[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ternas pitagóricas
x^2+(x+1)^2 = z^2 2x^2+2x+1 = z^2 4x^2+4x+2 = 2z^2 ((2x)^2 + 2*(2x) +1) +1 = 2z^2 (2x+1)^2 +1 = 2z^2 Basta usar algo sobre equações de Pell - acho que precisa modificar a fim de obter todas as soluções. Em 22/02/14, Bernardo Freitas Paulo da Costabernardo...@gmail.com escreveu: 2014-02-22 8:07 GMT-03:00 jjun...@fazenda.ms.gov.br: - Mensagem Original - [obm-l] Ternas pitagóricas Existe alguma terna pitagórica cujos dois menores termos são números consecutivos,além de (3,4,5)? Se não errei... há o terno: 20, 21 e 29. Outro é 119, 120 e 169. Exato. A equação é a^2 + (a+1)^2 = c^2. Usando a substituição z = a + 1/2, ela se torna (z - 1/2)^2 + (z + 1/2)^2 = c^2 2z^2 + 1/2 = c^2 4z^2 + 1 = 2c^2 Chamando y = 2z, isso dá uma equação de Pell: y^2 + 1 = 2c^2 Note que y é inteiro porque z é inteiro mais meio. Essa equação tem infinitas soluções, por exemplo continuando as suas: 696^2 + 697^2 = 985^2 4059^2 + 4060^2 = 5741^2 23660^2 + 23661^2 = 33461^2 137903^2 + 137904^2 = 195025^2 803760^2 + 803761^2 = 1136689^2 4684659^2 + 4684660^2 = 6625109^2 27304196^2 + 27304197^2 = 38613965^2 159140519^2 + 159140520^2 = 225058681^2 927538920^2 + 927538921^2 = 1311738121^2 5406093003^2 + 5406093004^2 = 7645370045^2 Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
Quanto ao último, 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) Acho que dá para aplicar rearranjo, não? Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por simetria, x=y=z. Temos x^2+y^2+z^2 = x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 =0 E também, x^2+yz+zy = xy+yz+zy Demonstre da mesma forma! Agora, temos que ver os sinais... Em 21/02/14, Tarsis Esautarsise...@gmail.com escreveu: Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema do Cavalo
Uma pergunta além: você quer saber quantas casas foram atingidas ao final do percurso, certo? No seguinte sentido: No primeiro passo, ele pode atingir até 4 casas. Na segunda, estas 4 casas não contam mais, mas apenas os lugares a partir do qual elas chegam. Em 19/02/14, Beneditobened...@ufrnet.br escreveu: OK Bernado. Vou dar uma olhada. Obrigado. Benedito -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: terça-feira, 18 de fevereiro de 2014 18:00 Para: Lista de E-mails da OBM Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo 2014-02-18 14:30 GMT-03:00 Benedito bened...@ufrnet.br: É infinito nos quatro quadrantes, que é para permitir muitos movimentos. De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de terence thirteen Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2014 08:16 Para: obm-l Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo Ele é infinito nos quatro quadrantes? Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar antes... Eu tenho uma idéia de solução no braço. Supondo que a questão seja: Qual é o número de casas diferentes em que um cavalo pode terminar uma seqüência de N movimentos. Assim, para n = 1, temos 8 casas (brancas), e para n = 2 temos 33 casas (pretas, incluindo a casa preta original!). Para n maior, a seqüência fica assim (feito num computador, na marra): 8; 33; 76; 129; 196; 277; 372; 481; 604; 741; 892; 1057; 1236; 1429; ... Agora, vem o chute principal (que é o que vai ajudar a gente a fazer indução): Calcule as diferenças sucessivas dos elementos! Isso dá: 25; 43; 53; 67; 81; 95; 109; 123; 137; 151; 165; 179; 193; ... Ainda não parece bom ? Não tem problema... Mais uma vez, faça as diferenças: 18; 10; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; ... Ah ! Parece que é uma PA de segunda ordem, a partir de um certo ponto... Vamos entender essa idéia. No longo prazo, o cavalo vai se afastando do centro, e portanto ele pode cobrir uma área no máximo proporcional a N^2. Isso por si só já justifica tentar achar uma PA de segunda ordem. O que é interessante é que a parte perto do centro (depois do início, onde ainda há um monte de buracos meio aleatórios) estará completamente coberta depois de um certo tempo, e o que interessa é o que acontece nas coroas. Agora, tem que justificar que as coroas têm uma espessura constante depois de passada a parte transiente inicial. Como eu usei um computador, e posso calcular mais do que n = 10 (por exemplo n = 100) e os 14 continuam até esse ponto. Para mim, isso é mais do que suficiente para eu ter certeza que a resposta é essa, mas admito que falta um argumento garantindo que basta observar um número finito de passos para acertar a recorrência. Eu diria que, como um cavalo completa a vizinhança do ponto inicial (o 3x3 em volta da origem) em uma quantidade finita de passos (basta chegar na profundidade 3 do grafo do Torres) a recorrência não pode ser de ordem muito maior do que isso. Para melhorar, veja que a partir de 3 passos, o que temos é um octógono, TODO preenchido, dos quadrados brancos (que são os únicos em que o cavalo pode estar!). Daí pra frente, não é difícil ver que a cada etapa teremos um octógono com lado aumentando de 1 a cada vez. Veja também que a partir do 3o termo da segunda diferença, só tem 14. Não é coincidência. Agora, eu deixo a indução para você completar! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = --- Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus está ativa. http://www.avast.com -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
Olá pessoal, posso fazer o que está descrito a seguir no terceiro problema ? Sabemos que x^2+y^2+z^2 ** xy+xz+yz e na hipótese de que xy+xz+yz não seja nulo, teremos : (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** 1/2 , para xy+xz+yz 0 e (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** -1/2 , para xy+xz+yz 0 . Daí F(x,y,z) varia de [-1/2, 0[ união [1/2,+infinito[ . Pacini Em 24 de fevereiro de 2014 12:43, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Quanto ao último, 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) Acho que dá para aplicar rearranjo, não? Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por simetria, x=y=z. Temos x^2+y^2+z^2 = x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 =0 E também, x^2+yz+zy = xy+yz+zy Demonstre da mesma forma! Agora, temos que ver os sinais... Em 21/02/14, Tarsis Esautarsise...@gmail.com escreveu: Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
Pacini, vc tem que retirar os casos de que x+y+z =0 , ok ? Carlos Victor Em 24 de fevereiro de 2014 16:44, Pacini Bores pacini.bo...@globo.comescreveu: Olá pessoal, posso fazer o que está descrito a seguir no terceiro problema ? Sabemos que x^2+y^2+z^2 ** xy+xz+yz e na hipótese de que xy+xz+yz não seja nulo, teremos : (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** 1/2 , para xy+xz+yz 0 e (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** -1/2 , para xy+xz+yz 0 . Daí F(x,y,z) varia de [-1/2, 0[ união [1/2,+infinito[ . Pacini Em 24 de fevereiro de 2014 12:43, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Quanto ao último, 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) Acho que dá para aplicar rearranjo, não? Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por simetria, x=y=z. Temos x^2+y^2+z^2 = x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 =0 E também, x^2+yz+zy = xy+yz+zy Demonstre da mesma forma! Agora, temos que ver os sinais... Em 21/02/14, Tarsis Esautarsise...@gmail.com escreveu: Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
Oi Carlos Victor, Se x+y+z =0 , teríamos F(x,y,z)= -1, o que não está no intervalo que encontrei. Certo ou não ? Pacini Em 24 de fevereiro de 2014 16:51, Carlos Victor victorcar...@globo.comescreveu: Pacini, vc tem que retirar os casos de que x+y+z =0 , ok ? Carlos Victor Em 24 de fevereiro de 2014 16:44, Pacini Bores pacini.bo...@globo.comescreveu: Olá pessoal, posso fazer o que está descrito a seguir no terceiro problema ? Sabemos que x^2+y^2+z^2 ** xy+xz+yz e na hipótese de que xy+xz+yz não seja nulo, teremos : (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** 1/2 , para xy+xz+yz 0 e (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) ** -1/2 , para xy+xz+yz 0 . Daí F(x,y,z) varia de [-1/2, 0[ união [1/2,+infinito[ . Pacini Em 24 de fevereiro de 2014 12:43, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Quanto ao último, 3) Se x,y,z são números reais não nulos,com x+y+z também não nulo Calcule os valores possíveis da expressão F(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)/2(xy+yz+xz) Acho que dá para aplicar rearranjo, não? Primeiro, por homogeneidade, supunhetemos que x+y+z=1. Segundo, por simetria, x=y=z. Temos x^2+y^2+z^2 = x^2+yz+zy, afinal basta subtrair: (x^2-x^2) + (y^2-yz) + (z^2-zy) = 0 + y(y-z) + z(z-y) = (z-y)^2 =0 E também, x^2+yz+zy = xy+yz+zy Demonstre da mesma forma! Agora, temos que ver os sinais... Em 21/02/14, Tarsis Esautarsise...@gmail.com escreveu: Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² =0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau tarsise...@gmail.com: Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e Deveria ser ou, mas você agiu como se fosse ou. Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n =0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0=a=33, 0 =b=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada m existem três soluções n possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n = 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n = 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
