2014-05-05 22:04 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Como determinar as soluções reais do seguinte sistema?
x^3 - 3x = y
y^3 - 3y = z
z^3 - 3z = x
Por substituição. A primeira dá y em função de x, a segunda dá z em
função de y (logo de x), o que dá uma equação de grau 27 (se não errei
as contas) para x. Ache as 27 soluções e, se x for real, as equações
acima dão que y e z também serão reais.
Moleza! (Se você tem um computador ou o Wolfram Alpha). Senão, você
pode tentar o critério de raízes racionais para ver se tem alguma
raíz fácil.
Nesse caso particular, você pode usar a simetria do problema para
ajudar. Veja que, se x = y, y = x^3 - 3x = y^3 - 3y = z, ou seja os
três são iguais. Daí, você tem que resolver uma equação simples
x^3 = 4x = x = 0 ou x^2 = 4 = x = 0, -2, 2. Isso dá três soluções.
Agora, considere a função f(t) = t^3 - 4t, que é crescente para t 2.
Se x 2, y = x + f(x) x + f(2) x. Daí, z = y + f(y) y + f(2)
y. Enfim, x = z + f(z) z + f(2) z y x. Absurdo. A mesma coisa
vale para x -2. Daí, basta ver se há raízes para -2 x 2, além de
x = 0. Eu fiz uns esboços do gráfico de g(t) = t^3 - 3t, parece que há
outras soluções, mas não sei como calcular sem usar o polinômio de 27o
grau.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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