Pense um pouco sobre g(x)=f(x+1)-f(x), essa questão é bem tricky, o segredo
é que a g satisfaz as condições da questão, logo, por indução, vale que
g(n) é maior ou igual a dois elevado a n menos um, mas isto implica que o
mesmo vale para f(n+1), completando a indução (tem que pensar bastante para
sacar a ideia).
Em qua, 30 de out de 2019 13:47, Lucas Dantas
escreveu:
> Meu grupo da faculdade estamos com dificuldade de resolver o problema 5 da
> segunda fase da OBM-U 2018.
>
> Enunciado: Sejam R+ o conjunto dos números reais positivos e f:R+->R+ uma
> função infinitamente diferenciável tal que:
>
> 1) Para todo k inteiro positivo e para todo real positivo x, f^(k)(x)>0 .
> (Onde f^(k) representa a k-esima derivada).
>
> 2) para todo m inteiro positivo, f(m) é inteiro positivo.
>
> Prove que para todo inteiro positivo n, f(n)>= 2^(n-1)
>
>
>
> Estávamos pensando que qualquer função com todas as derivadas positivas
> cresceria mais rápido que uma exponencial do tipo b^x com uma base maior
> que um. Mas daí conseguimos o contraexemplo vish(sqrt(x)). Agora estamos
> pensando em pensar em algo do tipo que f(x+1)>=2f(x). Mas mesmo assim não
> sei como continuar. Se alguém tiver alguma sugestão de como resolver ou
> alguma ideia pra nos ajudar.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
