resposta.

 Bem, alguns passos são não triviais, mas essa é a ideia.




 2013/9/7 terence thirteen peterdirich...@gmail.com

 Complicadinho...

 Primeiro, dá para supor que a1/m e b1/n estão reduzidos.

 Acho que a forma seria obter um polinômio que tenha esta soma como raiz,
 e provar que nenhum racional pode ser raiz deste polinômio.

 Por exemplo,

 21/2+31/3=x
 81/6+91/6=x

 Assim, podemos de alguma forma supor que x é raiz de um polinômio de grau
 6(acho que alguma coisa relacionada a Álgebra Linear pode provar isto).

 De qualquer forma, calculamos xn, com n de 1 até 6, e tentamos obter
 alguma combinação linear entre as alternativas, para daí obter o polinômio
 de grau 6. MAS como demonstrar que nenhum racional pode ser raiz deste
 polinômio?






 Em 26 de agosto de 2013 19:19, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu:

 Caros Colegas,

 Sendo a, b, m e n inteiros positivos tais que a1/m e b1/n são
 irracionais, como podemos provar que a soma a1/m + b1/n também é
 irracional?

 Abraços do Ennius!
 __
 Â

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[obm-l] Re: Função periódica.

[Francisco Lage]

Alguém pode me ajudar?


Em 14 de setembro de 2013 15:51, Francisco Lage
franciscou...@gmail.comescreveu:


 Alguem pode me ajudar ?
 --


 Francisco Lage




-- 


 Francisco Lage
ITA  T -16

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[obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo)

[Nilson Carvalho]

Sabemos que n pode ser escrito como 10k+6, logo, 4n pode ser escrito
como 40k+24 = 10k'+4.
Como o último algarismo de 4n é 4, o penúltimo algarismo de n é 4:

n então pode ser escrito como 100k + 46 - 4n pode ser escrito como 400k +
184 = 100k' + 84

n então pode ser escrito como 1000k + 846 - 4n pode ser escrito como 4000k
+ 3384 = 1000k' + 384

n então pode ser escrito como 1k + 3846 - 4n pode ser escrito como
4k + 15384 = 1k' + 5384

n então pode ser escrito como 10k + 53846 - 4n pode ser escrito como
10k' + 15384

n então pode ser escrito como 100k + 153846 - 4n pode ser escrito como
100k' + 615384 - Satisfaz para k = k' = 0

n = 153846.











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[obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo)

[Carlos Victor]

Olá Marcone,

Na hipótese de que quatro vezes maior significa o quádruplo , teremos :

Seja N = y..y6, o número procurado, em que y representa algarismos não
necessariamente iguais . Podemos escrever  N = 10X + 6 .

Logo  4N = 6.(10^n) + X  = 6.( 10^n) + ( N -6)/10 ; ou seja ,

N = 2( 10^(n+1) -1)/13.

Como  10^3 = -1(mod13) , então o menor  N = 2(10^6-1)/13 = 153846 .

Abraços

Carlos  Victor


Em 14 de setembro de 2013 19:15, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes propriedades:
 I. Em sua representação tem o 6 como último dígito
 II.Se o último dígito(6) é apagado  e colocado na frente dos dígitos
 restantes,o número resultante
 é quatro vezes maior que o número original n

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[obm-l] RE: RES: [obm-l] Fatores 3

[dnasimento]

O teorema de lagrange ajuda a responder esse problema!Seja n! = n.(n-1).(n-2). ... .2.1 e k o fator primo que queremos determinar a quantidade, entãoLk = n/k + n/k^2 + n/k^3 +...Devemos parar as divisões quando a potência do denominador for maior que o denominador. Caso a divisão não seja exata, tomamos a parte inteira .Em hoje 00:03 Benedito  escreveu:Observe que, no produto 3.9.15...99 existem 17 fatores, pois 3,9,15,...,99 estão em progressão aritmética de razão 6.De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de faraujoco...@yahoo.com.brEnviada em: sábado, 7 de setembro de 2013 20:52Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Fatores 3Perdão. Sao nos inteiros. A única coisa que não entendi foi o expoente 17. Enviado via iPhoneEm 07/09/2013, às 20:30, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:Um terço tem o fator 3Um nono tem o fator 9Um 27-avos tem o fator 27E assim por diante...Em 7 de setembro de 2013 18:24, Benedito bened...@ufrnet.br escreveu:Resposta 32.( 1.3.5.7.9. ... .99 ) = (3.9.15...99)(1.5.7...97) = 3^17(1.3.5...33). (1.5.7...97) = 3^17.(3.9.15...33)(1.5.7...97)                  = 3^17.3^11.(1.3.5.7.9.10.11).(1.5.7...97) = 3^28.(3.6.9).(1.5.7.10.11). )(1.5.7...97) = 3^28. 3^3(1.2.3).(1.5.7.10.11). )(1.5.7...97) =                  = 3^32 (1.2) .(1.5.7.10.11). )(1.5.7...97-Mensagem original-De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de faraujoco...@yahoo.com.brEnviada em: sábado, 7 de setembro de 2013 13:32Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Fatores 3Olá.Tenho uma duvida p. discutirmos.Fatorando o produto dos 100 primeiros impares qual quantidade máxima de fatores 3?( 1.3.5.7.9. ... .99 ) = 3^k [k max.]Enviado via iPhone--Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv rus e Âacredita-se estar livre de perigo.=Instru Âes para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=--Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus eÂacredita-se estar livre de perigo.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=-- /**/神が祝福Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�s e acredita-se estar livre de perigo. --
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
===

Re: [obm-l] RE: RES: [obm-l] Fatores 3

[faraujocosta]

Acontece que o produto não é dos inteiros consecutivos e so  dos impares. 

Enviado via iPhone

Em 16/09/2013, às 00:08, dnasime...@terra.com.br escreveu:

 O teorema de lagrange ajuda a responder esse problema!
 
 Seja n! = n.(n-1).(n-2). ... .2.1 e k o fator primo que queremos determinar a 
 quantidade, então 
 
 Lk = n/k + n/k^2 + n/k^3 +...
 
 Devemos parar as divisões quando a potência do denominador for maior que o 
 denominador. Caso a divisão  não seja exata, tomamos a parte inteira . 
 
 
 Em hoje 00:03 Benedito escreveu:
 Observe que, no produto 3.9.15...99 existem 17 fatores, pois 3,9,15,...,99  
 estão em progressão aritmética de razão 6.
 
  
 
 De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
 faraujoco...@yahoo.com.br
 Enviada em: sábado, 7 de setembro de 2013 20:52
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: Re: [obm-l] Fatores 3
 
  
 
 Perdão.  Sao nos inteiros.  
 
 A única coisa que não entendi foi o expoente 17.  
 
 Enviado via iPhone
 
 
 Em 07/09/2013, Ã s 20:30, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Um terço tem o fator 3
 
 Um nono tem o fator 9
 
 Um 27-avos tem o fator 27
 
  
 
 E assim por diante...
 
  
 
 Em 7 de setembro de 2013 18:24, Benedito bened...@ufrnet.br escreveu:
 
 Resposta 32.
 ( 1.3.5.7.9. ... .99 ) = (3.9.15...99)(1.5.7...97) = 3^17(1.3.5...33). 
 (1.5.7...97) = 3^17.(3.9.15...33)(1.5.7...97)
 Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  = 
 3^17.3^11.(1.3.5.7.9.10.11).(1.5.7...97) = 3^28.(3.6.9).(1.5.7.10.11). 
 )(1.5.7...97) = 3^28. 3^3(1.2.3).(1.5.7.10.11). )(1.5.7...97) =
 Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  Â  = 
 3^32 (1.2) .(1.5.7.10.11). )(1.5.7...97
 
 -Mensagem original-
 De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
 faraujoco...@yahoo.com.br
 Enviada em: sábado, 7 de setembro de 2013 13:32
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: [obm-l] Fatores 3
 
 
 Olá.
 Tenho uma duvida p. discutirmos.
 Fatorando o produto dos 100 primeiros impares qual quantidade máxima 
 de fatores 3?
 
 ( 1.3.5.7.9. ... .99 ) = 3^k [k max.]
 
 Enviado via iPhone
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