[obm-l] Wiki! Wiki! Wiki!
Olá, estou escrevendo para divulgar a nossa wiki de olimpíada, a Olimpédia, que foi montada num computador gentilmente cedido pelo prof. Yoshiharu Kohayakawa do IME/USP (Yoshi para os íntimos). Acesse http://erdos.ime.usp.br Inscrevam-se e divirtam-se! A idéia desta wiki é criar uma referência centralizada e de fácil acesso aos fatos matemáticos mais utilizados nas diversas olimpíadas, em seus vários níveis. Veja que não é necessário escrever tudo a partir do zero, a wiki possui facilidades que permitem, por exemplo, criar links para a página da OBM referenciando artigos da revista Eureka! Obviamente não queremos criar uma wiki de links apenas, mas sim construir um guia de referência prática para ajudar não só aqueles que estão se preparando para as diversas competições matemáticas mas também os demais simpatizantes da Matemática Olímpica! Por enquanto, a Olimpédia está bem vazia, aguardando a contribuição de pessoas como você, participante da lista da OBM. Alguns temas foram sugeridos com base no conteúdo das últimas provas do nível 3 da OBM, da IMO e da Ibero. Está estudando raízes primitivas? A desigualdade de Cauchy-Schwartz? Por que não criar uma página na Olimpédia a respeito? Afinal de contas, você só pode dizer que aprendeu mesmo um assunto quando for capaz de explicá-lo a outra pessoa! Veja que a Olimpédia está aberta aos outros níveis também, desde o nível 1 até o universitário. Nada impede que você crie, por exemplo, uma página com título assuntos para iniciantes ou temas quentes para a cone-sul ou o que devo saber para a Putnam. Aqui contamos também com a experiência dos professores que ajudam com o treinamento, com sugestões para tais temas. Mas se você tem sua própria lista de temas, vá em frente e escreva! A wiki é um esforço colaborativo e coletivo, e o seu formato não é pré-determinado por um grupo de notáveis olímpicos, mas sim por seus diversos usuários. Além de ser mais um mero usuário da wiki, o meu papel, como dos demais administradores da wiki, é apenas de coibir os famigerados off-topics e garantir que não haja desvios de seus propósitos iniciais, que é, reitero, de servir como referência para os fatos matemáticos mais úteis nas diversas competições matemáticas. Para demais temas, existem outros canais mais apropriados, aqui mesmo na internet. Bem, é isso! Espero seu artigo em breve! Até, ET = -- Powered by Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos grupos.
1) Seja G um grupo. Dado um G-set X :
a) Mostre q a ação do grupo G induz um homomorfismo T : G em P(X).[P(X) é o grupo das permutações dos elementos de X].
b) Mostre q quando X = G, o homomorfismo T induzido é um monomorfismo.
c) Conclua q todo grupo G é isomorfo a um subgrupo de P(G).
(a) Isto e' consequencia da definicao de acao de um grupo sobre um conjunto!
(b) Neste caso, a acao e' dada por multiplicacao `a esquerda. Se g induz a identidade, em particular g*1 = 1, isto e', g=1. Logo ker do hom. e' trivial, ie, o hom. e' um monomorfismo.
(c) Segue de (b), G e' isomorfo `a sua imagem em P(G).
2) Dado um subgrupo H G, considere a ação # : G em G/H dada por # (g,xH) = (gx)H.
a) Mostre q o núcleo do homomorfismo induzido por esta ação é um subgrupo de H.
b) Mostre q senenhum subgrupo de H é normal em G e [G :H] = n então G é isomorfo a um subgrupo do grupo de permutações de n elementos.
c) Assuma q G é finito e seja p natural o menor primo q divide a ordem de G. Mostre q se [G : H] = p então H G.
(a) Nucleo (kernel) e' sempre um subgrupo; e' inclusive um subgrupo normal.
(b) Acho que ha' uma pequena incorrecao aqui: H=1 e H=G sao sempre subgrupos normais. Mas se, com excecao destes casos triviais, G nao possui subgrupos normais, entao ele e' dito um grupo simples. Neste caso, a acao de G sobre as classes laterais G/H induz um homomorfismo de G em Sn (grupo das permutacoes de n elementos, conhecido como grupo simetrico). Como eu disse em (a), o kernel deste hom. e' um subgrupo normal de G, logo e' igual a 1 ou a G. Se for igual a G, entao gH=H para todo g em G, entao G=H, o que e' absurdo. Logo o hom. e' injetor e define um isomorfismo com um subgrupo de Sn.
(c) Esta e' uma notacao esquisita para subgrupo normal, mas vamos la'. Considere a acao de G sobre G/H; como [G:H]=p, temos um hom.f de G em Sp. Olhando para o que acontece com a classe H, e' facil ver que ker(f) e' um subgrupo de H. Se ker(f)=H, entao H 'e normal em G; caso contrario,f(H) fixa H, entao f(H) e' um subgrupo de S_{p-1}. Entao temos f(H) = H/(ker f) e' um subgrupo nao trivial de S_{p-1}, logo sua ordem e' divisivel por um primo menor que p, e portanto o mesmo ocorre para H. Isto contradiz o fato de que p e' o menor primo que divide |G| (use Lagrange).
Espero que isto ajude.
Ate',
ET
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Re: [obm-l] Teoria dos grupos
- Original Message -
From: Tertuliano Carneiro [EMAIL PROTECTED]
Date: Fri, 21 Mar 2003 14:46:06 -0300 (ART)
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Teoria dos grupos
Olá pessoal!
Alguém poderia tentar resolver estes problemas sobre grupos?
1) Seja An o conjunto de funções pares do grupo Sn das permutações. Mostre que A4
não tem subgrupo de ordem 6.
Seja N um subgrupo de ordem 6 (indice 2) em A4, portanto normal em A4. Seja V o
subgrupo {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, que tambem e' normal em A4 (verifique,
utilizando por exemplo o fato de que conjugacao em Sn nao altera o tipo da
permutacao). Note que V consistem em todos os elementos g em A4 tais que g^2=1.
Entao H = N inter V tambem e' normal em A4, mas |H|=2 ou |H|=1 (Lagrange) e os
subgrupos de ordem 2 de V nao sao normais em A4. Mas como |N|=6, par, N tem elementos
de ordem 2 (Sylow ou pareie os elementos g e g^(-1)), entao H nao e' trivial,
contradicao.
2) Mostre que, se um grupo é abeliano finito, então vale a recíproca do teorema de
Lagrange.
Seja n=|G|, se p|n, p primo, entao existe um subgrupo H de G de ordem p (Sylow ou
inducao: verdadeiro para grupos ciclicos, entao se g diferente de 1 em G tem ordem r
divisivel por p, acabou, caso contrario p divide |G/g| |G|, logo existe h nao em
g tal que h^p=g^k e h^r tem ordem p).
Agora se m|n, tome p|m, e considere H subgrupo de G de ordem p. Aplique inducao em
G/H para achar um subgrupo de ordem m/p,a pre-imagem deste subgrupo tem ordem m.
Grato,
Tertuliano Carneiro.
Ate',
ET
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[obm-l] Notas de Aula
Oi. Vários professores já disponibilizaram notas de aulas ministradas durante a semana olímpica. Eles são pessoas dedicadas, organizadas e que tiveram o trabalho e a paciência de compilar suas aulas e torná-las acessíveis ao maior número possível de interessados. Eu, por outro lado, sou uma pessoa desorganizada, desleixada e preguiçosa e, além disso, ocupada, assim ainda não escrevi nada e acho que não terei tempo para isso nos próximos, digamos, cinco anos. Para não deixar na mão aqueles que gostariam de estudar o assunto sobre o qual falei (inteiros algébricos), estou enviando uma lista de referências. Nível III Não conheço uma fonte adequada para este nível sobre inteiros de Gauss e Eisenstein (Z[i] e Z[w], w^2 + w + 1 = 0). Aguarde um futuro artigo da Eureka. Sobre o critério de Lucas-Lehmer, veja as excelentes notas do Gugu e Nicolau---Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes)---disponíveis nas páginas de ambos http://www.impa.br/~gugu http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html A seguinte referência, Quadratische Zahlkörper, do Franz Lemmermeyer, trata da aritmética em corpos quadráticos em geral. As seções iniciais cobrem exatamente o assunto da minha aula e são uma excelente fonte. http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/16 Elas estão em alemão. Se você não fala alemão, não tem problema! Basta saber ler alemão, que é bem mais simples do que falar. Se você não sabe ler, bem... Se alguém da lista lê alemão e se disponibilizar a traduzir alguns trechos, seria legal... Em todo caso, o seguinte vocabulário pode ajudar, embora as palavras estejam sem tremas: http://www.math.princeton.edu/graduate/generals/germanwords.html Por fim, queria recomendar o gnu pari, uma calculadora especializada em teoria dos números (ela trabalha com inteiros de Gauss e Eisenstein e muito mais, além de ter um monte de funções interessantes mesmo para quem só está interessado em teoria elementar dos números: fatoração em primos, resolução de Pell, Bezout, sistemas de congruências, função phi de Euler, entre outros). Ela foi feita para profissonais, então há várias funções que só interessam a especialistas, mas você pode ignorá-las. ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/ Usando o pari, você pode, por exemplo, verificar que e elevado a pi vezes a raiz quadrada de 163 é e^(pi*sqrt(163)) = 262537412640768743.96..., quase um inteiro. Coincidência? Não. De fato, utilizando a função j de Klein (ellj(x) no pari), j((1+sqrt(163))/2) = -262537412640768000 é um inteiro! Notam alguma semelhança? Pois é, conheço uma demonstração maravilhosa para este fato. Infelizmente a margem deste e-mail é muito curta para contê-la... De fato, esta explicação requer um livro inteiro e é cheia de pré-requisitos (que podem ser estudados em tempo finito, entretanto) e baseia-se na teoria de formas modulares e na teoria de corpos de classe. Em suma, por enquanto aquela expressão ali em cima é uma curiosidade apenas. Nível U Para este nível, há bem mais material, de dificuldade e profundidade variadas. A melhor introdução, na minha opinião, é o livro do Ian Steward e David Tall, Algebraic Number Theory: http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/1568811195/ref=pd_bxgy_text_1/102-1446712-5248159 Este livro aborda vários outros temas importantes dos quais não falei, como o número de classe e o teorema das unidades de Dirichlet. Equivalentes na web são os seguintes cursos do Robin Chapman, do J. Milne: http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/ant.pdf http://www.jmilne.org/math/ As notas do Chapman são bem detalhadas. As do Milne são bem completas. Na página do Milne, você encontrará outras referências sobre tópicos relacionados, bem como alguns pré-requisitos para ler mais sobre o assunto (teoria de grupos e teoria de Galois, entre outros). Na linha do curso do Lemmermeyer, abordando corpos quadráticos apenas, o Robin Chapman escreveu algumas notas de aula (as do Lemmermeyer são melhores): http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf Pode ser uma boa começar por estas notas, pois elas são curtinhas e dão uma boa idéia de toda a teoria, já que é possível fazer várias contas na mão neste caso (infelizmente as provas apresentadas não se generalizam facilmente). Se você gostou do assunto e quiser estudá-lo para valer, recomendo ler (após o Steward, Tall) o excelente livro do Borevich e Shafarevich, Number Theory (eu disse excelente, não criativo). Lá você encontra uma introdução bem simples a inteiros p-ádicos, e métodos analíticos importantes e que não são cobertos pelos livros e cursos anteriores, como a função zeta de Dedekind (que é parente próximo da função zeta de Riemann). Bem, acho que isto é material suficiente para mantê-los ocupados até que eu escreva algo. Se precisarem de mais, é só pedir! Até, ET -- ___ Come to http://www.sailormoon.com the sailormoon
