[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em Geometria Plana

[Carlos Gomes]

De nada amigo! Sempre um prazer qdo posso ajudar!

Abraço, Cgomes.

Em 2 de junho de 2016 19:03, Daniel Rocha 
escreveu:

> Muito Obrigado, Carlos !!!
>
> Em 2 de junho de 2016 18:54, Carlos Gomes  escreveu:
>
>> Seja x a medida do ângulo BAC. Como o triângulo APQ é isosceles de base
>> AP, segue q a medida do ângulo APQ também é x. Note que o ângulo BQP é
>> externo ao triângulo APQ, portanto, mede x+x=2x. Agora como o triângulo BQP
>> é isosceles de base BQ, segue que o ângulo PBQ também mede 2x. Por fim note
>> que o ângulo BPC é externo ao triângulo  ABP, portanto mede x+2x=3x...como
>> o triângulo BCP também é isosceles de base PC, segue que o ângulo PCB
>> também mede 3x...como o triângulo ABC é isosceles, segue que o ângulo ABC
>> também mede 3x, o que revela q o ângulo PCB mede x. Assim, no triângulo BCP
>> temos que
>> x+3x+3x=π   ==>x=π/7.
>> Em 2 de jun de 2016 18:32, "Daniel Rocha" 
>> escreveu:
>>
>>> Olá a todos,
>>>
>>> Alguém poderia, por favor, apresentar os cálculos corretos da seguinte
>>> questão:
>>>
>>> Considere um triângulo ABC isósceles de base BC, e os pontos P e Q tais
>>> que P pertence a AC e Q pertence a AB. Se BC=BP=PQ=QA, a medida do ângulo
>>> do vértice A, em radianos, é:
>>>
>>> GABARITO: Pi/7.
>>>
>>> Eu agradeço a quem apresentar os cálculos corretos.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 2016 figurinhas e o número de retângulos de dimensões diferentes

[Leandro Martins]

Boa tarde a todos!

Grande Marcelo! Igualmente grato eu me sinto, pelos questionamentos.

Em tua última tréplica, ficou claro pra mim que o retângulo 2016x1 foi
preservado. Dele, os retângulos considerados são construções parciais.

De toda forma, por serem parciais, não utilizam integralmente as 2016
figurinhas. São 2016 figurinhas entre 63 triângulos.

Teu raciocínio foi interessante: ao passo da existência de uma P.A. de a[1]
= r = 1, me inspirei em encontrar outra série que fosse uma partição de
2016: aquela obtida da P. G. de a[1] = 32 e q = 2. Existem outras partições
arbitrárias de 2016, como podes constatar. Mas descaracterizam o enunciado.

Este problema, na verdade, tem como temática a Teoria dos Números. A
motivação na Geometria o torna ainda mais desafiador.

Abraço!

Leandro
Olá professor Leandro, muito obrigado mais uma vez, por seus preciosos
comentários e explicações!

Desta forma como o senhor expressou: "Os retângulos formados por Clarinha
possuem a mesma área, por utilizarem todas as figurinhas", consegui
compreender...e desta forma concluí que era isto que o enunciado tentou
dizer.

A questão dos "buracos", foi que eu não entendi. Na minha cabeça, não há
buracos entre os retângulos, todos os 2016, estão postos lado a lado, como
se fossem azulejos na parede, em uma grande e única linha.

Abração e muito obrigado pelas ajudas!

Marcelo.



Em 30 de maio de 2016 18:26, Leandro Martins 
escreveu:

> Boa tarde, pessoal!
>
> Caro prof. Marcelo, a soma dos termos da P. A. dada se encaixa como uma
> luva! Entretanto, os retângulos formados estariam com buracos entre si,
> contrariando o enunciado.
>
> Sinônimo de figurinhas arrumadas sem sobreposição ou buracos: figurinhas
> justapostas. Assim já vi em outro enunciado.
>
> Em tempo: na solução que enviei, onde se lê: "Os retângulos formados por
> Clarinha possuem a mesma área, por serem todos iguais", deve ser
> substituído por: "Os retângulos formados por Clarinha possuem a mesma área,
> por utilizarem todas as figurinhas."
>
> Grande abraço!
>
> Leandro
> Em 30/05/2016 07:32, "Marcelo Gomes"  escreveu:
>
>> Olá a todos, bom dia.
>>
>> Caro professor Leandro, muito obrigado pela ajuda! Não havia pensado
>> deste jeito. Obrigado por esclarecer.
>>
>> Em uma abordagem por Soma da PA, eu fiquei achando, que também cumpri as
>> exigências do enunciado da questão:
>>
>> 1- Em meu pensamento, pus todas as 2016 figurinhas lado a lado em uma
>> grande linha (1x2016=2016 u.a. para este retângulo)
>>
>> 2- Usei todas as figurinhas: 1º ret = 1 u.a. / 2º ret = 2 u.a. / 3º ret =
>> 3 u.a. ...63º ret = 63 u.a. (somando-se as parcelas temos 63 retângulos de
>> dimensões diferentes e 2016 figurinhas utilizadas).
>>
>> Estaria errado este pensamento que tive, em razão do enunciado
>> apresentado ?
>>
>> Abraços e muito obrigado pela ajuda e pelas explicações.
>>
>> Marcelo.
>>
>>
>> Em 29 de maio de 2016 22:56, Leandro Martins 
>> escreveu:
>>
>>> Caros, boa noite!
>>>
>>> Os retângulos formados por Clarinha possuem a mesma área, por serem
>>> todos iguais. Cada figurinha (quadrada) tem 1 u.a. (unidade de área).
>>> Utilizando todas as figurinhas, sabemos que o retângulo formado tem 2016
>>> u.a.
>>>
>>> O problema equivale a saber quantas são as multiplicações entre dois
>>> fatores (respectivamente, a base e a altura do retângulo formado) que
>>> resultam em 2016.
>>>
>>> Temos que 2016 = 2^5.3^2.7, procedendo sua fatoração em primos. Daí
>>> calculamos que 2016 possui (5+1). (2+1). (1+1) = 36 divisores. Obtemos 2016
>>> pelo produto entre o divisor imediatamente menor e o divisor imediatamente
>>> maior (1x2016, 2x1008, ...) de 18 maneiras diferentes. Logo, são 18
>>> retângulos de dimensões diferentes formados com todas as figurinhas.
>>>
>>> Abraço!
>>>
>>> Leandro
>>> Em 28/05/2016 14:06, "Marcelo Gomes"  escreveu:
>>>
 Olá a todos, boa tarde.

 Peço, o auxílio, de quem dispuser de um tempinho, para explicar o
 porquê do gabarito desta questão ser 18.

 "Clarinha arruma 2016 figurinhas iguais, colocando-as lado a lado,
 formando retângulos sem superposições ou buracos. O número de retângulos de
 dimensões diferentes formados usando todas as figurinhas é: "

 (A) 14.

 (B) 18.

 (C) 21.

 (D) 24.

(E) 35.
 Não consegui montar um cálculo que chegasse neste valor. Tentei por
 soma de PA, considerando razão 1 e encontrei an = n = 63.

 Abraços, Marcelo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>