Re: [obm-l] Sequência Complicada
Na realidade, estes problemas em que se dão os k primeiros termos de uma sequência e se pede para encontrar o termo geral não fazem sentido. Vc pode encontrar uma fórmula para o termo geral, mas não a fórmula para o termo geral, pois há infinitas. Nenhuma sequência fica definida conhecendo-se apenas um número finito de seus termos. Há, por exemplo, uma infinidade de polinômios que passam pelos pontos dados. Qualquer um deles pode ser corretamente escolhido como a fórmula do termo geral. Digamos que se informe que os 5 primeiros termos de uma sequencia são 1, 2, 3, 4 e 5. Isto não significa que o próximo termo seja 6, como seria evidente. Eu posso dizer que é e^(-2pi)/457. Basta eu escolher um polinômio que passe por (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5) e (6, e^(-2pi)/457)). Há uma infinidade. Outro poderia até dizer que é sqrt(pi^3 + 1) - sen(3^(-6,7)) i, se for uma sequência nos complexos. Logo, há sempre uma solução imediata: um polinômio que passe pelos pontos dados. Acho que este tipo de problema jamais poderia aparecer numa prova de matemática ou num concurso para algum emprego. Quem formulou a questão jamais poderá dizer que a solução que tinha em mente é a correta. Um outro tipo de problema que a rigor não faz sentido, muito comum em provas de nível médio, é determinar o domínio de uma função conhecendo-se a fórmula para f(x). O domínio de uma função faz parte de sua definição. Bom domingo para todos. Artur Artur Costa Steiner Em 19/12/2014, às 08:08, Richard Vilhena ragnarok.liv...@gmail.com escreveu: Prezados, não consigo encontrar o termo geral desta sequência onde são dados os nove primeiros termos: 2^3, 3^4 , 2^4 , 3^5 , 2^6, 3^5 × 5, 2^7 × 3, 3^5 × 5 × 7, 2^10 × 3, … Agradeço a ajuda. [[ ]]'s -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequência Complicada
Caro Artur, de fato suas colocações fazem muito sentido. Não me passou pela ideia usar uma interpolação de Lagrange, por exemplo, para encontrar um polinômio interpolador... Quanto a encontrar o domínio da função, não ficou muito claro para mim. O problema aplicado no nível médio não poderia ser justamente esse: Completar a definição da função dada, estabelecendo o seu domínio? Abs Em 21 de dezembro de 2014 06:52, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com escreveu: Na realidade, estes problemas em que se dão os k primeiros termos de uma sequência e se pede para encontrar o termo geral não fazem sentido. Vc pode encontrar uma fórmula para o termo geral, mas não a fórmula para o termo geral, pois há infinitas. Nenhuma sequência fica definida conhecendo-se apenas um número finito de seus termos. Há, por exemplo, uma infinidade de polinômios que passam pelos pontos dados. Qualquer um deles pode ser corretamente escolhido como a fórmula do termo geral. Digamos que se informe que os 5 primeiros termos de uma sequencia são 1, 2, 3, 4 e 5. Isto não significa que o próximo termo seja 6, como seria evidente. Eu posso dizer que é e^(-2pi)/457. Basta eu escolher um polinômio que passe por (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5) e (6, e^(-2pi)/457)). Há uma infinidade. Outro poderia até dizer que é sqrt(pi^3 + 1) - sen(3^(-6,7)) i, se for uma sequência nos complexos. Logo, há sempre uma solução imediata: um polinômio que passe pelos pontos dados. Acho que este tipo de problema jamais poderia aparecer numa prova de matemática ou num concurso para algum emprego. Quem formulou a questão jamais poderá dizer que a solução que tinha em mente é a correta. Um outro tipo de problema que a rigor não faz sentido, muito comum em provas de nível médio, é determinar o domínio de uma função conhecendo-se a fórmula para f(x). O domínio de uma função faz parte de sua definição. Bom domingo para todos. Artur Artur Costa Steiner Em 19/12/2014, às 08:08, Richard Vilhena ragnarok.liv...@gmail.com escreveu: Prezados, não consigo encontrar o termo geral desta sequência onde são dados os nove primeiros termos: 2^3, 3^4 , 2^4 , 3^5 , 2^6, 3^5 × 5, 2^7 × 3, 3^5 × 5 × 7, 2^10 × 3, … Agradeço a ajuda. [[ ]]'s -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequência Complicada
2^11,3^5,2^12,3^6,2^14,3^6*6,2^14*33,3^6*6*8,2^17*3... 2014-12-19 8:08 GMT-02:00 Richard Vilhena ragnarok.liv...@gmail.com: Prezados, não consigo encontrar o termo geral desta sequência onde são dados os nove primeiros termos: 2^3, 3^4 , 2^4 , 3^5 , 2^6, 3^5 × 5, 2^7 × 3, 3^5 × 5 × 7, 2^10 × 3, … Agradeço a ajuda. [[ ]]'s -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Seleção num conjunto de inteiros
+31+47+-19+11+41-13=108
2014-12-20 9:02 GMT-02:00 Richard Vilhena ragnarok.liv...@gmail.com:
Caros colegas da lista, solicito uma ajuda nesses dois problemas.
Problema 1:
Dado um conjunto de inteiros:
{-7,11,-13,17,-19,23,-29,31,-37,41,-43,47}
Selecione alguns elementos distintos desse conjunto (sem repetição) tal
que a soma deles seja igual a 108.
Problema 2:
Dado um conjunto de números inteiros:
{-101, 103, -107,109, -113,127, -131, 137, -139, 149, -151, 157, -163,
167, -173, 179, -181, 191, -193, 197}
Selecione alguns elementos distintos desse conjunto (sem repetição) tal
que a soma deles seja igual a 1058 .
Obrigado por qualquer ajuda.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema interessante de EDO
y=A(x)senx y´=A´senx+Acosx y=Acosx+A´cosx+A´cosx-Asenx A+2A´=0 A´=u u´+2u=0 lnu=-2x+c u=Ce^(-2x) A(x)=C1e^(-2x)+C2 y(x)=(C1e^(-2x)+C2)senx=0 x=2npi que corresponde a infinitos zeros 2014-12-19 19:50 GMT-02:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Seja g uma função contínua em [a, oo) tal que, para todo x neste intervalo, tenhamos g(x) m 0. Mostre que, se y é solução da EDO y'' + g(x) y = 0 então y tem uma infinidade de zeros em [a, oo). Abraços. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problema interessante de EDO
y(x)=A(x)senx+B(x)cosx y(x)=0 sen(x+u)=0 x+u=2npi x=2npi-u que sao infinitos valores de n para obter x. 2014-12-19 19:50 GMT-02:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Seja g uma função contínua em [a, oo) tal que, para todo x neste intervalo, tenhamos g(x) m 0. Mostre que, se y é solução da EDO y'' + g(x) y = 0 então y tem uma infinidade de zeros em [a, oo). Abraços. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] RANDOM WALK - OBM UNIVERSITARIA problema 5 segunda fase
Cara, o ítem a) eu fiz assim: Seja E(a, b) o valor esperado do número de movimentos necessários para alcançar a ou b. Daí a recursão para E(a, b) é: E(a, b) = 1/2 * (E(a+1, b-1) + E(a-1, b+1)) + 1. Daí vc percebe que nessa equação a soma x+y dos termos E(x, y) é constante e chama f(k) = E(k, a+b-k), então : f(k) = 1/2*f(k+1) + 1/2*f(k-1) + 1 - f(k+1) - 2*f(k) + f(k-1) = -1 Daí como padrão pra esse tipo de recorrência que sobra uma constante vc repete a equação pra k+2 e elimina a constante: f(k+1) - 2*f(k) + f(k-1) = -1 f(k+2) - 2*f(k+1) + f(k) = -1 , subtraindo uma da outra fica: f(k+2) - 3*f(k+1) + 3*f(k) - f(k-1) = 0, cuja equação característica é (x-1)^3 com solução f(n) = a_0 + a_1*n + a_2*n^2. Substituindo f(0) = 0 e f(a+b) = 0 (pois E(x, y) = 0 quando x ou y são zero), temos que f(n) = a_1*n*(1 - n/(a+b)) (***). Talvez tenha um modo mais fácil de fazer o resto, mas eu tentei achar outro f, no caso f(1). Primeiro vamos calcular um p(x) que é a probabilidade de que dado que eu estou no inteiro x (x=0 e x=S) eu chegue em 0 antes de chegar em S inteiro (dado que se anda do mesmo modo que no enunciado, i.e., com 1/2 de probabilidade de ir para cada lado). A recursão para p(x) é p(x) = 1/2*p(x-1) + 1/2*p(x+1) e a equação característica é x^2 -2*x +1 = (x-1)^2, logo a solução é p(x) = b_0 + b_1*x. Substituindo p(0) = 1 e p(S) = 0, chegamos a p(x) = (S-x)/S, i.e., a probabilidade é diretamente proporcional à distância que falta pra chegar em S. Agora vamos calcular f(1). f(1) = E(1, a+b-1). Vamos usar recursão em a+b. Assim defina g(x) = E(1, x). Seja E1 o valor esperado do número de movimentos necessários para alcançar -1 dado que não se chegou até x e E2 o valor esperado do número de movimentos para se alcançar x dado que não se tocou no -1, tudo isso partindo do zero. Assim, g(x) = prob*E1 + (1-prob)*E2 (*) (o valor esperado total E(1, x) pode ser dividido na parcela que atinge -1 e na que atinge x) em que prob é a probabilidade de se atingir o -1 antes do x (note que prob vale p(1) para S = x+1, i.e., prob = x/(x+1)). Além disso, g(x+1) = prob*E1 + (1-prob)*(E2 + g(x+1) ) (**) (esse é mais difícil que o g(x). Ou o cara atinge -1 antes do x (termo E1), ou chega a atingir o x (termo E2) e aí pode voltar para o -1 ou ir para o x+1 ( termo g(x+1) ), que está logo ao lado. Veja que esse último termo vale g(x+1) por simetria). Usando essas duas últimas equações chegamos a prob*g(x+1) = g(x), mas prob vale x/x+1 - g(x+1) = g(x) * (x+1)/x. Note que g(1) = 1. Assim, por indução, g(x) = x. Logo E(1, x) = x - f(1) = E(1, a+b-1) = a+b-1. Substituindo em (***), temos que a_1 = a+b - f(n) = n*(a+b-n), em particular, f(A) = E(A, B) = A*B. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
