Re: [obm-l] outra desigualdade

[Guilherme Rohden Echelmeier]

A é oângulo oposto ao lado a, B é o ângulo 
oposto ao lado b, e C é o ângulo oposto ao lado c.

Sabemos que
S = (ab*senC)/2,
e pela lei dos cossenos,
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC.

Substituindo na desigualdade inicial, chegamos 
em
a^2 + b^2 - ab*cosC = 
raiz(3)*ab*senC =
a^2 + b^2 = ab*(raiz(3)*senC + cosC) 
  
(I)

Agora o negócio é dar uma arrumada no (raiz(3)*senC 
+ cosC)
Veja que raiz(3)*senC = 2*cos30*senC = sen(C+30) + 
sen(C-30),
e que cosC = 2*sen30*cosC = sen(C+30) + sen(30-C) = 
sen(C+30) - sen(C-30)

Então
raiz(3)*senC + cosC = 2sen(C+30), e substituindo 
em(I), a desigualdade vira
a^2 + b^2 = 2ab*sen(C+30). É isso que devemos 
provar...

Por MA = MG, sabemos que a^2 + b^2 = 2ab, e 
como 1= sen(C+30), temos que
a^2 + b^2 = 2ab = 2ab*sen(C+30), provando o 
que se pedia.

Acho que é isso.

Guilherme

- Original Message - 

  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, October 30, 2005 11:41 
  AM
  Subject: [obm-l] outra desigualdade
  
  Prove que se a,b e c sao lados de um triangulo qualquer. S sua area. 
  
  entao. a^2+b^2+c^2=4raiz(3)S
  
  
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RE: [obm-l] desigualdade

[Guilherme Rohden Echelmeier]

(a+b)(a+c) = a^2+ab+ac+bc = a*(a+b+c)+bc.

Seja a*(a+b+c) = X, e bc = Y.

Fazendo MA = MG com X e Y, fica provado o q se pede.

Acho q é isso.

Guilherme


From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] desigualdade
Date: Sat, 29 Oct 2005 19:17:04 + (GMT)

Prove que (a+b)(a+c)=2*raiz(abc(a+b+c)) para quaisquer numeros reais 
positivos a, b e c.



Obrigado.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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