[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( Gandhi ) E resposta que ele diz é R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1) Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir escreveu: > Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x > > Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira > escreveu: > >> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer >> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então: >> f(x)+f(y)=1+x >> f(y)+f(z)=1+y >> f(z)+f(x)=1+z >> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, >> acharíamos f(x). >> >> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, >> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas >> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa. >> >> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). >> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- >> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que >> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de >> valores {x_k} de "órbita" do número a. >> >> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f >> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais >> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a >> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode >> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como >> recorrência. >> >> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, >> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a >> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que >> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. >> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que >> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, >> então há várias órbitas infinitas Acho. >> >> Abraço, Ralph. >> >> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a >> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é >> interessante, não? >> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer >> algo usando o limite de x_k... >> >> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir >> wrote: >> >>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que >>> >>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) . >>> >>> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x . >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira escreveu: > Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer > rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então: > f(x)+f(y)=1+x > f(y)+f(z)=1+y > f(z)+f(x)=1+z > pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, > acharíamos f(x). > > Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, > porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas > estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa. > > Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). > Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- > observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que > nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de > valores {x_k} de "órbita" do número a. > > Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f > dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais > nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a > órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode > ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como > recorrência. > > Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, > para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a > para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que > é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. > Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que > fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, > então há várias órbitas infinitas Acho. > > Abraço, Ralph. > > P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a > lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é > interessante, não? > P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer > algo usando o limite de x_k... > > On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir > wrote: > >> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que >> >> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) . >> >> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x . >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação Funcional
Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então: f(x)+f(y)=1+x f(y)+f(z)=1+y f(z)+f(x)=1+z pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, acharíamos f(x). Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa. Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de valores {x_k} de "órbita" do número a. Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como recorrência. Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, então há várias órbitas infinitas Acho. Abraço, Ralph. P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é interessante, não? P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer algo usando o limite de x_k... On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir wrote: > Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que > > f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) . > > Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x . > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Equação Funcional
Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) . Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x . -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.