Re: [obm-l] Probabilidade
Obrigado Ralph Abraços Em 03/04/2021 18:08, Ralph Costa Teixeira escreveu: > Vou dizer que "o jogo está na posicao n" quando A tem n pontos de vantagem; e > vou chamar de p(n) a probabilidade de A vencer o jogo (agora ou depois) > sabendo que (agora) A tem n pontos mais do que B. > > Por exemplo, p(3)=1, p(-3)=0 e p(0)=1/2 (por simetria). > > Aliás, por simetria, vemos que p(1)=1-p(-1) e p(2)=1-p(-2). Vou chamar a=p(1) > e b=p(2) para facilitar a escrita (o "p(n)" seria util para jogos maiores, > quando a gente escreveria tudo em forma matricial -- mas aqui nem vou > precisar). > > A partir da posicao 1, no próximo "lance", temos 50% de chance de ir para 2 > (e dali chance b de A ganhar) e 50% de chance de ir para 0 (e dali chance 50% > de A ganhar). Portanto: > > a= 1/2 . b + 1/2. 1/2 > > Analogamente, a partir de 2, temos 50% de chance de ir para 1 e 50% de chance > de termos vitória de A, portanto: > > b=1/2 + 1/2.a > > Resolvendo o sistema, vem a=2/3 e b = 5/6. Resposta (B)? > > Abraco, Ralph. > > P.S.: Em geral seria : p(n)=p_A . p(n+1) + (1-p_A) . p(n-1), e as regras > sobre a vitória determinam "condições de contorno". Ou seja, considerando o > vetor v = (p(-m), p(-m+1), ... p(0), ... p(m)), temos v=Mv onde M é uma > matriz tridiagonal (de fato, com 0s na diagonal). Ou seja, no fundo no fundo > estamos falando de um problema de achar o autovetor associado ao autovalor 1 > da matriz M, e as condicoes de contorno apenas normalizam v. > > On Sat, Apr 3, 2021 at 3:22 PM Pacini Bores wrote: > >> Olá pessoal, Encontrei uma resposta que não está entre as opções desta >> questão do Canguru. >> >> " um certo jogo tem um vencedor quando este atinge 3 pontos a frente do >> oponente. Dois jogadores A e B estão jogando e, num determinado momento, A >> está 1 ponto a frente de B. Os jogadores têm probabilidades iguais de obter >> 1 ponto. Qual a probabilidade de A vencer o jogo ? >> >> (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/5 (E) 5/6 >> >> O que vocês acham ? >> >> Pacini >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Probabilidade
Olá pessoal, Encontrei uma resposta que não está entre as opções desta questão do Canguru. " um certo jogo tem um vencedor quando este atinge 3 pontos a frente do oponente. Dois jogadores A e B estão jogando e, num determinado momento, A está 1 ponto a frente de B. Os jogadores têm probabilidades iguais de obter 1 ponto. Qual a probabilidade de A vencer o jogo ? (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/5 (E) 5/6 O que vocês acham ? Pacini -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Probabilidade
Vou dizer que "o jogo está na posicao n" quando A tem n pontos de vantagem; e vou chamar de p(n) a probabilidade de A vencer o jogo (agora ou depois) sabendo que (agora) A tem n pontos mais do que B. Por exemplo, p(3)=1, p(-3)=0 e p(0)=1/2 (por simetria). Aliás, por simetria, vemos que p(1)=1-p(-1) e p(2)=1-p(-2). Vou chamar a=p(1) e b=p(2) para facilitar a escrita (o "p(n)" seria util para jogos maiores, quando a gente escreveria tudo em forma matricial -- mas aqui nem vou precisar). A partir da posicao 1, no próximo "lance", temos 50% de chance de ir para 2 (e dali chance b de A ganhar) e 50% de chance de ir para 0 (e dali chance 50% de A ganhar). Portanto: a= 1/2 . b + 1/2. 1/2 Analogamente, a partir de 2, temos 50% de chance de ir para 1 e 50% de chance de termos vitória de A, portanto: b=1/2 + 1/2.a Resolvendo o sistema, vem a=2/3 e b = 5/6. Resposta (B)? Abraco, Ralph. P.S.: Em geral seria : p(n)=p_A . p(n+1) + (1-p_A) . p(n-1), e as regras sobre a vitória determinam "condições de contorno". Ou seja, considerando o vetor v = (p(-m), p(-m+1), ... p(0), ... p(m)), temos v=Mv onde M é uma matriz tridiagonal (de fato, com 0s na diagonal). Ou seja, no fundo no fundo estamos falando de um problema de achar o autovetor associado ao autovalor 1 da matriz M, e as condicoes de contorno apenas normalizam v. On Sat, Apr 3, 2021 at 3:22 PM Pacini Bores wrote: > Olá pessoal, Encontrei uma resposta que não está entre as opções desta > questão do Canguru. > > " um certo jogo tem um vencedor quando este atinge 3 pontos a frente do > oponente. Dois jogadores A e B estão jogando e, num determinado momento, A > está 1 ponto a frente de B. Os jogadores têm probabilidades iguais de > obter 1 ponto. Qual a probabilidade de A vencer o jogo ? > > (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/5 (E) 5/6 > > > > O que vocês acham ? > > Pacini > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
