2014-04-28 11:43 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com:
Bom dia!
Por intuição a ordem decrescente é assim:
n! , (log n)^n e n^logn.
log de n torna o expoente n e embora a base seja bem menor no final das
contas o segundo termo deve ser maior que o primeiro.
É fácil observar que: n! tem pelo menos 0,5 * n termos com valores =
0,5 n (i) como n é muito grande é bem provável que seja o primeiro
Porém, deveremos provar:
Sejam a1 = n!, a2 = (logn)^n e a3 = n^logn, onde n= 2010^2010.
Como log a x é uma função monótona crescente para a 1 temos que:
loga logb == ab.
log a2 = n.log(logn)= 2010^2010*log(2010*log2010)
log a3=(log n)^2=(2010*log2010)^2
É fácil verificar que a2 a1.
2010^2010*(log2010+log(log2010)) (2010*log2010)^2
Lembrar que log 2010 Ɛ (3,4).
Por (i) temos que: n! (n/2)^(n/2); pois todos os fatores de n! são
inteiros e positivos.
Seja y= (n/2)^(n/2) == log y = (n/2). (log n – log 2) ==
== log y = 0.5*(2010^2010)*(2010*log2010-log 2)
log y log a2 (ii), pois: 0.5*(2010*log2010 – log 2)
log2010+log(log2010)
Atentar que (log 2010 + log(log(2010)) Ɛ (3,5)
De (ii) temos que y a2. Como a1 y == a1 a2.
Portanto, em ordem decrescente n! , (log n)^n e n^logn.
Saudações,
PJMS
Em 24 de abril de 2014 00:36, ruymat...@ig.com.br escreveu:
Errata: Na verdade gostaria de colocar em ordem crescente os números:
n^logn , n! e (logn)^n sabendo-se que n= 2010^2010. Desculpem-me. Agradeço
antecipadamente a quem ajudar. Abraços
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acredita-se estar livre de perigo.
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