[obm-l] Teoria dos numeros

[Gabriel Tostes]

A,b,c,X,y,z inteiros tais que
a) ax^2+by^2+cz^2=abc +2xyz - 1
B) ab+bc+ca>=x^2+y^2+z^2

Provar que a,b,c são somas de 3 quadrados de inteiros



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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Algebra

[Pedro José]

Boa tarde!

Ele primeiramente coloca z^6 em evidência em z^6 -z^5+z^4-z^3+z^2-z+1  e
obtém z6 (1- 1/z + 1/z^2 - 1/z^3 + 1/z^4 - 1/z^5 + 1/z^6)

Como está multiplicado por 16^2, quando aplica a raiz fica : 16 z^3 * raiz
(1- 1/z + 1/z^2 - 1/z^3 + 1/z^4 - 1/z^5 + 1/z^6)

Aí ele desensenvolve a Série de Taylor para raiz (1-x) fazendo u = 1- x e a
= x


raiz ( 1 - x) = 1 -1/2 * x - 1/8 * x^2 - 1/16 x^3 + ... onde x = 1/z -
1/z^2 + 1/z^3 - 1/z^4 + 1/z^5 - 1/z^6.

Agora é só pegar os termos que dêm coeficientes >=0, quando multiplicados
por 16z^3, ou seja, o expoente de z deverá ser no mínimo -3.


Pegando o primeiro termo 1, teremos 16 z^3 (i)

Pegando o termo -1/2 * x teremos -8z^2 + 8 z - 8 (ii)

Pegando o termo -1/4 x^2 . Note que em x^2 só teremos dois ternmos com
coeficiente de z >=-3. 1/z^2 e -2*(1/z)*(1/z^2)= -2/z^3 que
multiplicando-se a soma desses termos por 16z3, obteremos: (iii) -2z + 4

pegando o termo x^3, apenas 1/z^3 tem expoente >= 3 ==> (iv) = -1

Apartir de x^4 todos os termos terão expoentes de z < -3, não atende mais.

(i) + (ii) + (iii) + (iv) dará 16x^3 - 8 z^2 + 6z - 5, que é o termo que
você queria encontrar.

Só que não é tão rápido assim


Saudações,
PJMS.



Em 19 de dezembro de 2016 19:40, Gabriel Tostes 
escreveu:

> Alguem pode me explicar essa nota do mavropnevma no post #3 desse topico
> no aops?
> http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h461255p2587368
>
> Ele escreveu z^6 -z^5+z^4-z^3+z^2-z+1 = b^2 como (16b)^2 =
> (16z^3-8z^2+6z-5)^2 +140z^2-196z+231 e mostrou uma maneira de achar o
> polinomio dentro do ^2 de uma maneira rapida pela formula de Newton
> generalizada, mas eu n entendi.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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