[obm-l] Re: [obm-l] mdc(bbb...b, bbb...b) é bbb...b
Olá Paulo, Considere genericamente uma base q. Se X = bbb...b e Y = bbb...bbb nessa base, então X = b*(1 + q + ... + q^(a*d-1)) e Y = b*(1 + q + ... + q^(m*d-1)), onde n = a*d, k = m*d e o d = mdc(n,k). Note também que X = b*[(q^d - 1)/(q - 1)]*[(Q^a - 1)/(Q - 1)] e Y = b*[(q^d - 1)/(q - 1)]*[(Q^m - 1)/(Q - 1)], onde Q = q^d. Isso mostra que v = b*[(q^d - 1)/(q - 1)] = b*(1 + q + ... + q^(d-1)) é divisor comum de X e Y. Resta mostrar que é máximo. Para tanto, basta verificar que se p é primo e divide W = [(Q^a - 1)/(Q - 1)] e Z = [(Q^m - 1)/(Q - 1)], então p divide 1, absurdo, donde p não existe e mdc (Z,W) = 1. Em outras palavras, v será o mdc de X e Y. Suponhamos, sem perda de generalidade, que W Z, ou seja, a m. p | Z = 1 + Q + ... + Q^(a-1) p | W = 1 + Q + ... + Q^(m-1) Logo, p | (Z - W) = Q^m*(1 + Q + ... + Q^(a - m - 1)). É fácil ver que p não pode dividir Q, do contrário, de p | Z teríamos que p | 1. Assim, p | (1 + Q + ... + Q^(a - m - 1)). Existe um natural s mínimo tal que m a - s*m 0. Ao repetir o processo acima trocando a por a - m, e depois por a - 2*m, e assim por diante, obteremos indutivamente, para vários r, que p | 1 + Q + ... + Q^(a - (r+1)*m - 1). Esse processo não pode ser aplicado indefinidamente! Só vale até chegarmos a s-1, gerando implicações sobre s. Em particular, p | 1 + Q + ... + Q^(a - s*m - 1), com c_0 = m a - s*m = c_1 0. Repetindo o processo, agora trocando c_0 por c_1, e assim sucessivamente, obteremos uma seqüência decrescente de naturais c_t tais que p | 1 + Q + ... + Q^(c_t - 1). Ora, por sua natureza decrescente, inteira e positiva, em algum momento o processo termina, com c_t = 1. Isso implica que não teremos saída, e necessariamente p | 1, absurdo. Isso demonstra que v = b*[(q^d - 1)/(q - 1)] = b*(1 + q + ... + q^(d-1)) é o mdc de X e Y. Abraços, Daniel Em 16 de novembro de 2010 22:06, Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.brescreveu: Caros Colegas, Como podemos provar o teorema abaixo: O máximo divisor comum dos números naturais bbb...b (n dígitos iguais a b) e bbb...n (k dígitos iguais a b) é bbb...b (d dígitos iguais a b), d é o máximo divisor comum de n e k. Abraços! Paulo = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
[obm-l] Re: [obm-l] Raízes irracionais
Olá Pedro, Seja F o corpo dos quocientes de polinomios em raiz(n) com coeficientes racionais. Na prática, coisas do tipo (a + b*raiz(n))/(c + d*raiz(n)), com a, b, c e d racionais. F é extensão dos racionais Q. Vou chamar de p(x) o polinômio original. Ele está em Q[x], conjunto dos polinômios com coeficientes racionais. Repare que a = m + raiz(n) está em F. Como p(a) = 0, o polinômio irredutível sobre Q de a divide p, dada sua unicidade. É fato que a extensão de Q sobre raiz(n) coincide com a extensão de Q sobre a, e ambas têm grau 2, visto que o polinomio irredutível sobre Q é x^2 - n no primeiro caso e h(x) = (x - m)^2 - n no segundo. Recaptulando, h divide p. Como h(x) = (x - m - raiz(n))*(x - m + raiz(n)), o grau de a multiplicidade de m - raiz(n) e m + raiz(n) tem que ser o mesmo. []s, Daniel Em 14 de setembro de 2010 21:03, Pedro Chaves brped...@hotmail.comescreveu: Caros amigos, Peço-lhes socorro na questão seguinte, onde uso R(n) para indicar a raiz quadrada de n. Sejam m e n números inteiros (n0) e R(n) irracional. Mostrar que a equação algébrica, de coeficientes racionais, que admite a raiz m + R(n), com multiplicidade p, admite também a raiz m - R(n) com a mesma multiplicidade. Obrigado! Pedro Chaves
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes irracionais
Oi Bernardo, Acho que entendo onde você vê a necessidade de indução (seria para mostrar a existência de determinada fatoração de p, não?). Com certeza ficaria mais rigoroso se for explicitada essa etapa do argumento, mas aí é aquela velha história do que vale como bagagem (os fatos) X o que tem que ser provado (os objetivos da questão). São pontos de vista, mas, realmente, se não custa, melhor provar! []s, Daniel Em 15 de setembro de 2010 16:52, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2010/9/15 Daniel da Silva Nunes klein...@globo.com: Bernardo, Creio que não seja necessária a recorrência. Tanto a = m + raiz(n) quanto b = m - raiz(n) têm o mesmo polinomio irredutível (ok, minimal!) h sobre Q, que se fatora como (x - a)*(x - b) na extensão F = Q(raiz(n)). Isto é, têm mesma multiplicidade 1. Se, portanto, a tem multiplicidade q em p(x), forçosamente a multiplicidade de b em p(x) deve ser q. Não há como haver outra fatoração em Q[x] de p com raízes a ou b sobrando. Se p(x) = f(x)*g(x), fatoração racional, com f(a) = 0, então h divide f e a multiplicidade de a em f é a mesma de b em f, pelo mesmo argumento acima. É só pensar na fatoração em Q[x], não em Q(raiz(n))[x], pois p(x) é racional. Oi Daniel! Esse argumento é mais ou menos uma recorrência no grau do polinômio, não ? Enfim, eu acho que fica mais claro se der para evitar o pelo mesmo argumento acima (que a gente ainda está provando!) e fazer por indução. []s, Daniel abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa Em 15 de setembro de 2010 08:45, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: Daniel: eu teria dito um pouquinho diferente de você. Note que você resolveu o grande problema: se m + n*raiz(2) é zero de p(x), então m - n*raiz(2) também. (o que decorre da parte dos polinômios minimais). Mas para fazer a parte multiplicidade, eu teria feito por recorrência, ou seja, já que h(x) divide p(x), olhamos para as raízes de (p/h)(x) e continua-se o processo. O que eu não vejo no argumento final é como garantir que não tem nenhum fator a mais de um lado ou do outro, sem repetir o argumento da divisibilidade; dito de outra forma, não entendi porque de h | p decorre que a multiplicidade (em p) das raízes de h é a mesma. abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/9/15 Daniel da Silva Nunes klein...@globo.com: Olá Pedro, Seja F o corpo dos quocientes de polinomios em raiz(n) com coeficientes racionais. Na prática, coisas do tipo (a + b*raiz(n))/(c + d*raiz(n)), com a, b, c e d racionais. F é extensão dos racionais Q. Vou chamar de p(x) o polinômio original. Ele está em Q[x], conjunto dos polinômios com coeficientes racionais. Repare que a = m + raiz(n) está em F. Como p(a) = 0, o polinômio irredutível sobre Q de a divide p, dada sua unicidade. É fato que a extensão de Q sobre raiz(n) coincide com a extensão de Q sobre a, e ambas têm grau 2, visto que o polinomio irredutível sobre Q é x^2 - n no primeiro caso e h(x) = (x - m)^2 - n no segundo. Recaptulando, h divide p. Como h(x) = (x - m - raiz(n))*(x - m + raiz(n)), o grau de a multiplicidade de m - raiz(n) e m + raiz(n) tem que ser o mesmo. []s, Daniel Em 14 de setembro de 2010 21:03, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Caros amigos, Peço-lhes socorro na questão seguinte, onde uso R(n) para indicar a raiz quadrada de n. Sejam m e n números inteiros (n0) e R(n) irracional. Mostrar que a equação algébrica, de coeficientes racionais, que admite a raiz m + R(n), com multiplicidade p, admite também a raiz m - R(n) com a mesma multiplicidade. Obrigado! Pedro Chaves = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Matriz Simétrica
Oi Warley. De um modo mais geral, uma matriz real simétrica nxn só terá autovalores reais. Seja u um autovalor da matriz simétrica A, e v o autovetor correspondente. Temos Av = uv. Vou denotar por [x] o complexo conjugado de x e por Y* a transposta de Y. Segue também que [Av] = A[v] (pois A é real) = [uv] = [u][v]. Portanto, [u] também é autovalor de A. Por outro lado, [v]*A = [v]*A* = (A[v])* = ([u][v])* = [u][v]*, e, fazendo o produto interno, temos u([v]*[v]) = [v]*(uv) = [v]*(Av) = ([v]*A)v = ([u][v]*)v = [u]([v]*[v]) = (u - [u])([v]*[v]) = 0. O termo [v]*[v] é simplesmente o quadrado da norma de v, que, como autovetor, não pode ser 0. Portanto, u - [u] = 0, o que implica que u é real. []s, Daniel. Em 9 de setembro de 2010 22:01, warley ferreira lulu...@yahoo.com.brescreveu: Algúem poderia me ajudar! Mostre que uma matriz simétrica 3x3 só possui autovalores reais. Warley F Souza
