[obm-l] RES: [obm-l] Sobre funções sobrejetoras e cardinal idade de conjuntos
Bom Salhab.. Muito obrigado. Entendi tudo. Realmente, desenhando os diagramas consegui visualizar bem o problema. Esse é um exercício de uma disciplina que fala de axiomas e conjuntos. Nela, quase nada é óbvio. Por exemplo, nem mesmo 2^|A| = 2^|B| == |A| = |B| pode ser colocado na demonstração sem que seja bem explicado. Pelo que estudei, tenho quase certeza de que a resolução esperada pra esse exercício é que se construa uma função injetora H: P(A) - P(B).. Onde P(X) é o conjunto das partes de X. Sem muita experiência com demonstrações, depois que entendi bem o problema, acabei fazendo assim: -- Seja g : B-A, sobrejetor. Considere H: P(A)-P(B) definido assim: H(X) = g-1[X], onde X é um subconjunto de A. Precisamos mostrar que H é injetora. Tome X_1, X_2 subconjuntos distintos de A. (X_1 != X_2). Precisamos mostrar que H(X_1) != H(X_2). Podemos supor sem perder generalidade que x pertence a X_1 e x não-pertence a X_2. X pertence a X_1 == X pertence a A == existe b pertencente a B tal que g(b) = x == b pertence a H(X_1). Suponha que b pertence a H(X_2). Então, b pertence a g^-1[X_2] == g(b) pertence a X_2. Mas g(b) = x, então acabamos de concluir que x pertence a X_2. Absurdo, pois, por definição, x não-pertence a X_2. Logo, b não pertence a H(X_2). Como sabemos que b pertence a H(X_1), então H(X_1) != H(X_2). Mostramos que X_1 != X_2 == H(X_1) != H(X_2), portanto, H é injetora. Com H é injetora, temos que |P(A)| = |P(B)| == 2^|A| = 2^|B|. (Essa coisa de mostrar que |X| = |Y| criando funções injetoras de X em Y é uma das poucas coisas que o professor deixa a gente usar sem demonstrar.) Bem, vou entregar a solução desse exercício assim mesmo - a menos que você ou alguém ache que essa solução não está suficientemente rigorosa ou encontre alguma falha lógica nas passagens.. Mais uma vez obrigado, David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcelo Salhab Brogliato Enviada em: domingo, 2 de setembro de 2007 04:05 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Sobre funções sobrejetoras e cardinalidade de conjuntos Olá David.. veja que o q vc esta pedindo pra demonstrar se torna obvio qdo usamos diagramas de Venn... desenhe ai os conjuntos B e A.. para cada elemento a em A, tem que existir um elemento b em B, tal que g(b) = a.. [pois g é sobrejetiva] podem existir 2 elementos diferentes em B que levam ao mesmo elemento em A? SIM! pois nada foi dito a respeito de injetividade.. isto é.. se a funcao for injetiva, eles possuem o mesmo numero de elementos (definicao?!).. mas se nao for, B possui necessariamente mais elementos que A.. por que? pq se B possuisse menor elementos que A, seria impossivel ele ser sobrejetivo, visto que cada elemento de B pode mapear um, e apenas um, elemento de A.. assim: |B| = |A|... e, consequentemente, 2^|B| = 2^|A|.. talvez uma prova por absurdo? vamos tentar... suponha que |B| |A|... como temos |B| elementos em B, podemos mapear no maximo |B| elementos em A.. sobrando |A| - |B| 0 elementos nao mapeados.. absurdo! pois g é sobrejetiva..logo: |B| = |A|... e 2^|B| = 2^|A|. vamos tentar uma outra ideia: Seja g: B-A sobrejetiva. vamos dizer que f(a) = g^-1(a)... entao f(a) é conjunto dos pontos de B que levam sobre o elemento a em A... (é um conjunto pois g nao eh necessariamente injetiva) como g é sobrejetiva, |f(a)| = 1... pois existe ao menos 1 elemento em B que leva para a pertencente a A. como g é funcao, temos que g(b) pertencente a A tem cardinalidade 1.. isto é: cada elemento de B é levado a um unico elemento de A... assim, todos os conjuntos f(a) formam uma particao de B.. pois a uniao deles resulta em B, e eles sao disjuntos 2 a 2.. e a uniao de todos os conjuntos g(b) é igual a A... [eles nao sao necessariamente disjuntos 2 a 2] deste modo: |B| = |U f(a)| = Sum |f(a)| = Sum 1 = Sum |g(b)| = |A| logo: |B| = |A|... e 2^|B| = 2^|A| espero q nao tenha ficado mto confuso.. e existe uma chance razoavel deu ter errado alguma coisa.. tenho dificuldades em formalizar essas coisas.. abracos, Salhab On 9/1/07, David Cardoso [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda com esse exercício: Mostre que se existe um mapeamento de B sobre A (i.e., sobrejetor), então 2^|A| = 2^|B|. [Dica: Dado g mapeando B sobre A (i.e., sobrejetor), seja f[X] = g^- 1[X], para todo X contido em A] Alguém me ajuda? []s, David. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
[obm-l] Sobre funções sobrejetoras e cardinalidade de conjuntos
Gostaria de ajuda com esse exercício: Mostre que se existe um mapeamento de B sobre A (i.e., sobrejetor), então 2^|A| = 2^|B|. [Dica: Dado g mapeando B sobre A (i.e., sobrejetor), seja f[X] = g^-1[X], para todo X contido em A] Alguém me ajuda? []s, David. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Problema dos Remédios
Olá Cláudio, Acho que funcionaria perfeitamente se tivéssemos muitas caixas do mesmo tipo.. Mas temos apenas 10 caixas e 100 comprimidos por caixa, lembra? 512 100 comprimidos.. Eu entendi errado? []'s Ou seja, temos uma sequência a_0, a_1, ..., a_9 tal que a_i = 0 ou a_i = 1. Precisamos determinar uma segunda sequência de inteiros positivos b_0, b_1, ..., b_9 tal que a expressão: N = SOMA(i = 0 ... 9) a_i*b_i nos permita determinar para quais índices i temos a_i = 0. Usando a unicidade da representação binária de um inteiro, podemos tomar: b_i = 2^i. Ou seja, N = a_0 + 2*a_1 + 4*a_2 + ... + 512*a_9. Se a_i1, a_2, ... a_ir forem iguais a 1, então: N = 2^i1 + 2^i2 + ... + 2^ir e é univocamente determinado. No caso das caixas, após numerar os lotes de 0 a 9, colocamos simultaneamente 2^k caixas do lote k na balança (0 = k = 9) e subtraimos 9*(1 + 2 + 4 + ... + 512) = 9207 do valor indicado no mostrador. O resultado é um dado N que determina univocamente as caixas normais (e, portanto, as defeituosas). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Problema dos Remédios
Existem 2^10 possíveis cenários pra as caixas de remédio. Ao todo, temos 10x100 = 1000 comprimidos = 1000 resultados de pesagens.. Mas 1000 1024, logo é impossível fazer uma bijeção entre os resultados de pesagens e os cenários de remédios. É assim que mostra que é impossível? []'s -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 12:58 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Problema dos Remédios On Wed, Mar 08, 2006 at 01:40:37PM -0300, David Cardoso wrote: Olá Cláudio, Acho que funcionaria perfeitamente se tivéssemos muitas caixas do mesmo tipo.. Mas temos apenas 10 caixas e 100 comprimidos por caixa, lembra? 512 100 comprimidos.. Eu entendi errado? Acho que fui eu quem errei (e o Claudio foi no meu vácuo). A solução que o Claudio apresentou foi a que eu tinha em mente. Eu li mal o enunciado e por algum motivo achei que como 512 10*100 então estava tudo bem. Mas você tem razão, com uma pesada podemos resolver o problema para 7 caixas (1, 2, ..., 64) de 100 comprimidos ou para 10 caixas de 1000 comprimidos, mas o problema que eu propus é impossível. Fica como outro problema provar que o primeiro problema era impossível. :-) []s, N. == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === __ NOD32 1.1425 (20060302) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
É verdade.. E se uma décupla assim existir? Resolve o problema? []'s -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Eduardo Wilner Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 17:35 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios A caixa de remédios é defeituosa ou não funciona? Brincadeira... Mas acho que não funciona; por exemplo: (7+11+13)*9+31*10=(7+11+13)*10+31*9. Entretanto, pode ter remédio, pois existem mais do que 10 números primos entre 6 e 100. Talvez seja o caso de selecionar a decupla que não possue somas parciais iguais (incluindo, como no exemplo acima, o número isolado). David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Realmente fica bem mais interessante. Eu tive uma idéia, não tenho certeza se daria certo pra qualquer caso: Enumera todos os primos menores que 100, exceto o 2, 3 e 5 (pq sao fatores de 10g e 9g). Ou seja, a sequência S seria 7, 11, 17, 23, ... Pesaria S_1 comprimidos da caixa 1, junto com S_2 comprimidos da caixa 2, ..., até S_10. Se eu tiver pensando certo, o resultado da pesagem vai poder ser fatorado assim: S_1 * K_1 + S_2 * K_2 + ... + S_10 * K_10 Cada K_i da fatoração deveria ser ou 9g ou 10g, o que indicaria se a caixa correspondente é defeituosa ou não.. funciona?! []'s David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 07:19 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios On Tue, Mar 07, 2006 at 02:39:37PM -0300, David Cardoso wrote: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. ! gt; Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? Já resolveram o problema como proposto, mas na verdade é possível resolver uma versão bem mais forte: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Algumas destas caixas (você não sabe quantas nem quais) são oriundas de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua es! tratégia de pesagem para determinar, com certeza, exatamente quais caixas de remédio são defeituosas? []s, N. == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === __ NOD32 1.1425 (20060302) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/homepage_set/*http://b r.acesso.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema dos Remédios
Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? -- 2a. parte, generalização: --- Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir k caixas defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura do peso no visor da balança.. uma vez lido qualquer número no visor da balança, ela quebra.. :P -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Chicao Valadares Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 16:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de pesar é colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente deve ir colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao do peso nao for conforme esperado tai sua caixa. --- David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? -- 2a. parte, generalização: --- Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir k caixas defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas? == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
Isso mesmo! Sendo que se a caixa ecolhida fosse defeituosa tudo pesaria 1350g. Abraço, David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Felipe Avelino Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 19:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios ah eh facil!! escolhe uma caixa qualquer.. e numera as restantes... tira um comprimido da caixa numero 1 e coloca junto tira dois comprimidos da caixa numero 2 .. e assim por diante.. ateh a caixa numero 9 junta todos esses comprimidos e coloca pra pesar junto com a caixa escolhida primeiramente se pesar 1449g a caixa defeituosa eh a numero 1 se pesar 1448g a caixa defeituosa eh a numero 2 se pesar 1450g a caixa defeituosa eh a escolhida . Em 07/03/06, David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura do peso no visor da balança.. uma vez lido qualquer número no visor da balança, ela quebra.. :P -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] ] Em nome de Chicao Valadares Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 16:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de pesar é colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente deve ir colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao do peso nao for conforme esperado tai sua caixa. --- David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? -- 2a. parte, generalização: --- Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir k caixas defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas? == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com http://br.acesso.yahoo.com == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
[obm-l] Probabilidade - Polêmica no Resultado da Questão
Foi questão de prova: Suponha que o numero de acidentes em uma fabrica possa ser representado por um processo de Poisson, com uma media de 2 acidentes por semana. Qual é a probabilidade de que o tempo decorrido de um acidente ate o proximo seja maior do que tres dias? Sugestao: Faça T = tempo (em dias) e calcule P (T 3) Muitas pessoas na turma chegaram ao seguinte resultado: 0,424. A professora não aceita essa resposta e diz que está errado. Afinal de contas, a resposta da turma está mesmo certa? Obrigado, David Cardoso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] inversa = derivada
Na minha outra mensagem sobre este assunto, faltou dizer que f eh estritamente monotonica porque, alem de ter uma inversa, eh continua, pois eh diferenciavel. Artur Poderia demonstrar essa parte também? Grato, David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!
Dois jogadores colocam alternadamente moedas sobre uma mesa redonda, sem sobrepor as moedas. O jogador que não puder colocar uma moeda perde. Quem tem a estratégia vencedora? Se você for o primeiro jogador, acho que existe uma estratégia: Comece colocando a primeira moeda no centro da mesa. Agora fixe uma linha imaginária que divida a mesa em dois pedaços iguais (uma linha passando pelo centro da mesa redonda). A partir daí, para cada jogada que o adversário fizer, jogue na posição simétrica àquela que o adversário jogou (em relação a sua linha imaginária). Acho que se o adversário encontrou algum espaço para colocar uma moeda numa das metades, então vc também encontrará na outra. Caso ele coloque a moeda por cima da linha imaginária, acho que vc precisa traçar uma segunda linha, perpendicular à linha original e também passando pelo centro da mesa, e usar essa segunda para fazer a simetria desse caso. []'s David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Problema das Alianças...
Divida as 12 em 3 grupos de 4. Compara dois grupos na balança. Com isso, vc determina em qual dos 4 grupos a aliança está. Pegue esse grupo que vc acabou de terminar, com 4 alianças, compare duas elas. Caso tenha empatado, faça a 3a. pesagem com as 2 alianças restantes e descubra qual é. []'s David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de filipe junqueira Enviada em: domingo, 28 de agosto de 2005 23:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema das Alianças... Ola caros amigos da lista... Um amigo de meu pai me desafio com o seguinte problema e não consigo obter resposta la vai: Um homem muito rico tinha 12 alianças de ouro uma delas entretanto era mais leve ou mais pesada que as demais.Como descobrir qual aliança é a mais leve ou pesada com apenas tres pesagens em uma balança tradicional...( Aquelas que simbolizam a justiça onde se compara apenas dois pesos). (Creio eu que 3 pesagens não são sufucientesmas espero que esteja enganado) Muito obrigado e boa sorte com o problema Filipe Junqueira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas do 2º Grau
Não tenho mt certeza, mas acho que isso resolve: 1 – As despesas de um condomínio totalizaram R$ 1200,00. Quatro condomínios não dispunham de dinheiro para pagar as suas partes, e os demais foram obrigados a arcar com um adicional de R$ 25,00 cada um. Quantos eram os condomínios desse prédio? 1200 = ((1200/n)+25)(n-4) 2 – Um professor prometeu distribuir aos alunos de uma classe 140 balas. No dia da distribuição, faltaram 7 deles, e, assim, os que estava, presentes receberam 1 bala a mais cada m. quantos eram os alunos? 140 = ((140/n)+1)(n-7) 3 – Duas torneiras podem encher um reservatório em 2 horas e 24 minutos. A primeira demora 2 horas mais que a segunda, quando ambas funcionam isoladamente. Quanto tempo leva cada uma para enchê-lo? x = y + 120 1 = (144/x) + (144/y) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Probabilidade - Dígitos aleatórios
Evento A[k]: k digitos ocoparem suas posicoes corretas, com k=n, natural. P[k=1]=1-P[0] P[0] corresponde a prob. de que cada um dos digitos nao esteja em sua posicao correta. Na posicao 1 podem entrar (n-1) digitos tendo uma prob de (n-1)/n de ocorrer (note que os n digitos sao todos distintos), para o seg. digito (n-2)/(n-1) ja que um dos digitos foi fixado na posicao 1 E se na posição 1 tiver se fixado o numero 2? Sobrariam (n-1) dígitos para serem escolhidos no 2o. dígito.. nessa parte que eu to me enrolando... David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
