[obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre divisor primo

[Otávio Araújo]

Só uma curiosidade: de onde é essa questão?

Em qua, 6 de jun de 2018 11:38, Pedro Chaves 
escreveu:

> Caros Colegas,
>
> Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.
>
> Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo
> de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.
>
>
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_-594041030565945_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre divisor primo

[Otávio Araújo]

Só um detalhe que errei na digitação:
1 = (1/p) = (x.12/p) = ((-x).(-12)/p)=
(-x/p)(-12/p)

Em qua, 6 de jun de 2018 15:55, Otávio Araújo 
escreveu:

> Tenho uma solução aqui:
> Seja p um primo que divide 12n^2 +1, teremos que 12n^2 = -1 mód p. Seja x
> o inverso multiplicativo de 12 módulo p em (Zp)*, então n^2= -x mód p,
> portanto
> -x é resíduo quadrático módulo p. Denote (/) o simbolo de Legendre,
> teremos (-x/p)=1, mas 1=(1/p)=(x.12/p)
> (-x/p)(-12/p) --> (-12/p)=1 -->
> (-1/p)(4/p)(3/p)=1 --> (-1/p)(3/p)=1, ou seja, (-1/p)=(3/p)=1 ou
> (-1/p)=(3/p)=-1.
> Em qualquer livro de teoria dos números que contenha o assunto de resíduos
> quadráticos podemos ver a demonstração de que
> (-1/p)=1 se p=1 mód 4 e (-1/p)=-1 se
>  p=3 mód 4.
> Do teorema da reciprocidade quadrática (p é diferente de 2 e 3), temos
> (p/3)(3/p)= (-1)^((p-1)/2) -->
> Mas p é congruente a 1,5 ,7 ou 11 módulo 12 ( pois é primo e não é 2 ou
> 3), testando cada caso, temos (p/3)=1 se p=1 ou 7 módulo 12 (pois devemos
> ter p=1 mód 3) e (p/3)=-1 se p=5 ou 11 módulo 12.  Observando que
> (-1)^((p-1)/2)=1 se p=1 ou 5 módulo 12 e -1 se p=7 ou 11 módulo 12,
> obteremos que (3/p)=1 se p =1 ou 11 módulo 12 e -1 se p =5 ou 7 módulo 12.
>
> Por último, se (-1/p)=(3/p)=1, teremos
> p=1 mód 4 e p= 1 ou 11 módulo 12
> --> p=1 mód 12.
> Se (-1/p)=(3/p)=-1, teremos
> p=3 mód 4 e p=5 ou 7 módulo 12
> --> p=7 mód 12.
> Daí p = 1 ou 7 módulo 12 --> p=1 mód 6, como queríamos.
>
> Em qua, 6 de jun de 2018 11:38, Pedro Chaves 
> escreveu:
>
>> Caros Colegas,
>>
>> Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.
>>
>> Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo
>> de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.
>>
>>
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_3212190965219518123_m_8119351896224020777_m_-594041030565945_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre divisor primo

[Otávio Araújo]

Tenho uma solução aqui:
Seja p um primo que divide 12n^2 +1, teremos que 12n^2 = -1 mód p. Seja x o
inverso multiplicativo de 12 módulo p em (Zp)*, então n^2= -x mód p,
portanto
-x é resíduo quadrático módulo p. Denote (/) o simbolo de Legendre, teremos
(-x/p)=1, mas 1=(1/p)=(x.12/p)
(-x/p)(-12/p) --> (-12/p)=1 -->
(-1/p)(4/p)(3/p)=1 --> (-1/p)(3/p)=1, ou seja, (-1/p)=(3/p)=1 ou
(-1/p)=(3/p)=-1.
Em qualquer livro de teoria dos números que contenha o assunto de resíduos
quadráticos podemos ver a demonstração de que
(-1/p)=1 se p=1 mód 4 e (-1/p)=-1 se
 p=3 mód 4.
Do teorema da reciprocidade quadrática (p é diferente de 2 e 3), temos
(p/3)(3/p)= (-1)^((p-1)/2) -->
Mas p é congruente a 1,5 ,7 ou 11 módulo 12 ( pois é primo e não é 2 ou 3),
testando cada caso, temos (p/3)=1 se p=1 ou 7 módulo 12 (pois devemos ter
p=1 mód 3) e (p/3)=-1 se p=5 ou 11 módulo 12.  Observando que
(-1)^((p-1)/2)=1 se p=1 ou 5 módulo 12 e -1 se p=7 ou 11 módulo 12,
obteremos que (3/p)=1 se p =1 ou 11 módulo 12 e -1 se p =5 ou 7 módulo 12.

Por último, se (-1/p)=(3/p)=1, teremos
p=1 mód 4 e p= 1 ou 11 módulo 12
--> p=1 mód 12.
Se (-1/p)=(3/p)=-1, teremos
p=3 mód 4 e p=5 ou 7 módulo 12
--> p=7 mód 12.
Daí p = 1 ou 7 módulo 12 --> p=1 mód 6, como queríamos.

Em qua, 6 de jun de 2018 11:38, Pedro Chaves 
escreveu:

> Caros Colegas,
>
> Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.
>
> Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo
> de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.
>
>
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_-594041030565945_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre divisor primo

[Claudio Buffara]

Na verdade é pra provar que se p é primo e divide 12n^2 + 1, então p é de
forma 6k+1.



2018-06-06 12:50 GMT-03:00 Daniel Quevedo :

> De uma maneira bem informal 6| 12n^2 , para qqr n inteiro. Logo 12n^2+1= 1
> (mod 6) ou seja é da forma 6k +1.
>
> Uma demonstração formal seria por indução finita, onde P(0)= 12+1 = 13 =
> 1(mod 6)
> Se P(n) é verdade, logo
> P (n +1) = 12n^2 + 24n +12 + 1 = 6(2n^2 + 4n + 3) + 13 = 1 (mod 6) é vdd
> Acho q é isso
>
> Em qua, 6 de jun de 2018 às 11:38, Pedro Chaves 
> escreveu:
>
>> Caros Colegas,
>>
>> Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.
>>
>> Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo
>> de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.
>>
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>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
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>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Questão sobre divisor primo

[Daniel Quevedo]

De uma maneira bem informal 6| 12n^2 , para qqr n inteiro. Logo 12n^2+1= 1
(mod 6) ou seja é da forma 6k +1.

Uma demonstração formal seria por indução finita, onde P(0)= 12+1 = 13 =
1(mod 6)
Se P(n) é verdade, logo
P (n +1) = 12n^2 + 24n +12 + 1 = 6(2n^2 + 4n + 3) + 13 = 1 (mod 6) é vdd
Acho q é isso

Em qua, 6 de jun de 2018 às 11:38, Pedro Chaves 
escreveu:

> Caros Colegas,
>
> Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.
>
> Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo
> de 12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.
>
>
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_7705839601006527736_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Questão sobre divisor primo

[Pedro Chaves]

Caros Colegas,

Não consegui resolver a questão abaixo. Peço auxílio.

Questão:Para cada inteiro positivo n, mostrar que todo divisor primo de 
12n^2 + 1 é da forma 6k +1, sendo k um inteiro positivo.



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www.avast.com.

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 acredita-se estar livre de perigo.