1)Sejam m e n números naturais tais que A = [(m+3)^n + 1]/3m é inteiro. Mostre que A é impar,
3A=[C(N,0)m^n3^0+C(n,1)m^(n-1)3^1+...+c(n,n-2)m^23^(n-2)+c(n,n-1)m*3^(n-1)+c(n,n)3^n+1]/m= =3Q+(m^n+3^n+1)/m Para A ser inteiro (m^n+3^n+1)/m=m^(n-1)+(3^n+1)/m tem que ser inteiro multiplo de 3 m^(n-1)=3^k-1 3A=3Q+(3^k+3^n)/m= m tem que ser par 3Q+3^n(3^(n-k)+1)/m 3^(n-k)+1=0modm 3Q+3^n*x=3(Q+3^(n-1)x) se x e par A e par se x e impar A e impar m^(n-1)=3^k-1 3^(n-k)+1/m=x 3^n/3^k=(-1+xm)/m 3^k=3^nm/(xm-1)=m^(n-1)+1 xm=m3^n/(m^(n-1)+1)+1 x e impar logo A e impar 2014-08-22 10:19 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Para a letra b a questão foi da IMO de 1990. > Vou dividir em duas partes: > Parte I > > 1)Como o numerador é ímpar, n deve ser ímpar. > > 2)Agora vamos supor que 3^k divide n, ou seja 3^k > é a maior potência de 3 que divide n. > > 3)Assim 3^2k divide n^2 que por sua vez divide (2^n + 1). > > 4)Logo 2^n é congruente a -1 módulo 3^2k, ou seja 2^n= -1 mod(3^2k). > > 5)Assim 3^(2k-1) divide n, [Pois 2 é uma raiz primitiva mod(3^n), e se > 2^n= -1 (mod3^2k), > então 3^(2k-1) divide n], Ref. José P. dos Santos (Dê uma olhada em raízes > primitivas e entenda este item 5 antes de passar para o próximo item) > > 6) 2k - 1<= k, k<= 1, mostrando > que n tem, no máximo, um fator de 3. Observa-se que n = 3 é uma solução. > (Não leia daqui pra frente se não entendeu o item 5) > > Parte II > > 7) Suponha-se que n tem um factor primo maior do que 3, seja p este tal > Primo. Então p divide (2^n + 1), assim 2^n= -1 (mod p). > > 8) Seja d da ordem de 2 modulo > p, então 2^2n=1 (mod p), assim d divide 2n. > (Novamente o assunto de raízes primitivas) > > 9)Se d é ímpar, então d divide n, logo 2^n= 1, o que é absurdo. > > 10)Se d é par, d=2t.. Então 2t divide 2n (Vide 8), logo t divide n. > > 11)Temos também d divide (p - 1), ou > 2t divide (p-1). Assim 2t<=p-1<p, ou t<=(p-1)/2<p .(Vide 7) > > 12) Mas como t divide n, então t = 1 ou t = 3. Se t = 1, > então d = 2 e 2^2=1 (mod p ) , novamente um absurdo. > > 13) Se t=3, então d=6, assim e > 2^6= 1 (mod p), e por fermat, p = 7. > > 14) Mas a ordem de 2 módulo 7 é 3, > o que é estranho, uma vez mais contradição. > > 15) Portanto, não existe esse tal p > logo a solução n = 3. > > > Valeu > Abraços > Douglas Oliveira. > > > > Em 16 de agosto de 2014 12:37, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > 1)Sejam m e n números naturais tais que A = [(m+3)^n + 1]/3m é inteiro. >> Mostre que A é impar >> >> 2) Determine todos os inteiros n > 1 tais que (2^n + 1)/n^2 é inteiro. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
