Oi pessoal,
Eu achava que sairia mais fácil olhando em Z[i.sqrt(2)], mas mesmo assim dá
trabalho. Há uma discussão bem mais completa sobre esse problema (que caiu
em uma olimpíada polonesa) em
https://mathoverflow.net/questions/250312/diophantine-equation-3n-1-2x2
Em particular há uma solução que envolve olhar uma recorrência (ligada à
equação de Pell) módulo 27 e módulo 17.
Abraços,
Gugu
On Fri, Nov 15, 2019 at 5:17 PM Pedro José wrote:
> Boa tarde!
> Esdras,
> Boa sacada!
> (b^2+1)^2=b^4+2b^2+1=b^4+(3^k)^2.
> Depois ternos pitagóricos sem restrição de primitivo.
> Aí subtraindo a primeira da segunda ou somando dão quadrados perfeitos em
> p e q. Basta igualar a1 ou então tira a raiz e iguala u^2 - v^2. Sai que
> p-q=1.
> Aí fica fácil.
> Parabéns!
> Falta achar uma lei de geração para outras soluções ou uma restrição
> (acredito mais nessa) para a e b ímpares.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sex, 15 de nov de 2019 13:05, Pedro José
> escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Esdras,
>> grato, vou tentar seguir a linha.
>>
>> Douglas,
>> Tentei combinar mod 8 com mod9 e não saiu uma restrição.
>>
>> Carlos Gustavo,
>> teria como propor material sobre o tema que você levantou. Compreendi a
>> fatoração, mas não como seriam os primos nesse universo.
>> Ainda sem tempo para tentar uma restrição.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 23:21, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> O caso "a" par eu fiz assim: a=2k, daí, (3^k)^2+ b^4=(d^2+1)^2, então vc
>>> usa que para algum par p, q, com 0>> p^2-q^2. Daí vc mostra que p=q+1 e em seguida que q=1.
>>>
>>> Em ter, 12 de nov de 2019 22:29, Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
Será que não sai usando somente congruência módulo 8?
Em ter., 12 de nov. de 2019 às 20:07, Pedro José
escreveu:
> Boa noite!
> Esdras,
> tem como você postar, mesmo para o caso apenas de n par?
>
> Grato!
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 19:52, Pedro José
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Carlos Gustavo,
>> grato pela luz, estava tão obsecado e só rodando em círculos, tal
>> qual patrulha perdida.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 19:19, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Dá para mostrar que a única solução com a e b pares é (2, 2). Agora
>>> com a e b ímpares, não consegui.
>>>
>>> Em ter, 12 de nov de 2019 18:19, Pedro José
>>> escreveu:
>>>
Boa noite!
Agora captei vosso pensamento.
Só que ao transformar a equação em uma equação de Pell, nós
maculamos a função 3^n.
Em verdade a solução para a par a= 2n, seria (2,2); pois, como
mencionara anteriormente se a é par, b também o é.
Só que quando procuramos as outras soluções, baseando-se na
propriedade de que a norma em Q [RAiz(A)] conserva a multiplicação. Só
que
quando eu pego a solução
3 + 2 Raiz(2) e elevo ao quadrado 17 + 12 Raiz(2). Se eu pegar
17^2-2*12^2=1 eu atendo x^2 - 2Y^2=1. E assim sucessivamente. Mas não
existe n inteiro tal que 3^n=17, então não é uma solução da equação
original.
Creio que seja um pouco mais complicada a solução. Pois o difícil é
saber quando atende também a 3^n.
Acredito que deva haver uma forma de restringir a essas soluções,
pois, definir em que condições a solução terá x como uma potência de 3
seja
bem difícil.
Estou apanhando mais do que mala velha em véspera de viagem.
Se alguém postar uma solução, me ajudaria bastante.
Saudações,
PJMS
Saudações,
PJMS.
Em ter., 12 de nov. de 2019 às 17:25, Pedro José <
petroc...@gmail.com> escreveu:
> Boa tarde!
> Douglas,
> perdoe-me pela minha miopia, mas você poderia detalhar melhor onde
> entra a equação de Pell?
> A equação de Pell não é x^2-Dy^2 = N?
> Se a é par b é par e se a ímpar b é ímpar para atender mod8,
> Não consegui captar a sugestão.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 16:50, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Hum, então, vamos analisar o caso de a ser par do tipo 2n.
>>
>> Assim podemos escrever que (3^n+b(sqrt2))(3^n-b(sqrt2))=1
>> Dai através da solução mínima que o Pedro fez, como (1,1) por
>> exemplo, da pra ver que são infinitas soluções usando a equação de
>> Pell.
>>
>> Abraco
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>>
>> Em dom, 10 de nov de 2019 19:33, gilberto azevedo <
