Re: [obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Não entendi. Se a, b, c e d são inteiros, ac e bd certamente são racionais. Em qui, 8 de nov de 2018 às 22:27, Jeferson Almir escreveu: > Pessoal peço ajuda no problema : > > Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . > Suponha que > ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) > > Mostre que ab + cd não é primo . > > > A minha ideia foi: > > Abrindo a relação de cima temos > > a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 > > Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a > suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e > nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° > concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD= > ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não > podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! > Como provar que não podem ser ??? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Problema 6 - IMO 2001
Pessoal peço ajuda no problema : Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . Suponha que ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) Mostre que ab + cd não é primo . A minha ideia foi: Abrindo a relação de cima temos a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que ACxBD= ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! Como provar que não podem ser ??? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Transformação
Mostre que se S é uma matriz antissimétrica e A = (I + S).(I - S)^-1, com (I - S) não singular, então A é ortogonal. É possível provar usando conceitos elementares de matrizes? Muito obrigado! (I - S)^-1 é a inversa de I - S. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
{Disarmed} [obm-l] {Disarmed} Problema 6 - IMO 2001
Pessoal peço ajuda no problema : Sejam a, b , c , d inteiros e a > b > c > d > 0 . Suponha que ac + bd = ( b+ d + a - c )( b+ d -a + c ) Mostre que ab + cd não é primo . A minha ideia foi: Abrindo a relação de cima temos a^2 -ac + c^2 = b^2 + bd + d^2 Então motivado pela ideia de usar geometria que um amigo falou fiz a suposição que temos um quadrilátero de lados a, d,b e c respectivamente e nessa ultima relação usando lei dos cossenos teríamos A = 60° e C = 120° concluindo então que ABCD é inscritível . Aplicando Ptolomeu temos que AC.BD = ab + cd e usando desigualdade triangular podemos afirmar que AC e BD não podem ser 1 . Mas ainda tem a possibilidade AC e BD serem racionais !! Como provar que não podem ser ??? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Soma de binomiais
Inicialmente, sabemos que:
A = 1 + C(n,1) + C(n,2) + C(n,3) + ... = 2^n
e
B = 1 + C(n,2) + C(n,4) + ... = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ...
(basta expandir (1 + 1)^n e (1 - 1)^n).
Além disso:
A - B = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ... = B ==> B = A/2 = 2^(n-1)
Também temos:
(1 + i)^n = 1 + C(n,1)*i - C(n,2) - C(n,3)*i + C(n,4) + ...
(1 - i)^n = 1 - C(n,1)*i - C(n,2) + C(n,3)*i + C(n,4) + ...
De modo que:
C = ((1 + i)^n + (1 - i)^n)/2 = 1 - C(n,2) + C(n,4) - C(n,6) + ...
Logo (usando a versão "par" de B):
(B + C)/2 = 1 + C(n,4) + C(n,8) + ... = ( 2^(n-1) + ((1 + i)^n + (1 -
i)^n)/2 )/2
Ou seja,
1 + C(n,4) + C(n,8) + ... = 2^(n-2) + ((1 + i)^n + (1 - i)^n)/4(*)
Agora...
(1 + i)^n + (1 - i)^n = 2^(n/2)*(cis(n*pi/4) + cis(-n*pi/4)) = 2^(1 +
n/2)*cos(n*pi/4) ==>
((1 + i)^n + (1 - i)^n)/4 = 2^(n/2 - 1)*cos(n*pi/4)
Se n = 4k, então o lado direito é igual a 2^(2k-1)*cos(k*pi) =
(-1)^k*2^(2k-1) (**)
Substituindo (**) em (*) e usando que n = 4k, teremos:
1 + C(4k,4) + C(4k,8 ) + ... + C(4k,4k) = 2^(4k-2) + (-1)^k*2^(2k-1) =
2^(2k-1) * (2^(2k-1) + (-1)^k) (***)
***
Pra (***) ser múltiplo de 81, 2^(2k-1) + (-1)^k terá que ser múltiplo de 81.
Em particular, terá que ser múltiplo de 3.
k = 1 ==> 2^1 - 1 = 1
k = 2 ==> 2^3 + 1 = 9
k = 3 ==> 2^5 - 1 = 31
k = 4 ==> 2^7 + 1 = 129
..
Assim, parece que k = 2m + 2 (m >=0) é condição necessária.
E, de fato, k = 2m+2 ==> 2^(2k-1) + (-1)^k = 2^(4m+3) + 1 = 8*16^m + 1 ==
-1*1 + 1 == 0 (mod 3) ("==" quer dizer "é congruente a")
Olhando mod 9, teremos 8*16^m + 1 == (-1)*(-2)^m + 1 == 0 (mod 9) sss
(-2)^m == 1 (mod 9).
Isso é verdade pra m = 0, 3, 6 e 9.
Assim, conjecturo que para m = 3p (p>=0) e, portanto, k = 6p + 2 (p >= 0),
2^(2k-1) + (-1)^k = 2^(12p+3) + 1 é múltiplo de 9.
E, de fato, olhando mod 9: 2^(12p+3) +1 == 8*4096^p + 1 == (-1)*1 + 1 == 0
(mod 9)
Testando a divisibilidade por 81:
p = 0 ==> k = 2 ==> 2^3 + 1 ==> não
p = 1 ==> k = 8 ==> 2^15 + 1 = 1024*32 + 1 == 52*32 + 1 = 1665 == 45 ==> não
p = 2 ==> k = 14 ==> 2^27 + 1 = 1024*1024*128 + 1 == 52*52*47 + 1 ==
(-29)*(-29)*(-34) + 1 == 31*(-34) + 1 = -1053 == 0 (mod 81).
Logo, o menor k é 14.
Agora, como é uma múltipla escolha, daria pra ir testando as alternativas
na expressão (***).
Acho que levaria menos tempo.
[]s,
Claudio.
On Wed, Nov 7, 2018 at 2:38 PM Vanderlei Nemitz
wrote:
> Boa tarde!
> Na seguinte questão, tentei pensar no desenvolvimento de algum binômio, em
> que a parte real fosse a soma S(k), mas não consegui imaginar um. Fazendo
> alguns casos, para k de 1 a 4, conjecturei que S(k) = 2^(2k - 1).[2^(2k -
> 1) + (-1)^k].
> Mas como posso provar que é verdadeira (se realmente for), a partir do
> zero, de preferência sem usar indução?
>
> Outra coisa, depois de obtida a fórmula, como obter o menor k que satisfaz
> o problema sem muitas contas? Eu testei até k igual a 14, usando uma
> calculadora.
>
> Obrigado!
>
> Seja S(k) = C(4k, 0) + C(4k, 4) + C(4k, 8) + ... + C(4k, 4k), para k = 1,
> 2, 3,
> O menor valor de k tal que S(k) é múltiplo de 81, é:
> a) 7
> b) 9
> c) 10
> d) 12
> e) 14
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
