Re: [obm-l] OPM 2001...
Bom dia! Saulo, Na verdade você tem que retitar todos os fatores 10, ou seja dividir 50! por 10^m, onde 10^m || 50! ( || significa divide exatamente, não restará nenhum fator 10 após a divisão) Para 50!, m vale 12. Observe que não é tão períodico assim. Quando você faz a primeira parte, isso é os fatores Ɛ [1,9] ᴒ |N. Só há um fator 10, 5 x2, portanto vai gerar: como último algarismo 8. Está correto. Porém, quando considermaos os fatores Ɛ [11,19] ᴒ |N. Teremos 15 x 12 =180 tirando o fator 10, resta 8 como último algarismo. e ainda temos os demais fatores que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 8 obtido, ou seja 8*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 Considerando os fatores Ɛ [21,29] ᴒ |N. Teremos apenas 25x24=600, e vai gerar 6 como último algarismo. Utilizando 6 e os demais fatores,que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 6 obtido, ou seja 6*1*2*3*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 Para os fatores Ɛ [31,39] ᴒ |N. Teríamos 35*2 =70, portanto 7. E os restantes como já explicado, 7*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 6 mod10 Ou seja, a suposição que o último algarismo não nulo de cada produto abaixo é constante (que o levou a 8^5), está errada. 1*2*3*4*5*6*7*8*9 11*12*13*14*15*16*17*18*19 21*22*23*24*25*26*27*28*29 . 41*41*43*44*45*46*47*48*49* A resposta correta é *dois.* Saudações, PJMS Em 26 de maio de 2014 15:35, saulo nilson saulo.nil...@gmail.com escreveu: 1*2*3*4*5=20 6*7*8*9=54 4*2=8 como aparece 5 vezes essa sequencia de multiplicaçoes 8^5=8 10*20*30*40*50=20 20*8=160== ultimo digito 6 2014-05-25 19:09 GMT-03:00 ruymat...@ig.com.br: Obrigado pela ajuda. Foi de muita valia. Abraços. Em 20/05/2014 12:16, terence thirteen escreveu: UMA coisa: um problema de uma olimpíada russa era demonstrar que este último dígito não forma uma sequência periódica. Em 20 de maio de 2014 12:16, terence thirteen peterdirich...@gmail.comescreveu: Bem, leva um certo tempo para entender a ideia. Mas realmente não é complicado. O que você quer é simplesmente calcular este produto, mas sem levar em conta os dois e cincos nele. Indo devagar: imagina que você já fez essa conta (ou mandou o GNU bc ou o GNU Pari fazer por você), e depois fatorou essa bagaça. Se você for ver, o total de zeros deste numerão aí são todos provenientes dos fatores 2 e 5 da fatoração de 50!. Então, fazemos assim: Fatoramos, e separamos os fatores 2 e 5; Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa potência sem dó! Os fatores ímpares que ficaram, multiplicamos seus últimos dígitos A potência de 2 que sobrou, Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa potência sem dó! Daí, os fatores 2 que sobrarem, multiplicamos! Vou fazer pro 20 pra tu ter uma ideia: 01*02*03*04*05 = 8*5 * 3 06*07*08*09*10 = 32*5* 189 11*12*13*14*15 = 8*5 * 9009 16*17*18*19*20 = 128*5 * 2907 Daí fica mais fácil... Em 19 de maio de 2014 12:42, ruymat...@ig.com.brescreveu: Determinar o último algarismo não nulo de P=1x2x3x4x5...x48x49x50. Eu gostaria de saber se podemos descobrir isso sem fazer multiplicações para cada grupo de dez números ( 1x2x3x...x10=...800; 11x12x13...x20=...800..0; 21x22x23...x30=...200...0). Se é um exercício de olimpíada nível dois, fase final, acho que não deve ser feito fazendo-se cálculos laboriosos, ou seja, deve ter um jeito fácil. Agradeço antecipadamente quem resolver de um modo melhor que o exposto acima. Abraços. RS. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OPM 2001...
porque nao contou com os multiplos de 10, se tem o segundo algarismo que influencia no digito nao nulo. 10*20*30*40*50=120*10^5=ultimo digito 2 nao nulo. 2014-05-27 11:03 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com: Bom dia! Saulo, Na verdade você tem que retitar todos os fatores 10, ou seja dividir 50! por 10^m, onde 10^m || 50! ( || significa divide exatamente, não restará nenhum fator 10 após a divisão) Para 50!, m vale 12. Observe que não é tão períodico assim. Quando você faz a primeira parte, isso é os fatores Ɛ [1,9] ᴒ |N. Só há um fator 10, 5 x2, portanto vai gerar: como último algarismo 8. Está correto. Porém, quando considermaos os fatores Ɛ [11,19] ᴒ |N. Teremos 15 x 12 =180 tirando o fator 10, resta 8 como último algarismo. e ainda temos os demais fatores que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 8 obtido, ou seja 8*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 Considerando os fatores Ɛ [21,29] ᴒ |N. Teremos apenas 25x24=600, e vai gerar 6 como último algarismo. Utilizando 6 e os demais fatores,que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 6 obtido, ou seja 6*1*2*3*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 Para os fatores Ɛ [31,39] ᴒ |N. Teríamos 35*2 =70, portanto 7. E os restantes como já explicado, 7*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 6 mod10 Ou seja, a suposição que o último algarismo não nulo de cada produto abaixo é constante (que o levou a 8^5), está errada. 1*2*3*4*5*6*7*8*9 11*12*13*14*15*16*17*18*19 21*22*23*24*25*26*27*28*29 . 41*41*43*44*45*46*47*48*49* A resposta correta é *dois.* Saudações, PJMS Em 26 de maio de 2014 15:35, saulo nilson saulo.nil...@gmail.comescreveu: 1*2*3*4*5=20 6*7*8*9=54 4*2=8 como aparece 5 vezes essa sequencia de multiplicaçoes 8^5=8 10*20*30*40*50=20 20*8=160== ultimo digito 6 2014-05-25 19:09 GMT-03:00 ruymat...@ig.com.br: Obrigado pela ajuda. Foi de muita valia. Abraços. Em 20/05/2014 12:16, terence thirteen escreveu: UMA coisa: um problema de uma olimpíada russa era demonstrar que este último dígito não forma uma sequência periódica. Em 20 de maio de 2014 12:16, terence thirteen peterdirich...@gmail.comescreveu: Bem, leva um certo tempo para entender a ideia. Mas realmente não é complicado. O que você quer é simplesmente calcular este produto, mas sem levar em conta os dois e cincos nele. Indo devagar: imagina que você já fez essa conta (ou mandou o GNU bc ou o GNU Pari fazer por você), e depois fatorou essa bagaça. Se você for ver, o total de zeros deste numerão aí são todos provenientes dos fatores 2 e 5 da fatoração de 50!. Então, fazemos assim: Fatoramos, e separamos os fatores 2 e 5; Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa potência sem dó! Os fatores ímpares que ficaram, multiplicamos seus últimos dígitos A potência de 2 que sobrou, Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa potência sem dó! Daí, os fatores 2 que sobrarem, multiplicamos! Vou fazer pro 20 pra tu ter uma ideia: 01*02*03*04*05 = 8*5 * 3 06*07*08*09*10 = 32*5* 189 11*12*13*14*15 = 8*5 * 9009 16*17*18*19*20 = 128*5 * 2907 Daí fica mais fácil... Em 19 de maio de 2014 12:42, ruymat...@ig.com.brescreveu: Determinar o último algarismo não nulo de P=1x2x3x4x5...x48x49x50. Eu gostaria de saber se podemos descobrir isso sem fazer multiplicações para cada grupo de dez números ( 1x2x3x...x10=...800; 11x12x13...x20=...800..0; 21x22x23...x30=...200...0). Se é um exercício de olimpíada nível dois, fase final, acho que não deve ser feito fazendo-se cálculos laboriosos, ou seja, deve ter um jeito fácil. Agradeço antecipadamente quem resolver de um modo melhor que o exposto acima. Abraços. RS. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] OPM 2001...
Boa tarde! Não fiz o problema todo, devemos levar em conta do jeito que você fez, o 1 (nem tanto pois é elemento neutro da multiplicação), que sobra do 10 o 2 que sobra do 20, o 3, 4 e 5. Já tinha feito até o produto31*32*...*38*39. Fazendo o do 41*42*...*48*49 Temos 45* 42 tem 9 como último algarismo não nulo. Portanto sobram 9*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 2 mod10 então temos 8 (referente aà 1*2*...*8*9), 4 (referente à 11*12*...!**19), 4 (ref ...), 6 e 2. Restam os últimos algarismos não nulos das dezenas. 1, 2, 3, 4, 5. Aqui temos que tirar 2 e 5 cujo produto é 10. então no total 1*3*4*8*4*4*6*2 ≡ 2 mod10 Só que resolvi de outra maneira. Apenas havia apontado onde era seu equívoco. A reposta é dois e não seis. Saudações, PJMS. Em 27 de maio de 2014 13:31, saulo nilson saulo.nil...@gmail.com escreveu: porque nao contou com os multiplos de 10, se tem o segundo algarismo que influencia no digito nao nulo. 10*20*30*40*50=120*10^5=ultimo digito 2 nao nulo. 2014-05-27 11:03 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com: Bom dia! Saulo, Na verdade você tem que retitar todos os fatores 10, ou seja dividir 50! por 10^m, onde 10^m || 50! ( || significa divide exatamente, não restará nenhum fator 10 após a divisão) Para 50!, m vale 12. Observe que não é tão períodico assim. Quando você faz a primeira parte, isso é os fatores Ɛ [1,9] ᴒ |N. Só há um fator 10, 5 x2, portanto vai gerar: como último algarismo 8. Está correto. Porém, quando considermaos os fatores Ɛ [11,19] ᴒ |N. Teremos 15 x 12 =180 tirando o fator 10, resta 8 como último algarismo. e ainda temos os demais fatores que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 8 obtido, ou seja 8*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 Considerando os fatores Ɛ [21,29] ᴒ |N. Teremos apenas 25x24=600, e vai gerar 6 como último algarismo. Utilizando 6 e os demais fatores,que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 6 obtido, ou seja 6*1*2*3*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 Para os fatores Ɛ [31,39] ᴒ |N. Teríamos 35*2 =70, portanto 7. E os restantes como já explicado, 7*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 6 mod10 Ou seja, a suposição que o último algarismo não nulo de cada produto abaixo é constante (que o levou a 8^5), está errada. 1*2*3*4*5*6*7*8*9 11*12*13*14*15*16*17*18*19 21*22*23*24*25*26*27*28*29 . 41*41*43*44*45*46*47*48*49* A resposta correta é *dois.* Saudações, PJMS Em 26 de maio de 2014 15:35, saulo nilson saulo.nil...@gmail.comescreveu: 1*2*3*4*5=20 6*7*8*9=54 4*2=8 como aparece 5 vezes essa sequencia de multiplicaçoes 8^5=8 10*20*30*40*50=20 20*8=160== ultimo digito 6 2014-05-25 19:09 GMT-03:00 ruymat...@ig.com.br: Obrigado pela ajuda. Foi de muita valia. Abraços. Em 20/05/2014 12:16, terence thirteen escreveu: UMA coisa: um problema de uma olimpíada russa era demonstrar que este último dígito não forma uma sequência periódica. Em 20 de maio de 2014 12:16, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Bem, leva um certo tempo para entender a ideia. Mas realmente não é complicado. O que você quer é simplesmente calcular este produto, mas sem levar em conta os dois e cincos nele. Indo devagar: imagina que você já fez essa conta (ou mandou o GNU bc ou o GNU Pari fazer por você), e depois fatorou essa bagaça. Se você for ver, o total de zeros deste numerão aí são todos provenientes dos fatores 2 e 5 da fatoração de 50!. Então, fazemos assim: Fatoramos, e separamos os fatores 2 e 5; Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa potência sem dó! Os fatores ímpares que ficaram, multiplicamos seus últimos dígitos A potência de 2 que sobrou, Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa potência sem dó! Daí, os fatores 2 que sobrarem, multiplicamos! Vou fazer pro 20 pra tu ter uma ideia: 01*02*03*04*05 = 8*5 * 3 06*07*08*09*10 = 32*5* 189 11*12*13*14*15 = 8*5 * 9009 16*17*18*19*20 = 128*5 * 2907 Daí fica mais fácil... Em 19 de maio de 2014 12:42, ruymat...@ig.com.brescreveu: Determinar o último algarismo não nulo de P=1x2x3x4x5...x48x49x50. Eu gostaria de saber se podemos descobrir isso sem fazer multiplicações para cada grupo de dez números ( 1x2x3x...x10=...800; 11x12x13...x20=...800..0; 21x22x23...x30=...200...0). Se é um exercício de olimpíada nível dois, fase final, acho que não deve ser feito fazendo-se cálculos laboriosos, ou seja, deve ter um jeito fácil. Agradeço antecipadamente quem resolver de um modo melhor que o exposto acima. Abraços. RS. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi
Re: Re: [obm-l] OPM 2001...
Não sei se fica claro ou é adequado: Num intervalo de dez dezenas: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 Cortam-se o 2 o 5 e o 10: 1 x [2] x 3 x 4 x [5] x 6 x 7 x 8 x 9 x [10] Fica: 1 x 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 Se for incluir a segunda sequencia de dezenas: 11 x [12] x 13 x 14 x [15] x 16 x 17 x 18 x 19 x [20] Fica: 11 x 13 x 14 x 16 x 17 x 18 x 19 Sempre retirar os números côngruos a 2, 5, e 0 módulo 10. Agora pensando em módulo 10: * números multiplicados por algum côngruo a 1 módulo 10 não mudam final. Elimina-se: 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9 * números côngruos a 3 e 4 multiplicados resultam côngruo a 2 módulo 10 * números côngruos a 6 e 7 multiplicados resultam côngruo a 2 módulo 10 * números côngruos a 8 e 9 multiplicados resultam côngruo a 2 módulo 10 finalmente três números côngruos a 2 módulo 10 multiplicados resultam côngruo a 8 módulo 10. Em Tue, 27 May 2014 14:03:39 -0300 Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Boa tarde! Não fiz o problema todo, devemos levar em conta do jeito que você fez, o 1 (nem tanto pois é elemento neutro da multiplicação), que sobra do 10 o 2 que sobra do 20, o 3, 4 e 5. Já tinha feito até o produto31*32*...*38*39. Fazendo o do 41*42*...*48*49 Temos 45* 42 tem 9 como último algarismo não nulo. Portanto sobram 9*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 2 mod10 então temos 8 (referente aà 1*2*...*8*9), 4 (referente à 11*12*...!**19), 4 (ref ...), 6 e 2. Restam os últimos algarismos não nulos das dezenas. 1, 2, 3, 4, 5. Aqui temos que tirar 2 e 5 cujo produto é 10. então no total 1*3*4*8*4*4*6*2 ≡ 2 mod10 Só que resolvi de outra maneira. Apenas havia apontado onde era seu equívoco. A reposta é dois e não seis. Saudações, PJMS. Em 27 de maio de 2014 13:31, saulo nilson saulo.nil...@gmail.com escreveu: porque nao contou com os multiplos de 10, se tem o segundo algarismo que influencia no digito nao nulo. 10*20*30*40*50=120*10^5=ultimo digito 2 nao nulo. 2014-05-27 11:03 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com: Bom dia! Saulo, Na verdade você tem que retitar todos os fatores 10, ou seja dividir 50! por 10^m, onde 10^m || 50! ( || significa divide exatamente, não restará nenhum fator 10 após a divisão) Para 50!, m vale 12. Observe que não é tão períodico assim. Quando você faz a primeira parte, isso é os fatores Ɛ [1,9] ᴒ |N. Só há um fator 10, 5 x2, portanto vai gerar: como último algarismo 8. Está correto. Porém, quando considermaos os fatores Ɛ [11,19] ᴒ |N. Teremos 15 x 12 =180 tirando o fator 10, resta 8 como último algarismo. e ainda temos os demais fatores que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 8 obtido, ou seja 8*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 Considerando os fatores Ɛ [21,29] ᴒ |N. Teremos apenas 25x24=600, e vai gerar 6 como último algarismo. Utilizando 6 e os demais fatores,que nunca gerarão um produto ≡ 0 mod10. Portanto basta multiplicar os últimos dígitos que sobraram e o 6 obtido, ou seja 6*1*2*3*6*7*8*9 ≡ 4 mod10 Para os fatores Ɛ [31,39] ᴒ |N. Teríamos 35*2 =70, portanto 7. E os restantes como já explicado, 7*1*3*4*6*7*8*9 ≡ 6 mod10 Ou seja, a suposição que o último algarismo não nulo de cada produto abaixo é constante (que o levou a 8^5), está errada. 1*2*3*4*5*6*7*8*9 11*12*13*14*15*16*17*18*19 21*22*23*24*25*26*27*28*29 . 41*41*43*44*45*46*47*48*49* A resposta correta é *dois.* Saudações, PJMS Em 26 de maio de 2014 15:35, saulo nilson saulo.nil...@gmail.comescreveu: 1*2*3*4*5=20 6*7*8*9=54 4*2=8 como aparece 5 vezes essa sequencia de multiplicaçoes 8^5=8 10*20*30*40*50=20 20*8=160== ultimo digito 6 2014-05-25 19:09 GMT-03:00 ruymat...@ig.com.br: Obrigado pela ajuda. Foi de muita valia. Abraços. Em 20/05/2014 12:16, terence thirteen escreveu: UMA coisa: um problema de uma olimpíada russa era demonstrar que este último dígito não forma uma sequência periódica. Em 20 de maio de 2014 12:16, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Bem, leva um certo tempo para entender a ideia. Mas realmente não é complicado. O que você quer é simplesmente calcular este produto, mas sem levar em conta os dois e cincos nele. Indo devagar: imagina que você já fez essa conta (ou mandou o GNU bc ou o GNU Pari fazer por você), e depois fatorou essa bagaça. Se você for ver, o total de zeros deste numerão aí são todos provenientes dos fatores 2 e 5 da fatoração de 50!. Então, fazemos assim: Fatoramos, e separamos os fatores 2 e 5; Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa potência sem dó! Os fatores ímpares que ficaram, multiplicamos seus últimos dígitos A potência de 2 que sobrou, Depois, agrupamos os fatores 5 com fatores 2, de modo a formar a maior potência de 10 possível. Depois, descartamos essa
