Boa tarde!
Seja x = 10^k , K* Ɛ |N* ==> x* Ɛ |N* (fechamento da adição, multiplicação
e potência em* |N*) ==> x *Ɛ |N**+ *(pois x * ≠ *0) ==> log x = K *Ɛ |N**, *
atende
*.*
Vamos supor:
y *Ɛ |N* e z *Ɛ Q *e z* € |N.* logo z pode ser escrito em forma irredutível
z = p/q, onde m.d.c.(p,q) = 1 e q* ≠ *1.
log y = z ==> y = 10^(p/q) ==> y^q= 10^p ==> y^q - 10^p =0 como y y *Ɛ |N *==>
y *Ɛ Q*+ ==> Existe a,b *Ɛ |N *e m.d.c. (a,b)=1 tal que y = a/b ==>
==> a | 10^p e b | 1==> b= 1 e a = 2^s.5^t , s,t *Ɛ |N* e s <= p e t ,= p
==> y = 2^s.5^t (i)
(i) e y^q = 10^p ==> 2^(sq).5^(tq) = 10^p pela fatoração única sq = p (ii)
(ii) ==> q | p absurdo, pois m.d.c.(p,q) = 1 e q* ≠ *1 (atentar que
quando q = 1 é o caso da solução é inteira)
Logo: O log decimal de um número inteiro positivo é racional se e somente
se o log decimal desse número é inteiro.
Se não é inteiro nem racional ==> é irracional.
Logo para todo x *Ɛ |N *e x *€ {* w | w = 10^k e k *Ɛ |N} *==> log x é
irracional.
Creio que esteja correto, pois, log é uma função de |R+ em |R.
e *|R* pode ser escrito como a união de três conjuntos disjuntos :Inteiros,
racionais não inteiros e irracionais.
Saudações
PJMS
Em 24 de abril de 2014 13:01, Pedro Chaves <brped...@hotmail.com> escreveu:
> Prezados Colegas,
>
> Como podemos provar que o logaritmo decimal de um número inteiro positivo
> ou é um número inteiro ou é um número irracional?
>
> Abraços do Pedro Chaves!
> __________________________________________
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