Re: [obm-l] probleminhas de geometria

2018-03-31 Por tôpico Claudio Buffara 
E a Wikipédia tem um artigo sobre o teorema de Ptolomeu (em inglês: Prolemy’s 
Theorem)

Abs

Enviado do meu iPhone

Em 31 de mar de 2018, à(s) 18:03, Luiz Antonio Rodrigues 
 escreveu:

> Olá, Anderson!
> Boa noite!
> Muito obrigado pela sugestão.
> Um abraço!
> Luiz
> 
>> On Sat, Mar 31, 2018, 4:51 PM Anderson Torres  
>> wrote:
>> Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues
>>  escreveu:
>> > Olá, Sergio!
>> > Muito obrigado pela dica!
>> > Um abraço para você também!
>> > Luiz
>> >
>> > On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima  wrote:
>> >>
>> >> Eu sugeriria
>> >>
>> >> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
>> >> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).
>> 
>> 
>> Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida.
>> 
>> >>
>> >> Abraço,
>> >> sergio
>> >>
>> >> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>> >>>
>> >>> Olá, pessoal!
>> >>> Boa tarde!
>> >>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
>> >>> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
>> >>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
>> >>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
>> >>> Um abraço!
>> >>> Luiz
>> >>>
>> >>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
>> >>> wrote:
>> 
>>  Boa!
>>  Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
>> 
>>  Outra solução usa geometria analítica no R^3.
>> 
>>  Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
>>  O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) 
>>  com a
>>  esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
>> 
>>  P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
>>  = (x-a)^2 + y^2 + z^2Â  Â  +Â  Â  x^2 + (y-a)^2 + z^2Â  Â  +Â  Â  x^2 + 
>>  y^2 +
>>  (z-a)^2
>>  = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
>>  = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
>>  = 3r^2 + a^2.
>> 
>>  []s,
>>  Claudio.
>> 
>> 
>>  2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>>  :
>> >
>> > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
>> > usando complexos, vamos ver,
>> >
>> > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 
>> > é
>> > o conjugado de Z1.
>> >
>> > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
>> > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>> >
>> > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo
>> > A=3r^2+3k^2.
>> >
>> > Pronto morreu.
>> >
>> >
>> > Um abraco
>> >Â  Douglas Oliveira.
>> > Mas o valor de A será
>> >
>> >
>> > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara"
>> >  escreveu:
>> >
>> > Achei estes dois bonitinhos:
>> >
>> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a 
>> > um
>> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
>> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com 
>> > o
>> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando 
>> > o teorema
>> > de Ptolomeu).
>> >
>> >
>> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base 
>> > quadrada
>> > e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
>> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>> >
>> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir 
>> > a
>> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> 
>>  --
>>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>> >>>
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

2018-03-31 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Olá, Anderson!
Boa noite!
Muito obrigado pela sugestão.
Um abraço!
Luiz

On Sat, Mar 31, 2018, 4:51 PM Anderson Torres 
wrote:

> Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues
>  escreveu:
> > Olá, Sergio!
> > Muito obrigado pela dica!
> > Um abraço para você também!
> > Luiz
> >
> > On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima  wrote:
> >>
> >> Eu sugeriria
> >>
> >> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
> >> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).
>
>
> Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida.
>
> >>
> >> Abraço,
> >> sergio
> >>
> >> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com>:
> >>>
> >>> Olá, pessoal!
> >>> Boa tarde!
> >>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
> >>> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
> >>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
> >>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
> >>> Um abraço!
> >>> Luiz
> >>>
> >>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com>
> >>> wrote:
> 
>  Boa!
>  Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
> 
>  Outra solução usa geometria analítica no R^3.
> 
>  Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
>  O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
>  esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
> 
>  P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
>  = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
>  (z-a)^2
>  = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
>  = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
>  = 3r^2 + a^2.
> 
>  []s,
>  Claudio.
> 
> 
>  2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>  :
> >
> > Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
> > usando complexos, vamos ver,
> >
> > O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde
> z1 é
> > o conjugado de Z1.
> >
> > Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
> > triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
> >
> > Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo
> > A=3r^2+3k^2.
> >
> > Pronto morreu.
> >
> >
> > Um abraco
> >  Douglas Oliveira.
> > Mas o valor de A será
> >
> >
> > Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara"
> >  escreveu:
> >
> > Achei estes dois bonitinhos:
> >
> > 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a
> um
> > triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
> > 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com
> o
> > incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o
> teorema
> > de Ptolomeu).
> >
> >
> > 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base
> quadrada
> > e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
> > Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um
> receba a
> > mesma quantidade de bolo e de cobertura.
> >
> > Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir
> a
> > gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> >
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> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
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>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
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> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
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> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Functional equation(ajuda)

2018-03-31 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima 
Olá caros amigos, preciso de uma ajuda para resolver os seguintes problemas:

1) Uma função f:N*-->N* é tal que 0<=f(1)<204 e, para todo n>0, tem-se que
f(n+1)=(n/2004 +1/n)[f(n)]^2-(n^3)/2004 +1.
A quantidade de elementos da imagem de f que são números primos é:

2)Sejam u e v números reais tais que IuI<=3, IvI<=2. Determine o valor
mínimo de
f(u,v)=(u-v)^2+[((144-16u^2)^(1/2))/3 - (4-v^2)^(1/2)]^2.

Forte abraço.

Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

2018-03-31 Por tôpico Anderson Torres 
Em 31 de março de 2018 14:09, Luiz Antonio Rodrigues
 escreveu:
> Olá, Sergio!
> Muito obrigado pela dica!
> Um abraço para você também!
> Luiz
>
> On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima  wrote:
>>
>> Eu sugeriria
>>
>> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
>> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).


Geometry Revisited do Coxeter é uma boa pedida.

>>
>> Abraço,
>> sergio
>>
>> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Boa tarde!
>>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
>>> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
>>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
>>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
>>> Um abraço!
>>> Luiz
>>>
>>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
>>> wrote:

 Boa!
 Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.

 Outra solução usa geometria analítica no R^3.

 Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
 O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
 esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.

 P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
 = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
 (z-a)^2
 = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
 = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
 = 3r^2 + a^2.

 []s,
 Claudio.


 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
 :
>
> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
> usando complexos, vamos ver,
>
> O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é
> o conjugado de Z1.
>
> Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
> triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>
> Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo
> A=3r^2+3k^2.
>
> Pronto morreu.
>
>
> Um abraco
>  Douglas Oliveira.
> Mas o valor de A será
>
>
> Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara"
>  escreveu:
>
> Achei estes dois bonitinhos:
>
> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o 
> teorema
> de Ptolomeu).
>
>
> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada
> e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>
> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

2018-03-31 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Olá, Sergio!
Muito obrigado pela dica!
Um abraço para você também!
Luiz

On Sat, Mar 31, 2018, 1:36 PM Sergio Lima  wrote:

> Eu sugeriria
>
> A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
> Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).
>
> Abraço,
> sergio
>
> 2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :
>
>> Olá, pessoal!
>> Boa tarde!
>> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
>> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
>> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
>> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
>> Um abraço!
>> Luiz
>>
>> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
>> wrote:
>>
>>> Boa!
>>> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
>>>
>>> Outra solução usa geometria analítica no R^3.
>>>
>>> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
>>> O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
>>> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
>>>
>>> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
>>> = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
>>> (z-a)^2
>>> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
>>> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
>>> = 3r^2 + a^2.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>>>
 Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
 usando complexos, vamos ver,

 O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1
 é o conjugado de Z1.

 Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
 triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .

 Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2.

 Pronto morreu.


 Um abraco
  Douglas Oliveira.
 Mas o valor de A será


 Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" <
 claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

 Achei estes dois bonitinhos:

 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
 triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
 incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
 de Ptolomeu).


 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada
 e tem cobertura no topo e nas quatro faces.
 Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
 mesma quantidade de bolo e de cobertura.

 Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
 gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.

 []s,
 Claudio.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

2018-03-31 Por tôpico Sergio Lima 
Eu sugeriria

A.C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge, Geometria I e II,
Francisco Alves ed. (relançado pela VestSeller).

Abraço,
sergio

2018-03-31 12:40 GMT-03:00 Luiz Antonio Rodrigues :

> Olá, pessoal!
> Boa tarde!
> Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
> A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
> Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
> Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
> Um abraço!
> Luiz
>
> On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
> wrote:
>
>> Boa!
>> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
>>
>> Outra solução usa geometria analítica no R^3.
>>
>> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
>> O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
>> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
>>
>> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
>> = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
>> (z-a)^2
>> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
>> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
>> = 3r^2 + a^2.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>>
>>> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai
>>> usando complexos, vamos ver,
>>>
>>> O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é
>>> o conjugado de Z1.
>>>
>>> Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
>>> triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>>>
>>> Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2.
>>>
>>> Pronto morreu.
>>>
>>>
>>> Um abraco
>>>  Douglas Oliveira.
>>> Mas o valor de A será
>>>
>>>
>>> Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" 
>>> escreveu:
>>>
>>> Achei estes dois bonitinhos:
>>>
>>> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
>>> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
>>> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
>>> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
>>> de Ptolomeu).
>>>
>>>
>>> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
>>> tem cobertura no topo e nas quatro faces.
>>> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>>> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>>>
>>> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
>>> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminhas de geometria

2018-03-31 Por tôpico Luiz Antonio Rodrigues 
Olá, pessoal!
Boa tarde!
Eu nunca tinha ouvido falar do Teorema de Ptolomeu...
A conclusão é que nunca estudei  Geometria por um livro realmente bom.
Alguém pode me indicar algum? Pode ser em Inglês.
Aproveito para desejar uma ótima Páscoa para todos!
Um abraço!
Luiz

On Wed, Mar 28, 2018, 3:56 PM Claudio Buffara 
wrote:

> Boa!
> Complexos são realmente uma ferramenta poderosa.
>
> Outra solução usa geometria analítica no R^3.
>
> Tome o triângulo com vértices (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a).
> O círculo é a intersecção do plano do triângulo (x + y + z = a) com a
> esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
>
> P(x,y,z) ==> PA^2 + PB^2 + PC^2
> = (x-a)^2 + y^2 + z^2+x^2 + (y-a)^2 + z^2+x^2 + y^2 +
> (z-a)^2
> = 3(x^2+y^2+z^2) + 3a^2 - 2a(x+y+z)
> = 3r^2 + 3a^2 - 2a^2
> = 3r^2 + a^2.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-03-28 14:49 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Entao. acho que para qualquer circunferencia(concentrica ) sai usando
>> complexos, vamos ver,
>>
>> O valor pedido será (w-Z1)(w-z1)+(w-Z2)(w-z2)+(w-Z3)(w-z3)=A, onde z1 é
>> o conjugado de Z1.
>>
>> Podemos representar a circunferencia por modulo de w igual a r e o
>> triangulo equilatero por z^3-k^3=0 .
>>
>> Assim o valor de A será 3r^2+3k^2-w(Z1+z1+Z2+z2+Z3+z3) logo A=3r^2+3k^2.
>>
>> Pronto morreu.
>>
>>
>> Um abraco
>>  Douglas Oliveira.
>> Mas o valor de A será
>>
>>
>> Em 27 de mar de 2018 12:06, "Claudio Buffara" 
>> escreveu:
>>
>> Achei estes dois bonitinhos:
>>
>> 1) Prove que, sendo P um ponto qualquer da circunferência inscrita a um
>> triângulo equilátero ABC, PA^2 + PB^2 + PC^2 é constante.
>> 1A) Prove que isso vale para qualquer circunferência concêntrica com o
>> incírculo (tem uma demonstração legal para o circumcírculo usando o teorema
>> de Ptolomeu).
>>
>>
>> 2) Um bolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e
>> tem cobertura no topo e nas quatro faces.
>> Mostre como dividir o bolo entre 7 pessoas de modo que cada um receba a
>> mesma quantidade de bolo e de cobertura.
>>
>> Obs: a solução que envolve bater o bolo num liquidificador e dividir a
>> gororoba resultante em 7 partes de mesmo peso não é válida.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
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