Re: EQUILÁTERO
Considere um triangulo ABC inscrito neste circulo, fixe o lado BC e varie o vertice A na circunferencia. A area do triangulo vai variar e vai ser maxima quando for maxima a distancia de A ao lado BC (concorda?). E isto ocorrerah quando AB = AC (concorda?). Ou seja, para cada triangulo ABC inscrito, existe um outro A'BC (isosceles em A') que tem area maior do que ele. Veja agora se da para utilizar este raciocinio para concluir que o maximo ocorre quando o triangulo eh equilatero. JP -Mensagem Original- De: Alexandre F. Terezan Para: OBM Enviada em: 18 de Março de 2001 03:59 Assunto: EQUILÁTERO Provar (com noçoes de 2o grau de preferência) que, dada uma circunferencia de raio R, o triangulo nela inscrito de maior área é o triângulo equilátero de ladoigual a R x (sqrt 3) Obs: x = produto sqrt 3 = raiz quadrada de 3
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Pessoal. Era exatamente este tipo de reflexoes que eu queria suscitar. So que, como vieram do grande Ralph, ja estao na sua forma final. Colocacoes "to the point". JP -Mensagem Original- De: "Ralph Costa Teixeira" [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 00:25 Assunto: Re: Ajuda urgente: clculo do volume de um tanque. Oi, Jose Paulo. O seu ponto eh valido. Na minha opiniao, nenhum problema terrivele em ficar com um problema numerico nas maos. A integral eh feia para resolver "no braco", mas nem sempre uma formula "fechadinha" (no caso aqui, sem integrais, usando soh as funcoes mais "comuns" como exponenciais, trigonometricas e aritmeticas) eh melhor do que uma que tenha um sinal de integral. Afinal, mesmo que a resposta fosse V=e^h, o calculo disso acaba sendo feito "numericamente" na hora de marcar o volume lah na escala do tanque. E esse calculo tambem envolve um erro numerico, assim como o da integral -- e ambos os erros podem ser bem controlados (dependendo do que estah dentro da integral). Ha de se lembrar que muitas das funcoes que a gente aceita facilmente podem muito bem ser consideradas como apelidos para integrais... Por exemplo, muita gente DEFINE a funcao log natural por ln x = INT (t=1 a t=x) 1/t dt e entao DEFINE e^x como a funcao inversa de ln x. Assim, tais funcoes nao seriam "melhores" que expressoes integrais... Talvez esse outro exemplo reforce o meu ponto: a nem tao conhecida funcao erf(x) eh definida como: erf(x) = 2/sqrt(Pi) INT (t=0 a t=x) e^(-t^2) dt Muita gente diria que a integral do lado direito "nao tem solucao". Mas, se voce conhece erf(x), a integral eh trivial. Se voce trabalhar bastante com a erf(x) e acostumar-se com suas propriedades, voce acaba aceitando-a tanto como e^x ou ln(x) ou cos(x) -- diga-se de passagem, a funcao erf de fato tem varias propriedades interessantes e aparece naturalmente em varios contextos, especialmente quando falando da distribuicao normal de probabilidade; suas tabelas sao bem conhecidas, seu comportamento eh bem entendido. Hoje em dia, se eu me deparo com uma resposta que tenha a integral de e^(-t^2) na expressao, eu me dou por satisfeito e considero o problema resolvido, mesmo que eu nao chegue a escrever erf(x) no lugar da integral. Assim, nao vejo nada de intrinsicamente terrivel na integracao numerica nao... Mas vejo como a minha mensagem anterior parece indicar isso. :) Eu eh que fiquei meio decepcionado de nao conseguir uma formula "fechadinha" para o problema... :) :) Uma das principais razoes da minha decepcao eh que o Software que eu costumo usar para gerar graficos nao consegue lidar automaticamente com a funcao definida via a integral (ele se confunde e acha que ha variaveis demais na expressao), mas conseguiria se eu arrumasse a tal formula fechadinha (bom, ele conhece erf(x), mas nao conhece aquela integral do volume do tanque). Talvez o Matlab consiga lidar com as duas formas igualmente? Nao sei... Abraco, Ralph Jos Paulo Carneiro wrote: Proponho que se rediscuta o conceito de integral feia. Qual eh o problema de calcular uma integral numericamente? (So para provocar...) JP
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Pessoal. Era exatamente este tipo de reflexoes que eu queria suscitar. So que, como vieram do grande Ralph, ja estao na sua forma final. Colocacoes "to the point". Eu acrescentaria, para provocar mais a todos, o seguinte: Desde Arquimedes (ou antes, de Eudoxo?) se calculam integrais, por metodos relativamente proximos da definicao. O chamado "Teorema fundamental do Calculo" (sec.XVII), que permite "calcular" certas integrais em "segundos", sabendo de cor um primitiva (ou tendo uma tabela delas) eh sem duvida uma grande invencao da humanidade. Mas acho que o ensino do Calculo criou uma especie de expectativa de que toda integral tem de ser calculada desta forma. Dahi a pletora dos "metodos de integracao", para tentar fazer as mais complicadas se moldarem a tabela (o que alias tambem gera problemas divertidos). Fica ainda na cabeca das pessoas que resolver "numericamente" uma integral eh uma especie de vergonha, uma capitulacao do Departamento do Calculo diante do Departamento de Calculo Numerico (que tal fundir estes 2 departamentos num so?). Na verdade, como o Ralph demonstrou com os seus exemplos, isto eh ilusorio. Eh apenas uma questao de saber de onde se parte. Acho que estah em tempo de o ensino de Calculo (pelo memos em cursos de Matematica) apresentar a integral como: 1) a medida de um "estoque"; 2) um excelente instrumento para justificar "existencia" em matematica (como no caso do logaritmo, citado pelo Ralph). E nao como aquela cobrinha sem sentido que eh "o contario da derivada". JP JP -Mensagem Original- De: "Ralph Costa Teixeira" [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 00:25 Assunto: Re: Ajuda urgente: clculo do volume de um tanque. Oi, Jose Paulo. O seu ponto eh valido. Na minha opiniao, nenhum problema terrivele em ficar com um problema numerico nas maos. A integral eh feia para resolver "no braco", mas nem sempre uma formula "fechadinha" (no caso aqui, sem integrais, usando soh as funcoes mais "comuns" como exponenciais, trigonometricas e aritmeticas) eh melhor do que uma que tenha um sinal de integral. Afinal, mesmo que a resposta fosse V=e^h, o calculo disso acaba sendo feito "numericamente" na hora de marcar o volume lah na escala do tanque. E esse calculo tambem envolve um erro numerico, assim como o da integral -- e ambos os erros podem ser bem controlados (dependendo do que estah dentro da integral). Ha de se lembrar que muitas das funcoes que a gente aceita facilmente podem muito bem ser consideradas como apelidos para integrais... Por exemplo, muita gente DEFINE a funcao log natural por ln x = INT (t=1 a t=x) 1/t dt e entao DEFINE e^x como a funcao inversa de ln x. Assim, tais funcoes nao seriam "melhores" que expressoes integrais... Talvez esse outro exemplo reforce o meu ponto: a nem tao conhecida funcao erf(x) eh definida como: erf(x) = 2/sqrt(Pi) INT (t=0 a t=x) e^(-t^2) dt Muita gente diria que a integral do lado direito "nao tem solucao". Mas, se voce conhece erf(x), a integral eh trivial. Se voce trabalhar bastante com a erf(x) e acostumar-se com suas propriedades, voce acaba aceitando-a tanto como e^x ou ln(x) ou cos(x) -- diga-se de passagem, a funcao erf de fato tem varias propriedades interessantes e aparece naturalmente em varios contextos, especialmente quando falando da distribuicao normal de probabilidade; suas tabelas sao bem conhecidas, seu comportamento eh bem entendido. Hoje em dia, se eu me deparo com uma resposta que tenha a integral de e^(-t^2) na expressao, eu me dou por satisfeito e considero o problema resolvido, mesmo que eu nao chegue a escrever erf(x) no lugar da integral. Assim, nao vejo nada de intrinsicamente terrivel na integracao numerica nao... Mas vejo como a minha mensagem anterior parece indicar isso. :) Eu eh que fiquei meio decepcionado de nao conseguir uma formula "fechadinha" para o problema... :) :) Uma das principais razoes da minha decepcao eh que o Software que eu costumo usar para gerar graficos nao consegue lidar automaticamente com a funcao definida via a integral (ele se confunde e acha que ha variaveis demais na expressao), mas conseguiria se eu arrumasse a tal formula fechadinha (bom, ele conhece erf(x), mas nao conhece aquela integral do volume do tanque). Talvez o Matlab consiga lidar com as duas formas igualmente? Nao sei... Abraco, Ralph Jos Paulo Carneiro wrote: Proponho que se rediscuta o conceito de integral feia. Qual eh o problema de calcular uma integral numericamente? (So para provocar...) JP
Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
Proponho que se rediscuta o conceito de integral feia. Qual eh o problema de calcular uma integral numericamente? (So para provocar...) JP -Mensagem Original- De: "Ralph Costa Teixeira" [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 1 de Maro de 2001 19:46 Assunto: Re: Ajuda urgente: clculo do volume de um tanque. Oi todo mundo. Voltando ao problema do tanque deitado, as noticias nao sao nada boas para o resto do problema. Acaba numa integral muito feia que eu creio soh poder ser feita mesmo numericamente. I. O CILINDRO Na ultima mensagem eu disse que, se o nivel do liquido eh h a partir do fundo de um cilindro de raio r e "comprimento" a (pois o cilindro estah deitado), entao o volume do liquido lah dentro eh: V1 = a.r^2. [Pi + (m-1)sqrt(m(2-m)) - arccos(m-1)] onde eu uso m=h/r para facilitar as coisas. Seria legal marcar o zero da escala no centro do cilindro, isto eh, tomar h1 = h-r como variavel ao inves de h. Assim, se m=h1/r V1 = a.r^2. [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos(m)] Daqui por diante vou usar esta notacao, marcando h=0 no meio, e assim h vai de -r a r. Quem nao gostar, troque h por h+r de volta. :) II. CADA UMA DAS CALOTAS Uma secao *horizontal* da calota esferica aa altura z (z=0 eh o plano horizontal passando pelo centro da esfera) eh um segmento circular. Eu peguei uma destas secoes HORIZONTAIS e desenhei-a aqui vista de cima, preenchida com s's. O x marca o centro do circulo, R0 eh seu raio e d eh a distancia entre o centro e o segmento que delimita o segmento circular. |\ |s\ |ss\ d |sss| x|sss| \ |sss| \ |ss/ R0\ |s/ \|/ Como a secao horizontal estah aa distancia |z| do centro da esfera, temos R0=sqrt(R^2-z^2). Por outro lado, pode-se notar que d eh tambem a distancia do centro da ESFERA (que nao eh necessariamente x! O centro da esfera estah na secao horizontal z=0!) ao plano usado para corta-la em uma calota. Em outras palavras, d=sqrt(R^2-r^2). Enfim, lembre-se que a area do segmento circular eh a area de um setor circular menos um triangulo escolhidos a dedo... A formula eh: A = (R0)^2.arccos(d/R0) - d.sqrt(R0^2-d^2) Substitua R0 e d: A = (R^2-z^2).arccos(sqrt(R^2-r^2)/sqrt(R^2-z^2)) - sqrt(R^2-r^2).sqrt(r^2-z^2) Agora voce teria que integrar isso de z=-r a z=h para achar o volume do liquido. A segunda parte da integral (a segunda linha da area) eh facil por substituicao, eh igual ao calculo feito para o cilindro. Tome de novo m=h/r e fique com: V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m] A primeira parte eh pior ainda. Use z=R.cost, r/R=p e h/R=q para obter: V2 = R^3 INT(t = arccos(q) a t = Pi - arccos(p)) (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt Ateh onde eu sei, esta integral nao pode ser resolvida analiticamente (o arccos(K/sint) me faz acreditar nisto), a menos eh claro que p=1 (o caso em que r=R, ou seja, em que as calotas sao de fato dois hemisferios). Assim, a melhor opcao eh fazer um calculo numerico desta integral usando os seus dados a=14500, r=500 e R=3142... Note que V2 depende de q de maneira "simples". Ponha varios valores de q e faca uma tabela... :( III. JUNTANDO TUDO Em suma, pegue um computador e calcule as seguintes quantidades para cada h desejado de -r a r: p=r/R; q=h/R; m=h/r=q/p; DENTRO DO CILINDRO: V1 = a.r^2.[Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m] NAS CALOTAS: 2V2 = R^3 INT(t = arccos(q); t = Pi - arccos(p)) (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt (Resolva numericamente para o valor p fixo que voce tem e usando diversos valores de q) 2V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m] O volume que voce quer eh V1+2V2+2V3. Eu sei que a resposta parece um pouco decepcionante, mas espero que tenha ajudado. As vezes eh mais facil fazer ao contrario: vah enchendo o tanque com volumes conhecidos e marcando os valores de h para cada um, montando assim a escala "experimentalmente"... Ou faca isso para um tanque igual mas menor em escala... :) - / \ / \ | | \---/ \ / - Nesse caso temos: a = 14500mm; r = 500mm; R = 3142mm; em que, a = comprimento do cilindro (no considerar as calotas, e sim apenas o cilindro plano nos lados); r = raio do cilindro; R = raio da calota at a
Re: Problema com compasso
Wagner: Quais sao as regras deste compasso? Ele so pode tracar uma circunferencia com centro dado e passando por um ponto dado? Neste caso, tenho dificuldade com o passo "trace C5(D,2)", pois ainda nao sei que os pontos D e ... (nao me lembro agora, pois nao tenho a figura na feente) sao diametralmente opostos. Por outro lado, se o compasso permite tracar um circulo de centro dado e raio igual a distancia entre dois pontos dados, vou ter que construir primeiro um ponto que diste 2 de um conhecido. Alem disto, vou ter um problema no cabri, pois o "compasso" do Cabri exige um segmento previamente tracado (regua...) ou entao o uso de uma medida numerica, que eh feio. Nao sei se fui claro na minha duvida. Abracos. JP -Mensagem Original- De: "Eduardo Wagner" [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 2 de Maro de 2001 06:39 Assunto: Re: Problema com compasso Nas construcoes com regua e compasso devemos perceber que o compasso eh, de certa forma, um instrumento mais nobre que a regua. Ele traca uma circunferencia perfeita enquanto que a regua depende da precisao de sua fabricacao. O Nicolau lembrou um belo teorema que afirma que qualquer construcao que pode ser realizada com regua e compasso pode ser tambem realizada apenas com o compasso. Este teorema se deve a um matematico dinamarques chamado Georg Mohr(1640-1697) e foi publicado em 1672, mas, aparentemente, ninguem deu importancia. Mais de um seculo depois, Lorenzo Mascheroni redescobriu esta perola e publicou um livro sobre construcoes geometricas apenas com o compasso e dai este tema passou a ser conhecido e apreciado. Vamos resolver o problema de encontrar o ponto medio de um segmento AB usando apenas o compasso. Na notacao que vamos utilizar, C(P,r) indica uma circunferencia de centro P e raio r, e C1 X C2 indica um dos pontos de intersecao entre as circunferencias C1 e C2. Seja AB = 1. Trace C1(A,1) Trace C2(B,1) P = C1 X C2 Trace C3(P,1) Q = C3 X C2 Trace C4(Q,1) D = C4 X C2 Trace C5(D,2) E,F = C5 X C1 Trace C6(E,1) Trace C7(F,1) M = C6 X C7 eh o ponto medio de AB. Prove! Abraco, Wagner. -- From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema com compasso Date: Tue, Feb 27, 2001, 4:55 On Mon, 26 Feb 2001, Bruno F. C. Leite wrote: Dado o segmento AB, ache o ponto mdio de AB, USANDO SOMENTE O COMPASSO. Bruno Leite No vou resolver, mas quero chamar a ateno de que este problema caso particular do seguinte: Dados pontos A, B, C e D no plano encontre a interseo entre as retas AB e CD usando apenas compasso. O seu problema se reduz facilmente a este: basta traar um crculo de centro A e raio AB e outro de centro B e mesmo raio. Chame as duas intersees de C e D. Outro problema: Dados pontos A, B, C e D no plano encontre as intersees entre o crculo de centro A e raio AB e a reta CD, novamente usando apenas compasso. Dados estes dois problemas, no difcil provar que *qualquer* construo que pode ser realizada com rgua e compasso pode ser tambm realizada apenas com compasso. []s, N.
Re: Godel
O livro Godel's Proof eh de Nagel e Newman JP -Mensagem original- De: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 1 de Fevereiro de 2001 13:17 Assunto: Re: Godel J foi citado um muito bom, aqui na lista. http://www.dmm.im.ufrj.br/diversos/godel.htm um bom comeo. Apesar de ser um pouco informal, timo para dar a idia geral do teorema. Depois vc procura algum material com a demonstrao mais formal. Para isso, no conheo nenhum site, mas vc pode ler o livro "Godel's Proof" ou o teorema original de Godel: "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems", da editora Dover. Esse ltimo muito tcnico, mas tem uma introduo que ajuda bastante a compreenso do teorema. Rogrio From: "Bruno Woltzenlogel Paleo" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "Olympium" [EMAIL PROTECTED],Cincia-List [EMAIL PROTECTED],"OBMList" [EMAIL PROTECTED] Subject: Godel Date: Thu, 1 Feb 2001 08:55:57 -0200 Alguem conhece algum bom site sobre o teorema de Godel? at mais... Bruno Woltzenlogel Paleo http://br.geocities.com/dopelganger5/ [EMAIL PROTECTED] _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Um pouco de fisica
Lembro-me de existir uma apostila antiga do Elon Lages Lima: Elementos de Calculo Tensorial. Ela apresenta nao a visao original do Calculo Tensorial, vendo os tensores como agentes de mudanacas de coordenadas, mas a visao "moderna" (falo de meio seculo atras), em termos de espacos (vetoriais) duais. Nao sei se virou livro, mas de qualquer forma tem no IMPA. JP -Mensagem original- De: Leonardo Motta [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 18 de Janeiro de 2001 00:07 Assunto: Re: Um pouco de fisica Talvez isso ajude: Grosso modo um tensor eh uma grandeza vetorial e escalar, um grupo algebrico nao-linear que sofre transformacoes bem definidas. Uma matriz e' um caso particular de tensor, por exemplo. O calculo tensorial tambem pode ser visto como a generalizacao da algebra linear, um objeto mais geral que o vetor e a matriz. A definicao formal poderia ser encontrada na MathWorld da Treasure-Troves of Science, do Dr. Weisstein da WOLFRAM, se a enciclopedia nao estivesse offline (temporariamente): http://www.treasure-troves.com/
Re: limite do M.H.S.
O limite procurado eh o limite de [A.cos(w(t+h)+f) - A.cos(wt+f)] / h, quando h tende a 0. Agora aplique a formula cos(p)-cos(q)=2 sen[(p+q)/2].sen[(q-p)/2], para tornar aquela expressao igual a: -2A multiplicado por sen(wt+f+wh/2) [este fator tende a sen(wt+f)], multiplicado por sen(wh/2)/h. Este ultimo fator eh o mesmo que w/2 vezes sen(u)/u, onde u=wh/2 estah tendendo a 0. Por um resultadoclassico de limites, sen(u)/u tende a 1 quando u tende a 0. Logo, o limite em questao eh: -2A.w/2.sen(wt+f) = -2Aw.sen(wt+f) Conferiu com o que voce achou geometricamete? JP -Mensagem original-De: Daniel [EMAIL PROTECTED]Para: Lista da OBM [EMAIL PROTECTED]Data: Quarta-feira, 17 de Janeiro de 2001 00:50Assunto: limite do M.H.S. Por um acaso poderiam me ajudar com um limite, matéria da qual ainda não estudei tudo? É o seguinte: No Movimento Hamônico Simples, a função horária de elongação é dada por: x = A.cos(wt+f), Consegui deduzir a função da velocidade usando trigonometria, mas sei que v = lim Dx/Dt, quando Dt tende a zero, A pergunta é como calcular tal limite da função horária acima? Daniel
Re: Polinômio unitário
Pode ser que esteja querendo dizer que o coeficiente do termo de mais alto grau eh 1. Em geral se chama isto de monico. Ou entao que tal polinomio eh uma "unidade", termo usado por alguns em um dominio de integridade (ou seja, um anel sem divisores de zero) para dizer que o polinomio eh invertivel. Por exemplo, se os coeficientes do polinomio estao em um corpo (por exemplo, R ou Q), os invertiveis sao os polinomios de grau zero. JP -Mensagem original-De: Daniel [EMAIL PROTECTED]Para: Lista da OBM [EMAIL PROTECTED]Data: Terça-feira, 16 de Janeiro de 2001 00:15Assunto: Polinômio unitário Por um acaso alguém sabe o que um autor quer dizer quando fala que um polinômio é unitário? Daniel
Re: Questao legal!
Exatamente. Idealmente, aumentando o numero de operacoes, a precisao deveria aumentar. Mas cada raiz quadrada (por exemplo) feita na calculadora (ainda mais a do feirante) introduz um erro de arredondamento / truncamento, que vai se acumulando. Neste sentido, o numero de operacoes joga (no sentido da "teoria dos jogos") contra a precisao. Volto a citar o meu artigo (Nota) do Math.Gazette, onde este ponto eh comentado. Que haja um ponto "otimo", foi observado empiricamente (e este otimo varia ligeiramente com o proprio valor do numero cujo logaritmo se estah biscando), mas nao justificado matematicamente. Se me lembro bem, o "referee" acrescentou uma frase do tipo: "seria um interessante assunto de pesquisa pesquisar este otimo"... JP -Mensagem original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Tera-feira, 9 de Janeiro de 2001 11:26 Assunto: Re: Questao legal! On Mon, 8 Jan 2001, Jos Paulo Carneiro wrote: No caso que eu propus, nao ha funcoes trigonometricas. Trata-se da calcladora "do feirante". So tem as 4 operacoes e mais raiz quadrada. Atencao, problemistas! Como sei que voces ja pensaram, aqui vai: Tome uma calculadora do feirante e teclem o numero dado positivo N. Agora aperte a tecla da raiz quadrada 15 vezes. Subtraia 1 do resultado. Agora multiplique o resultado por 2. De novo multiplique por 2, ateh completar 15 multiplicacoes por 2. O resultado eh (uma aproximacao de) logaritmo natural de N. Observacoes: 1) Nao ha nada de magico com o numero 15. Voce pode fazer com qualquer numero de vezes em vez de 15 (desde que o numero de raizes quadradas seja o mesmo que o de multiplicacoes por 2), obtendo aproximacoes com precisoes diferentes. [...] Para quem tiver pacincia, vale a pena fazer o teste. Variando este nmero N de vezes que apertamos a tecla [sqrt], comeando com valores baixos de N e subindo, a preciso vai aumentando, mas s at um certo ponto. Depois de um certo valor de N a preciso comea a piorar. As duas perguntas so: (a) qual a razo de ser deste estranho comportamento? (b) qual o valor ideal de N? O que faz dele o valor ideal? []s, N.
Re: Integral
Um bonito exercicio eh mostrar que a integral de 0 a infinito de sen(t)/t eh igual pi/2. Mais bonita ainda eh a demonstracao usando integracao no plano complexo. JP -Mensagem original-De: Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 7 de Janeiro de 2001 11:56Assunto: RES: Integral Alguém pode me ajudar com essa integral ? Tentei, várias vezes seguidas, usar o método de integração por partes, mas sempre "zerava" ... Davidson Acho que você não vai conseguir expressar essa integral com funções elementares, mas parece que consegui uma série que converge para a tal integral, partindo da expressão para sen(t) em série, que é: sen(t) = t - t^3/3! + t^5/5! - t^7/7! + t^9/9! - ..., logo sen(t)/t = 1 - t^2/3! + t^4/5! - t^6/7! + t^8/9! - ... , integrando vem: integral(sen(t)/t) = t - t^3/(3*3!) + t^5/(5*5!) - t^7/(7*7!) + t^9/(9*9!) - ... Eric.
Re: Questao legal!
Vou acrescentar outro problema: Agora, a calculadora tem as 4 operacoes e mais a tecla da raiz quadrada (como alias eh o caso das calculadoras mais simples que existem). Explique como se pode calcular o logaritmo natural de um numero positivo. [Se voce quiser a solucao, pode encontra-la na minha "Nota" : Logarithms on the Simplest Calculator The Mathematical Gazette Vol. 82; Number 493; March 1998. Esta revista inglesa pode ser consultada, por exemplo, na Biblioteca do IMPA] JP -Mensagem original- De: Fabricio Damasceno [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 4 de Janeiro de 2001 18:22 Assunto: Questao legal! Ola Pessoal! Recentemente encontrei um problema muito interessante. "dispondo de uma calculadora simples que somente realiza as operacoes fundamentais (+, -, *, /) e calcula as funcoes trigonometricas. Calcule a raiz quadrada de um numero natural." MailBR - O e-mail do Brasil -- http://www.mailbr.com.br Faça já o seu. É gratuito!!!
Re: Questao legal!
Eh evidente que se trata de uma resposta aproximada. No caso, trata-se de apertar certas teclas um certo numero n de vezes, e o grau de aproximacao vai depender de n. Alias, existe algum numero irracional que nao seja calculado por aproximacao? E mesmo um racional: calcule 1 dividido por 3 na calculadora, e a resposta ja eh aproximada. Como dizia o velho Dieudonne: calcular um numero real eh majorar, minorar, aproximar. JP -Mensagem original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 5 de Janeiro de 2001 12:35 Assunto: Re: Questao legal! On Fri, 5 Jan 2001, José Paulo Carneiro wrote: Vou acrescentar outro problema: Agora, a calculadora tem as 4 operacoes e mais a tecla da raiz quadrada (como alias eh o caso das calculadoras mais simples que existem). Explique como se pode calcular o logaritmo natural de um numero positivo. [Se voce quiser a solucao, pode encontra-la na minha "Nota" : Logarithms on the Simplest Calculator The Mathematical Gazette Vol. 82; Number 493; March 1998. Esta revista inglesa pode ser consultada, por exemplo, na Biblioteca do IMPA] JP Ola Pessoal! Recentemente encontrei um problema muito interessante. "dispondo de uma calculadora simples que somente realiza as operacoes fundamentais (+, -, *, /) e calcula as funcoes trigonometricas. Calcule a raiz quadrada de um numero natural." Nestas questões acho que ajuda dar um enunciado mais completo. Acho que queremos um algoritmo para calcular de forma rápida e simples uma resposta aproximada, certo? No problema do JP sei que é impossível obter uma resposta exata em um número finito de passos mas no segundo, dado que podemos calcular funções trigonométricas, não tenho certeza. De qualquer forma seria estranho falar de calculadora e esperar resposta exata... []s, N.
Re: Publicação em primeiramão da constante de Hinrichs
Nao sei bem por que voce quer fazer isto "sem o computador", a nao ser que voce queira dizer: "sem usar uma caixa preta, do tipo: computador, resolva a equacao!", isto eh, suponho que voce queira entender o que um programa desses faz. Ha toda uma teoria muito bonita (e nao dificil) sobre as solucoes de equacoes do tipo f(x)=x, ou seja, os pontos fixos da funcao f. A teoria consiste em estabelecer as condicoes sob as quais a sequencia x(n+1)=f(x(n)) [os paretnteses sao de funcao, nao de multiplicacao] converge a um ponto fixo, partindo de um valor inicial x(0). Uma condicao suficiente para a convergencia eh que exista um intervalo J e uma constante 0k1 tal que o modulo da derivada de f permaneca menor que k nesse intervalo (o x(0) tambem deve ser tomado neste intervalo). Os livros de Calculo Numerico tem isto. JP -Mensagem original- De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 29 de Dezembro de 2000 03:38 Assunto: Re: Publicação em primeiramão da constante de Hinrichs Como faço para, sem o uso de computador, ter uma boa aproximação da raiz dessa equação ??? Abraços, ¡ Villard ! -Mensagem original- De: José Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 28 de Dezembro de 2000 21:03 Assunto: Re: Publicação em primeiramão da constante de Hinrichs Esta constante eh a solucao da equacao cos(x)=x. Voce pode fazer o mesmo com varias outras funcoes. Por exemplo, com o seno vai dar 0. Para outras funcoes, o processo nao vai convergir. As vezes, vai convergir ou nao dependendo do ponto de partida. Eu sempre usei este exemplo e outros semelhantes em aulas de Analise ou de Calculo numerico, para introduzir processos iterativos, sitemas dinamicos, etc. JP -Mensagem original- De: Benjamin Hinrichs [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 28 de Dezembro de 2000 13:09 Assunto: Publicação em primeiramão da constante de Hinrichs Porto Alegre, 28 de Dezembro de 2000. Srs., tenho o prazer de vos anunciar a novíssima constante de Hinrichs (não reparem no meu sobrenome). É algo trivial, pegue uma calculadora não muito pomposa, ligue, aperte cos e, com o resultado, tire o cosseno e novamente e assim em diante. Vc está se aproximando da constante de Hinrichs. O princípio é trivial, é claro. Não pergunte a utilidade pois alguns dos trabalhos de Riemann só vieram a ser usados 50 anos depois por Einstein. Espero que ninguém conheço outro nome para a constante de Hinrichs. Aliás, falando de Einstein, quem me diz qual é a relação entre E=mc^2 e a teoria da relatividade, afinal a fórmula é frequentemente associada à teoria da relatividade. Grande abraço, Benjamin Hinrichs
Re: Publicação em primeiramão da constante de Hinrichs
Esta constante eh a solucao da equacao cos(x)=x. Voce pode fazer o mesmo com varias outras funcoes. Por exemplo, com o seno vai dar 0. Para outras funcoes, o processo nao vai convergir. As vezes, vai convergir ou nao dependendo do ponto de partida. Eu sempre usei este exemplo e outros semelhantes em aulas de Analise ou de Calculo numerico, para introduzir processos iterativos, sitemas dinamicos, etc. JP -Mensagem original- De: Benjamin Hinrichs [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 28 de Dezembro de 2000 13:09 Assunto: Publicação em primeiramão da constante de Hinrichs Porto Alegre, 28 de Dezembro de 2000. Srs., tenho o prazer de vos anunciar a novíssima constante de Hinrichs (não reparem no meu sobrenome). É algo trivial, pegue uma calculadora não muito pomposa, ligue, aperte cos e, com o resultado, tire o cosseno e novamente e assim em diante. Vc está se aproximando da constante de Hinrichs. O princípio é trivial, é claro. Não pergunte a utilidade pois alguns dos trabalhos de Riemann só vieram a ser usados 50 anos depois por Einstein. Espero que ninguém conheço outro nome para a constante de Hinrichs. Aliás, falando de Einstein, quem me diz qual é a relação entre E=mc^2 e a teoria da relatividade, afinal a fórmula é frequentemente associada à teoria da relatividade. Grande abraço, Benjamin Hinrichs
Re: Pode-se ordenar um conjunto numeroso?
O conjunto dos complexos pode ser ordenado (de infinitas maneiras). O que nao se pode eh dota-lo de uma ordem que seja compativel com as suas operacoes de corpo (ou seja, ele eh um corpo nao-ordenavel), no sentido de que: ab implique a+cb+c e ab e c0 implique acbc. JP -Mensagem original- De: Jorge Peixoto Morais [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 21 de Dezembro de 2000 04:33 Assunto: Pode-se ordenar um conjunto numeroso? Um conjunto de alta cardinalidade, como 2^(cardinalidade de R), pode ser ordenado (como R, apesar de que C tem a mesma cardinalidade e nao pode)? Existe algum conjunto nessas condicoes? A uniao e o produto cartesiano de uma familia enumeravel de conjuntos cuja cardinalidade eh a de R teem que cardinalidade? E se, em vez de uma familia enumeravel, tem-se (por exemplo) uma bijecao entre cada conjunto e o conjunto dos reais? []s, J.P. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Integral
Em primeiro lugar, eh preciso estar claro a que integral voce se refere. Se a integral em questao eh a de Riemann, em um intervalo da forma [a;b], entao a continuidade eh suficiente (esta continuidade eh tambem suficiente para garantir a existencia de uma primitiva), mas nao necessaria: basta pensar em uma funcao que eh zero para x entre 0 e 1, e 1 nos extremos 0 e 1. Esta funcao eh Riemann-integravel, sua integral eh zero e ela eh discontinua em 2 pontos do intervalo. Uma condicao necessaria e suficiente eh que ela seja limitada e que o conjunto de seus pontos de descontinuidade tenha comprimento (medida de Lebesgue) igual a zero. JP -Mensagem original- De: Leonardo Motta [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2000 22:36 Assunto: Re: Integral Quais são os critérios, para sabermos se uma função é integrável? A funcao deve ser continua no intervalo em questao e deve-se conhecer uma funcao derivada identica a funcao que se deseja integrar... Creio que soh! :)
Re: Fofoca Matematica.
Super-parabens para os tres brasileiros! JP -Mensagem original- De: Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 6 de Dezembro de 2000 12:39 Assunto: Fofoca Matematica. 24 horas de competicao sem parar no Mat-Quiz!! No passado dia 4 de dezembro `as 10:00 horas da manha deu-se inicio a uma curiosa competicao para matematicos (profissionais e alunos de doutorado) organizada pelo CRM (Centre de Recerca Matematica)- Barcelona em comemoracao ao ano Internacional da Matematica. O jogo foi disputado por equipes (sem limite no numero de integrantes) que competiram durante 24 horas seguidas via internet contra outros times do mundo todo. Para defender o Brasil inscreveram-se na brincadeira 3 Matematicos: Krerley Oliveira, Fabio Brochero e Gugu estes "valentes" Matematicos enfrentaram o cansaco trancados na Biblioteca do IMPA competindo via internet contra mais de 100 times. A competicao acabou as 10 horas da manha de ontem e os caras ficaram em terceiro e ganharam um computador da SUN. Parabens!! (Haja folego hein,z!). Abracos, Nelly.
Re: Hessiano
No lugar ij da matriz, estao as derivadas parciais do tipo df / dx(i) dx(j). O criterio de positividade eho mesmo que para qualquer matriz definida positiva: todos os determinantes menores principais tem de ser positivos. JP -Mensagem original-De: Humberto Ferreira Vinhais [EMAIL PROTECTED]Para: Olimpíada de Matemática [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 4 de Dezembro de 2000 21:34Assunto: Hessiano Hei, por favor, alguém poderia me responder se existe hessiano de ordem 3 ( para funções de 3 variáveis ) ? e se existe, como é que se escreve ? e se através dele eu posso determinar pontos de máximo, mínimo e de sela de uma função da mesma forma que se determina isso para funções de 2 variáveis (, ou seja: H0 (ou del f / del x^2 0 =ponto de mínimo ou del f / del x^2 0 =ponto de máximo), H0 = ponto de sela e H=0 = inconclusivo )
Re: Ajudem-me com este polinomio.
O raciocinio estah perfeito, mas houve um erro de conta no delta, que eh: 4(2-a). -Mensagem original- De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 4 de Dezembro de 2000 00:12 Assunto: Re: Ajudem-me com este polinomio. Vemos que 1 e -1 são raízes de p(x). Daí, este é divisível por (x^2-1). Fazendo a divisão pelo algoritmo da divisão, temos o seguite quociente : x^4 + 2x^3 + (a+1)x^2 + 2x + 1 Para acharmos suas raízes, devemos igualá-lo a zero, o q nos dá uma equação recíproca !! . x^2 [ (x^2 +1/x^2) + 2(x + 1/x) + a + 1 ] = 0 ... fazendo x+1/x = t , temos x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2, daí a equação se transforma em ... x^2 ( t^2 -2t + a - 1 ) = 0 Como queremos raízes reais, o delta de t^2 - 2t +a + 1 = 0 deve ser maior ou igual a zero. delta = 4 - 4(a+1) = - 4a. Daí, temos a=0 (I) As raízes são t = 1 +- sqrt(-a) E, t = x + 1/x. (i) x + 1/x = 1 + sqrt(-a) x^2 - (1 + sqrt(-a) )x +1 = 0. delta = 0 1 - a + 2sqrt(-a) - 4 = 0, . 2sqrt(-a) = 3 + a. Para -3 = a = 0, temos -4a = 9 + 6a + a^2... a^2+10a+9=0 ... -9= a = -1, o que resulta em -3 = a = -1 (II) ... Para a = - 3, temos a^2 + 10a + 9 = 0, o que nos dá apenas dois intervalos a = -9 e a = -1, q resulta em a = -9 (III) (ii) x +1/x = 1 - sqrt(-a) x^2 - ( 1- sqrt(-a) )x +1 = 0. delta = zero, daí, temos : 1 - 2 sqrt(-a) -a -4=0 ... 2sqrt(-a) = -a -3, o q é absurdo, pois sqrt(-a) = 0 Daí, unindo (I), (II) e (III) , temos a = -9 ou -3= a =0. Se não me engano, esta questão caiu no ITA em 97/98, e ñ sei se tinha essa opção. Devo ter errado alguma conta confiram ! Abraços, ¡Villard ! -Mensagem original- De: Fabricio Damasceno [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 3 de Dezembro de 2000 21:05 Assunto: Ajudem-me com este polinomio. Seja "a" um numero real tal que o polinomio p(x)= x^6 + 2x^5 + ax^4 - ax^2 - 2x -1 admite apenas raizes reais. Qual o intervalo real ao qual "a" pertence? MailBR - O e-mail do Brasil -- http://www.mailbr.com.br Faça já o seu. É gratuito!!!
Re: questao do ITA
Este "B eh sempreinversivel" eh absurdo. B nem eh quadrada. JP -Mensagem original- De: Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 1 de Dezembro de 2000 12:14 Assunto: questao do ITA Dizemos que duas matrizes n x m, A e B sao semelhantes se existe uma matriz n x n inversível P tal que B = (P^-1).A.P. Se A e B sao matrizes semelhantes quaisquer, entao a) B e sempre inversivel b) Se A e simetrica, entao B tambem e simetrica c) B^2 e semelhante a A d) Se C e semelhante a A, entao BC e semelhante a A^2 e) det(kI - B) = det(kI - A), onde k = numero real qualquer P^-1 = matriz inversa de P A^2 = A.A
Re: Radioatividade
Nao sei se eh bem isto que voce quer saber, mas o modelo matematico do decaimento radiativo postula que a taxa instantanea de variacao (perda) de massa de um elemento radiativo eh proporcional a massa existente no instante, ou seja : dm/dt = - km, onde k eh uma constante que depende da substancia em causa. A solucao desta equacao eh a funcao m(t)=m(0) exp(-kt). A meia-vida eh o tempo necessario para que a substancia perda metade de sua massa, ou seja: fazendo m(t)=m(0)/2, encontra-se: t=(ln 2)/k. O interesse deste conceito eh justamente dar uma interpretacao concreta a constante k. JP -Mensagem original-De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 20 de Novembro de 2000 15:28Assunto: Radioatividade Eu sei que isso nao tem muito a ver com a lista, mas será que alguém pode me enviar, ou dizer uma página ou livro onde eu possa encontrar a dedução da fórmula do periodo da meia-vida de um elemento raidioativo
Re: Integral
Toda funcao continua eh (Riemann) integravel em qualquer intervalo fechado limitado (em particular, f(x)=x^x=exp(x lnx) ). E mais: tem uma primitiva. Outra questao diferente eh saber se esta primitiva tem uma expressao simpatica em termos de um catalogo de funcoes "usuais", tais como polinomios, quocientes de polinomios, funcoes trigonometricas, etc. Mais uma vez, nao pensar que "integrar" uma funcao eh achar uma Primitiva "camarada". Muitas vezes, isto nem eh necessario. Eh o que se passa, analogamente, com equacoes polinomiais que podem ser resolvidas por meio de radicais e outras que so sao resolvidas por metodos numericos. JP -Mensagem original- De: Leonardo Motta [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 16 de Novembro de 2000 23:33 Assunto: Re: Integral Escrevo para reforcar meu interesse nessa questao, a solucao da integral : x^x. Esta nao e' uma forma padrao, e nao parece possibilitar muita transformacao!! Se alguem tiver a certeza de que essa integral nao tem solucao, por favor dê um toque! :) []'s - Leonardo
Re: Questões_de_Trigonometria
sen x + cos x nao pode superar o seu proprio valor absoluto. Por sua vez, estudar o maximo do modulo de sen x + cos x eh o mesmo que estudar o maximo de seu quadrado, que eh sen^2 x + cos^x + 2 sen x cos x = 1 + sen 2x, que atinge o valor maximo 2, quando sen 2x = 1, isto eh, quando 2x = pi/2 + 2k pi, ou seja, x= pi/4 + k pi. Para k par, sen x+ cos x assume o valor maximo raiz de 2, e para k impar, sen x + cos x assumeseu valor minimo menos raiz de 2. JP -Mensagem original- De: Biscoito [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 19 de Novembro de 2000 19:06 Assunto: Re: Questões_de_Trigonometria Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX ? Como na relação de lançamento oblíquo, onde a distância máxima possível no lançamento de qualquer objeto é com o ângulo da metade do ângulo onde vc obtém a altura máxima (90 graus), ou seja, 45 graus. Da mesma forma q na física, 45 graus (pi/4) ou 135 graus (3*pi/4) representa o valor máximo desta soma, creio q raiz de 2 (sqr2/2 + sqr2/2). Vik = "Meu Deus, protegei-me de meus amigos! Dos meus inimigos eu me encarregarei." Voltaire __ Do You Yahoo!? Yahoo! Calendar - Get organized for the holidays! http://calendar.yahoo.com/
Re: trigonometria
Sugestao: Sendo z = cos x + i senx, calcule a parte real de z+z^2+...+z^n (P.G.). JP -Mensagem original-De: filho [EMAIL PROTECTED]Para: discussão de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 19 de Novembro de 2000 21:30Assunto: trigonometria Demonstre que: 1/2 + cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos nx = sen [( n + 1 / 2 )x] / [2. sen ( x / 2 )] para x diferente de k. 2 pi, k inteiro.
Re: Lógica?!
Estive fora, por isto estou respondendo atrasado. So uma coisa: ninguem deve ter vergonha de perguntar nada. Aposto que tem muita gente que fica sem saber, por nao perguntar. JP -Mensagem original- De: Thomas de Rossi [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 13 de Novembro de 2000 10:00 Assunto: Re: Lógica?! Sds, Por Favor, um pouco de paciência, mas vocês poderiam me explicar melhor o "principio de Dirichlet", fico até com vergonha "parece básica a questão", mas eu não sei aplicar isso. E mesmo em que conteúdo se insere está questão... Alguém poderia me ajudar, M.Obrigado, Thomas. From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Lógica?! Date: Mon, 13 Nov 2000 01:32:55 -0200 As alternativas a,b,d estão colocadas fora de um contexto... portanto, nada pode se afirmar. Na letra e, vemos sua falsidade, pois por exemplo, todas as pessoas poderiam fazer aniversário em dezembro. No entanto, na letra c, como temos mais de 12 pessoas, vemos claramente ( pelo principio de dirichlet ) q ela é verdadeira ! Abraços, ¡ Villard ! -Mensagem original- De: Thomas de Rossi [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 13 de Novembro de 2000 00:43 Assunto: Lógica?! Pessoal, olhem só a questão abaixo... 3) Em uma reunião, encontram-se 15 pessoas. Podemos afirmar que, necessariamente, (a) pelo menos uma delas tem mais de 30 anos. (b) pelo menos duas delas são do sexo feminino. (c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês. (d) pelo menos uma delas é brasileira. (e) pelo menos uma delas nasceu em Janeiro ou Fevereiro. Comentário: A questão abaixo foi colocada numa prova de vestibular, eu não sei se a escolha da alternativa é mais uma questão de lógica (sentimento de chute), ou se tem como determinar matematicamente qual a resposta correta? Qualquer ajuda será bem vinda, M.Obrigado, Thomas. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Filosofia da Matemática
Indico o livro "What is Mathematics, Really?", de R.Hersch. JP -Mensagem original- De: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 14 de Novembro de 2000 10:24 Assunto: Filosofia da Matemática Alguém pode me explicar o que são as correntes filosóficas da Matemática: o Intucionalismo, o Formalismo e o Construtivismo (ou outras se houver)? Grato, Rogério _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Dúvida sobre Resíduos
Ola Marcos.
Existem dois livros editados pela SBM (SociedadeBrasileira de Matematica),
que nao custam caro (de 20,00 a 25,00, creio) e que tem muita coisa sobre
residuos, alem de outras interessantes. Um eh Introducao a Teoria dos
Numeros, de Jose Plinio de O.Santos, e outro (de leitura particularmente
agradavel) eh o Numeros Inteiros e Criptografia RSA, de Severino Collier
Coutinho.
Um sistema completo de residuos modulo m eh o conjunto dos possiveis restos
da divisao por m, ou entao qualquer outro conjunto de inteiros em que cada
um eh congruente a um desses restos. Por exemplo, modulo 3, sao sistemas
completos de residuos:
{0;1;2}, ou {3;4;5}, ou {-27;7;-1}, etc.
JP
-Mensagem original-
De: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quarta-feira, 8 de Novembro de 2000 02:19
Assunto: Re: Dúvida sobre Resíduos
Ninguém Está querendo ajudar?
Enviei minha mensagem a algum tempo, e apena o Sr. JP me respondeu, assim
mesmo a segunda questão.
Ats,
Marcos Eike
Re: ajuda
A 1a equacao estah certa, mas nas contas, achei 5. JP -Mensagem original-De: josimat [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 6 de Novembro de 2000 00:42Assunto: Re: ajuda Oi Filho! 500*1,65^n=125*2,178^n, com n medido em anos. 20=1,32^n n=(log20)/(log1,32)=~10,8. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Filho [EMAIL PROTECTED]Para: discussão de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 5 de Novembro de 2000 23:03Assunto: ajuda Suponha que um assalariado ganha 500 unidades monetárias mensalmente, com reajuste de 65% anual, e pague uma prestação de 125 unidades monetárias mensais, com reajuste anual de 117,8%. supondo fixos esses reajustes, em quanto tempo, aproximadamente, o seu vencimento terá um valor exatamente igual ao da prestação? Dados: ( log 4 = 0,60 e log 1,32 = 0,12 )
Re: O espaço outra vez
-Mensagem original- De: David Pereira [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 3 de Novembro de 2000 20:38 Assunto: Re: O espaço outra vez a fórmula da distancia de um ponto a um plano em R³ ( |aXo + bYo + cZo + d| ) / sqrt (a^2 + b^2) =Faltou a parcela c^2 dentro da raiz quadrada. é a distância entre um plano ax + by +cz + d = 0 e um ponto P(Xo,Yo,Zo). x^2 é x ao quadrado e sqrt(x) é a raiz quadrada de x. Note a semelhança com a equação da distância entre ponto e reta no R². de um ponto a uma reta (também em R³) Sejam Po (Xo; Yo; Zo) um ponto qualquer, Pr (Xr; Yr; Zr) um ponto da reta r e seja V um vetor paralelo a r, a distância entre Po e r é: || (PrPo X V) || / ||V||² Onde PrPo é o vetor entre Pr e Po, e ||x|| é a norma de um vetor x. V X U é o produto vetorial entre V e U. como se transformam coordenadas polares em R³ para (x;y;z). Um ponto em Coordenadas Cilíndricas (Polares no R³) = (r,ø,z). Transformando para Coordenadas Cartesianas, temos um ponto (x,y,z) tal que: x = r cos ø y = r sen ø z = z []s David
Re: Desentendimentos e ângulo sólido
Eh facil ver que o produto vetorial nao eh associativo. Imagine vetores a, b, c tais que (imaginando-os todos com origem na origem de R^3): b eh paralelo a OX, a eh paralelo a bissetriz entre OX e OY no plano XOY , e c eh paralelo a OZ. Entao axb eh paralelo a c, de modo que (axb)xc eh o vetor nulo, enquanto bxc eh paralelo a OY, de modo que ax(bxc) eh nao nulo e paralelo a OZ. JP -Mensagem original-De: Jorge Peixoto Morais [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sexta-feira, 3 de Novembro de 2000 21:21Assunto: Desentendimentos e ngulo slido *Nicolau (O Grande) disse que R no associativo em relao ao produto vetorial, mas o Ralph parece discordar! Que negcio esse? *Em uma apostila estava escrito que a congruncia s funciona com nmeros inteiros, mas em outra eu encontrei 3/2 = -2 (mod 7), porque se ambos os lados forem multiplicados por 2, fica 3 = -4 (mod 7). Que negcio esse? Agora o ngulo slido. ngulo slido definido como o quociente entre a rea (determinada pelos planos que definem o angulo e a superficie da esfera) de uma esfera com centro em seu vrtice e a rea de superficie total da esfera?Eu pergunto isso porque parece que o angulo linear foi definido assim, mas substituindo esfera por circunferencia.
Re: ajuda
O metodo eh geral, e baseia-se no fato de que se voce pensar nos graficos idade x tempo de quaisquer duas pessoas, voce obterah duas paralelas a bissetriz dos quadrantes impares (sem perda de generalidade, um deles pode ser a propria). Estas linhas chamam-se em Demografia linhas de vida. JP -Mensagem original-De: josimat [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 30 de Outubro de 2000 14:18Assunto: Re: ajuda Ol Professor JP! Suspeito de que o problema proposto pelo Carlos seja bem diferente do clssico problema apresentado na RPM 16, mas vou tentar aplicar o mtodo sugerido l. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Jos Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 30 de Outubro de 2000 13:05Assunto: Re: ajuda A respeito de problemas de idades, sugiro o artigo da Revistado Professor de Matematica, numero 16: Uma solucao geometrica para o problema das idades. JP -Mensagem original-De: josimat [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 29 de Outubro de 2000 21:11Assunto: Re: ajuda Oi Carlos! Pensei que conhecesse todos os problemas de idade, mas este de deixar tonto. A resposta do nmero 2 : ANTONIO 27,5 anos e PEDRO 16,5 anos. Resoluo: Tente equacionar de baixo pra cima, voce vai desenrolar tudo: A - idade atual de ANTNIO P - idade atual de PEDRO Considere que h x anos a idade de ANTONIO era o triplo da idade de PEDRO. Entao: A-x=3(P-x) A=2[P-(3x-A)/2] A+P=44 Donde vem x=11, A=27,5 e P=16,5, se no errei em nada. Por favor, confira. Nao se acanhe em retornar caso nao tenha entendido, por favor. []'s JOSIMAR -Mensagem original-De: Carlos Roberto de Moraes [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 29 de Outubro de 2000 14:44Assunto: ajuda Gostaria de pedir ajuda para resolver os dois problemas abaixo: 1(FAAP) Um pas est lanando sua nova moeda, o royal, feita de uma liga de zinco e cobre. A Casa da Moeda dispe de duas ligas: numa , os metais esto na razo 2/3; na outra, esto na razo 3/7. Para cunhar as moedas, quer-se produzir 8 toneladas de uma nova liga em que os metais estejam na razo 5/11. Para tanto, devem ser usadas da primeira e da segunda ligarespectivamente, as quantidades( em toneladas): a) 2 e 6 b) 3,5 e 4,5 c) 4 e 4 d) 1,5 e 6,5 e) 1 e 7 2) A soma das idades atuais de Pedro e Antonio exatamente 44 anos. Antonio tem o dobro da idade que Pedro tinha quando Antonio tinha a metade da idade Que Pedro ter quando Pedro tiver 3 vezes a idade que Antonio tinha quando Antonio era tres vezes mais velho que Pedro. Qunatos anos ( e meses) tem cada um? Se alguem puder me ajudar, desde j agradeo.
Re: Combinações afins e vetores transportadores no espaço
Claro que vale! JP -Mensagem original-De: Jorge Peixoto Morais [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 30 de Outubro de 2000 20:32Assunto: Combinaes afins e vetores transportadores no espao No espao tambm vale A-B= vetor AB (imagine uma setinha em cima de AB apontando para a direita)e Aa +Bb+ Cc+...+Zz= A + bAB + cAC+...+zAZ em que as letras minsculas so coeficientes, as maisuclas so pontos, duas letras maisculas juntas so um vetor e todos os coeficientes somam 1?
Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?)
OK, Nicolau. Obrigado pela sua observacao. Nao foi um erro de tecla, foi um uma especie de ato falho, por causa da apresentacao tradicional dos quaternions com i, j, k (e mais o 1, eh claro, que fazem 4). E por falar nisto, mais uma vez os complexos: assim como o corpo dos complexos eh isomorfo ao das matrizes reais 2x2 da forma (a;-b) (1a linha); (b;a) (2a linha),com a adicao e multiplicacao usuais de matrizes, os quaternions podem ser apresentados como as matrizes complexas 2x2 em que a primeira linha eh (z ; -conj(w)) e a segunda linha (w ; conj(z)) (alguem confira, pois estou citando de cabeca), e as operacoes usuais de matrizes. Como cada complexo equivale a 2 reais, olha o R^4 ahi outa vez. Interessante esta sua informacao sobre o R^8, que para mim eh novidade. JP -Mensagem original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 27 de Outubro de 2000 20:44 Assunto: Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?) On Fri, 27 Oct 2000, José Paulo Carneiro wrote: Metendo minha colher no papo entre o Jorge e o Ralph: 1) Voce pode definir quantas operacoes quiser com vetores, Jorge, mas eh claro que so levarao voce a serio se essas operacoes tiverem aplicacoes interessantes. 2) A grande (imensa!) vantagem do produto de complexos eh que ela (juntamente com a adicao vetorial) torna o plano (algebricamente) um corpo. E ja se sabe que nao eh possivel inventar multiplicacao semelhante em nenhum R^n com n2 . O maximo que se consegue em R^3 eh um "quase corpo" (um anel de divisao) em que a multiplicacao nap eh comutativa. O JP provavelmente se distraiu ou errou de tecla: quem tem estrutura de quase corpo é R^4, os quatérnios. Os quatérnios são expressões da forma a + bi + cj + dk onde a, b, c, d são reais, definimos a soma coordenada a coordenada (i.e., (a + bi + cj + dk) + (e + fi + gj + hk) = (a+e) + (b+f)i + (c+g)j + (d+h)k) e a multiplicação por i^2 = j^2 = k^2 = -1, ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j (assim, (a + bi + cj + dk) * (e + fi + gj + hk) = (ae - bf - cg - dh) + (af + be + ch - dg)i + (ag - bh + ce + df)j + (ah + bg - cf + de)k). R^3 pode ser interpretado como o conjunto dos quatérnios de parte real nula. Neste caso o produto escalar é menos a parte real do produto e o produto vetorial é a parte imaginária do produto. Existe um produto não associativo importante em R^8; com este produto os elementos de R^8 são chamados de octônios. Estes (1,2,4,8) são os únicos valores de n para os quais R^n admite um produto com certas propriedades legais (*acho* que são distributividade em relação à soma dos dois lados, conter uma cópia de R com as operações usuais e todo elemento não nulo ter inverso multiplicativo). O que eu sei com certeza é que R e C são os únicos R^n que são corpos e que os quatérnios são o único R^n que é um "quase corpo". []s, N.
Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?)
Metendo minha colher no papo entre o Jorge e o Ralph: 1) Voce pode definir quantas operacoes quiser com vetores, Jorge, mas eh claro que so levarao voce a serio se essas operacoes tiverem aplicacoes interessantes. 2) A grande (imensa!) vantagem do produto de complexos eh que ela (juntamente com a adicao vetorial) torna o plano (algebricamente) um corpo. E ja se sabe que nao eh possivel inventar multiplicacao semelhante em nenhum R^n com n2 . O maximo que se consegue em R^3 eh um "quase corpo" (um anel de divisao) em que a multiplicacao nap eh comutativa. 3) Mesmo assim, os complexos nao se dao por vencidos. O produto escalar de u por v eh a parte real do produto (complexo) : conj(u). v, enquanto o produto vetorial eh a parte imaginaria do mesmo produto conj(u).v, multiplicado pelo unitario k. JP -Mensagem original- De: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 26 de Outubro de 2000 23:54 Assunto: Re: Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?) Jorge Peixoto Morais wrote: Antes de tudo: valeu, Ralph, pela atencao aa minha pergunta; seu e-mail foi extremamente instrutivo. Agora o principal: seu último e-mail me deixou com umas duvidas (se achar inconveniente me responder, me indique um bom livro): a) pelas regras que voce definiu, parece que mesmo atuando soh nos vetores em que z=0 (ou seja, no plano xy) as regras sao totalmente diferentes das que regem o plano dos complexos! Por que? Bom, sim, esse produto cartesiano a esse produto escalar realmente não batem com o produto de números complexos quando z=0... Por quê? Bom, para dizer a verdade, não esperaria que fossem o mesmo, de fato... a2) Vendo que essas regras sao diferentes das que regem o plano de Gauss, me pergunto: de onde, entao, elas vem? b)"ixj=-j. Mas isso nao eh perpendicular ao plano determinado por i e j! Oops... Se eu digitei isto, eu errei. Era pra ser ixj=k e ixk=-j. De onde elas vem... Bom, eu não sei historicamente onde que elas surgiram... Mas eu costumo pensar assim: quando eu tento arrumar a fórmula para o ângulo entre dois vetores, a conta u1v1+u2v2+u3v3 aparace; quando eu tento achar a projecao de u na direcao de v, a conta acima tambem aparece; depois de achar um monte de lugares onde ela aparece, eu resolvi dar um nome para ela para facilitar a minha vida: o PRODUTO ESCALAR. Imagino algo semelhante para o produto cartesiano... mas o fato é que a necessidade do conceito só parece intuitiva para alguém *DEPOIS* que o conceito é bastante usado... Se alguém souber melhor, favor me ajudar aqui. :) Na minha cabeça, produto escalar é uma ferramenta para achar ângulos entre vetores, e o produto cartesiano para achar a área de seu paralelogramo. *Começa* assim, e depois você vai achando um monte de outras utilidades... Abraço, Ralph Mais uma vez, obrigado pelo trabalho de me escrever e-mails tao longos (mas com uma enorme densidade de informacao)
Re: Gauss-Seidel - 2
-Mensagem original-De:
Humberto Ferreira Vinhais [EMAIL PROTECTED]Para:
Olimpada de Matemtica [EMAIL PROTECTED]Data:
Segunda-feira, 23 de Outubro de 2000 20:46Assunto: Gauss-Seidel -
2
Bem, sei que j enviei esse
problema, mas de muita importncia para mim resolv-lo e
aps tentar muito, abrindo as situaes para n=3,
no cheguei a nenhuma concluso lgica. Portanto, quanquer
ajudazinha que qualuqer um de vcs possam me enviar, seria til, por
exemplo: algumas implicaes de a matriz ser simtrica e de
ser definida positiva,
= Os fatos mais conhecidos
aqui sao: uma matriz real simetrica tem todos os seus autovalores reais;
autovetores correspondentes a autovalores diferentes sao mutuamente ortogonais;
vale um tipo de teorema espectral: a matriz pode ser escrita como
soma de parcelas do tipo a^k E_k, onde os a sao os autovalores da matriz, e os E
sao matrizes que representam projecoes ortogonais, isto eh, sao
idempotentes (E^2=E) e mutuamente ortogonais (E_i*E_k=0, quando i diferente de
k). Estes fatos estao em qualquer compendio de matrizes. mas o que tem isto a
vercom o Gauss-Seidel? Eh que em qualquer desses metodos iterativos para
resolver sistemas de modo aproximado, o erro e_k no k-esimo passo se
expressa em funcao do k-1 esimo passo como um produto matricial e_k=B*e_(k-1), o
que implica e_n=B^n e_0, e ahi usa-se a forma espectral citada do B_n, a qual
envolve as potencias dos autovalores. Em geral, uma condicao boa para
convergencia eh algo do tipo: o autovalor de maior modulo tem modulo menor que
1, pois entao se recai na convergencia de uma certa PG de razao entre 0 e 1. A
condicao que voce cita, eu nem sabia que era suficiente (e continuarei duvidando
ateh ver a demonstracao). O Gilbert Strang (Linear Algebra and its Applications)
fala de uma condicao semelhante (sem demonstrar) mas exige tambem a positividade
dos elementos da diagonal principal. Veja tambem livros de Calculo numerico, do
tipo Algebra Linear Computacional (nao tenho aqui d cabeca um).
JP
ou algum detalhe que implique em algum teorema sobre matrizes
ou algebra linear a partir da definio, enfim, qualquer coisa
serve, mesmo que sej s a indicao de um livro que
tenha algo relacionado, pois sei que existe um Teorema que exatamente
esse problema (ou seja, tirando o mostre que e afirmando ser
verdade). Por favor.
Problema
Considere o sistema linear Ax=b , A pertencente a Mat_n ( IR
), x,b pertence a IRn . Suponha que a matriz A simtrica (isto
, aij = aji ,quaisquer i, j ) e definida positiva (isto
, Ax,x 0 para qualquer x de IRn -
{0} ). Mostre que o Mtodo de Gauss-Seidel aplicado a este sistema,
converge para a raiz.
Re: senos e cossenos
Nao eh possivel para todos os senos e cosenos. Para 36gr, observe que num triangulo isosceles com 36gr no vertice diferente, os outros angulos sao 72gr. Tracando uma bissetriz de um desses angulos de 72, voce obtem outro trianglinho semelhante ao grandao. Com esta observacao, voce mata o problema. JP -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 19 de Outubro de 2000 14:54 Assunto: senos e cossenos Oi pessoal, Como faço para obter senos e cossenos em radicais reais? Por exemple sen36? obrigado abraços marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Teorema de Napoleão
Duasobservacoes:
1) O Teorema de Napoleao que conheco eh com
baricentros.
2) Os complexos foram
descobertos no inicio do sec.XVI em um contexto algebrico.
Durante 300 anos, foram tratados como alucinacoes,
imaginarios, etc.
Por volta de 1800, Wessel, Argand e, principalmente Gauss,
comecaram a mostrar
que os complexos sao tao reais quanto os reais. Na realidade,
fornecem ao plano uma estrutura de corpo (como a dos reais na reta), o que
facilita tremendamente o tratamento algebrico (sem precisar apelar para
coordenadas) da geometria plana, principalmente quando estao envolvidos angulos
e rotacoes (o mesmo vale para a Fisica, quando sao envolvidos fenomenos
periodicos).
Ainda tenho esperanca de que um dia (talvez daqui a mais 200
anos, quem sabe?) se perca esta
implicancia com os numeros complexos, abolindo toda esta
nomenclatura de complexos, imaginarios, etc., e
simplesmente se defina no plano um produto maravilhoso que, junto com a adicao
vetorial tradicional, faca do plano um corpo, onde se trabalhe com a mesma
tranquilidade com que se trabalha com os reais na reta.
JP
-Mensagem original-De:
Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Tera-feira, 17 de Outubro de 2000 23:52Assunto: Re:
Teorema de Napoleo
D uma olhada nessa
resoluo por geometria sem complexos... t sem figura, mas
d... eu j mandei uma vez essa pra lista !
Generalizao do Teorema de Napoleo :
Dado um tringulo qualquer ABC, constroem-se os tringulos
ABP, ACQ e BCR, todos semelhantes e exteriores a ABC. O tringulo formado
pelos circunscentros dos tringulos exteriores semelhante a ABC
!
Lema : Os crculos circunscritos a ABP, ACQ e BCR passam por um
mesmo ponto.
Prova do lema : Traando os crculos circunscritos a ABP e
ACQ, vemos que so secantes em A e em outro ponto N. Basta, ento,
provar que #BCRN inscritvel, pois B, C e R determinam um
crculo. Seja ANxBC=M , ang(MNC)=ang(AQC) {pois #AQCN
inscrito}... analogamente, ang(BNM)=ang(APB). Pela contruo da
figura, de um modo simtrico, para no tirar a generalidade do
problema, ang(APB)=ang(ABC) e ang(AQC)=ang(BAC) assim, ang(BNC) = ang(BNM) +
ang(CNM) = ang(APB) + ang(AQC) = ang(BNC) = ang(ABC) + ang(BAC) =180
ang(BCA) = ang(BNC) = 180o ang(BRS) = #BNCR
inscrito. (CQD)
..
Lema : A corda comum a dois crculos perpendicular a reta
que une os centros.
Prova do lema : Basta ver que os centros das circunferncias
eqidistam dos pontos de concorrncia das circunferncias
ento eles determinam a mediatriz da corda comum. (CQD)
..
Sejam, ento, O1, O2 e O3 os centros
dos crculos em ABP, ACQ e BCR, respectivamente. E sejam tambm, T
= O1O2xAN , U = O2O3xCN e V =
O1O3x BN . Assim, #O1TNV
inscritvel = ang(BNM) = ang(O2O1O3)
= ang(ABC)... Analogamente, analisando #O2TNU e #O3UNV,
vemos que ang(O1O2O3)=ang(BAC) e
ang(O1O3O2)=ang(ACB) =
O1O2O3 semelhante a ABC. (CQD)
Villard !
-Mensagem original-De:
Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Tera-feira, 17 de Outubro de 2000 20:44Assunto:
Teorema de Napoleo
Ser que algum poderia mandar uma
demonstrao do teorema de Napoleo ou dizer uma
pgina onde posso
encontr-la???
Re: Alguém pode dar uma explicação em algumas dúvidas?
O teorema de Euler supoe que a seja relativamente primo com n.
Uma maneira que acho interessante (nao sei se eh esta que estah na Eureka)
eh a seguinte: Considere U_n = {b_1, ..., b_k} = conjunto dos naturais entre
1 e n que sao primos com n. Por definicao de phi: k=phi(n). Considere os
numeros
a*b_1, ..., a*b_k e ache os seus restos de divisao por n (chamemos esses de
r_1, ..., r_k). Afirmo que todos os r_i sao diferentes, pois se, por
exemplo, a*b_1 e a*b_2 deixassem o mesmo resto por n, eles seriam congruos
mod n, e entao n seria um divisor de a*(b_1-b_2). Mas como a eh primo com n,
isto obrigaria n a dividir b_1-b_2, ou sejam b_1 e b_2 seriam congruos mod
n. Masisto eh imposssivel, pois os restos desses por n sao eles mesmos, e
eles sao diferentes.
Nao eh dificil ver que os r_i tambem sao primos com n (um fator comum a r_i
e n seria divisor de b_i).
Mas entao os r_i sao exatamente os b_i (possivelmente em outra ordem).
Agora, o produto dos a*b_i (que eh a^k vezes o produto dos b_i) eh congruo
do produto dos r_i. Simplificando o produto dos r_i (que eh o mesmo dos
b_i), chega-se a: a^k congruo de 1 c.q.d.
Veja se os detalhes estao OK.
JP
-Mensagem original-
De: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quarta-feira, 18 de Outubro de 2000 23:06
Assunto: Alguém pode dar uma explicação em algumas dúvidas?
Dúvidas sobre física e matemática.
1) Como se prova matematicamente a existência dos orbitais, aprendemos no
colégio de uma forma direta e "confusa", pois não sabemos de onde aparece
os
formatos etc.
2)Como posso provar fi de Euler: a^[fi(n)] == 1 (mod n)? Eu vi a prova no
Eureka 2, porém não a entendi por completo, pois há algumas transformações
que me pareceram "mágicas". :)
3) Problema:
Prove que dado n pertence N existe um conjunto de n elementos A está
contido em N tal que para todo B está contido em A, B diferente de vazio, a
somatória de x talque x pertence a B é uma potência não trivial (isto é, um
número da forma m^k, onde m, k são inteiros maiores ou iguais a 2), ou
seja, A = {x_1, x_2,. x_n} tal que x_1, x_2,.x_n, x_1 + x_2, x_1 +x_3,., ,
.,x_1 + x_2 +.x_n são todos potências não triviais.
Re: Livros de Geometria do Wagner
Oi Paulo. Com a palavra, o autor, o Luis. Abracos. JP -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 17:21 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner Ola Prof Jose Paulo, 1) Considerando que nunca pude fazer um curso sistematico de construcoes geometricas e que tal lacuna na formacao de quem pretende ser um Matematico e insustentavel. 2) Considerando que o autor - Luis Lopes - e um membro de nossa lista que muito tem contribuido para enriquece-la 3) CONDIERANDO SOBRETUDO que o livro recebeu o conceito EXCELENTE do Sr, que sem duvida nenhuma, sabe muitissimo bem sobre o que fala. 4) Considerando que o idioma nao e problema concluo que estou, a principio, muito interessado neste livro ! Mas, o eterno problema : e um livro caro ? O Luis Lopes nao poderia facilitar o "acesso financeiro" a esta obra ? Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1536,17102000 On Mon, 16 Oct 2000 22:35:53 -0200 "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu conheco o liro do Luis (em frances) e posso garantir que eh excelente. Jose Paulo -Mensagem original- De: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 20:50 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner Sauda,c~oes, Considerando que o assunto geometria e tri^angulos interessa a muita gente na lista, gostaria de dizer que escrevi um livro em franc^es sobre constru,c~oes com r'egua e compasso de tri^angulos envolvendo todos os casos poss'iveis com ^angulos, lados, cevianas (alturas, bissetrizes e medianas) e raios (inscrito, circunscrito e exinscritos). S~ao 371 (se n~ao estou enganado) problemas, todos resolvidos e com figuras. Os dados do primeiro s~ao os tr^es ^angulos (\alpha,\beta,\gamma) e os do 'ultimo, os tr^es raios exinscritos (r_a,r_b,r_c). A m'edio prazo estou pensando em coloc'a-lo em portugu^es tamb'em, assim como fazer o Volume 2 envolvendo combina,c~oes daqueles elementos. Em particular, os problemas (\alpha,a+b,a+c) e (\alpha,a+c,b+c) s~ao muito interessantes e deixo como exerc'icios para os membros. Pe,co aos interessados em ter mais detalhes que escrevam diretamente para mim. Obrigado. [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 02:26 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner Caros amigos: Fico feliz em saber que algo que publiquei ainda jovem, influenciou pessoas e ainda hoje se procura. Na verdade, nada se publicou de forma séria em geometria desde então. O livro Geometria II será inteiramente refeito em 2001, com erros corrigidos e ampliado. O espírito não será modificado, ou seja, o livro não será dedicado ao currículo normal das escolas mas sim àqueles que desejam conhecer mais sobre a geometria. O trabalho será grande e vai demandar algum tempo. Abraços, Wagner. Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Teorema de Napoleão
Eureka 6, artigo do Edmilson Motta. JP -Mensagem original-De: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 17 de Outubro de 2000 21:30Assunto: Teorema de Napoleo Ser que algum poderia mandar uma demonstrao do teorema de Napoleo ou dizer uma pgina onde posso encontr-la???
Re: Livros de Geometria do Wagner
Eu conheco o liro do Luis (em frances) e posso garantir que eh excelente. Jose Paulo -Mensagem original- De: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 20:50 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner Sauda,c~oes, Considerando que o assunto geometria e tri^angulos interessa a muita gente na lista, gostaria de dizer que escrevi um livro em franc^es sobre constru,c~oes com r'egua e compasso de tri^angulos envolvendo todos os casos poss'iveis com ^angulos, lados, cevianas (alturas, bissetrizes e medianas) e raios (inscrito, circunscrito e exinscritos). S~ao 371 (se n~ao estou enganado) problemas, todos resolvidos e com figuras. Os dados do primeiro s~ao os tr^es ^angulos (\alpha,\beta,\gamma) e os do 'ultimo, os tr^es raios exinscritos (r_a,r_b,r_c). A m'edio prazo estou pensando em coloc'a-lo em portugu^es tamb'em, assim como fazer o Volume 2 envolvendo combina,c~oes daqueles elementos. Em particular, os problemas (\alpha,a+b,a+c) e (\alpha,a+c,b+c) s~ao muito interessantes e deixo como exerc'icios para os membros. Pe,co aos interessados em ter mais detalhes que escrevam diretamente para mim. Obrigado. [ ]'s Lu'is -Mensagem Original- De: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Outubro de 2000 02:26 Assunto: Re: Livros de Geometria do Wagner Caros amigos: Fico feliz em saber que algo que publiquei ainda jovem, influenciou pessoas e ainda hoje se procura. Na verdade, nada se publicou de forma séria em geometria desde então. O livro Geometria II será inteiramente refeito em 2001, com erros corrigidos e ampliado. O espírito não será modificado, ou seja, o livro não será dedicado ao currículo normal das escolas mas sim àqueles que desejam conhecer mais sobre a geometria. O trabalho será grande e vai demandar algum tempo. Abraços, Wagner.
Re: Lei do Corte
Sai dapropria proposicao direta: m+p n+p = (m+p)+(-p) (n+p)+(-p) o que eh o mesmo que m n -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 4 de Outubro de 2000 14:15 Assunto: Re: Lei do Corte oi, essa lei do corte saiu da proposiç]ao que mn = m+pn+p, pede pra provar que a reciproca desta proposiç]ao usando absurdo, monotonicidade e tricotomia. espero que seja isso... abraços marcelo From: "José Paulo Carneiro" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Lei do Corte Date: Tue, 3 Oct 2000 21:08:11 -0300 Eh preciso primeiro esclarecer a que lei do corte voce se refere: a de uma parcela na adicao de numeros (que numeros?), a de um fator na multiplicacao (de numeros? quais?), e ainda quais sao os pressupostos dos quais se parte. -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 3 de Outubro de 2000 13:42 Assunto: Lei do Corte Oi pessoal Alguém poderia me ajudar? Como posso provar a Lei do Corte por absurdo, usando a tricotomia e a monotonicidade? Abraços Obrigado Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Lei do Corte
Eh preciso primeiro esclarecer a que lei do corte voce se refere: a de uma parcela na adicao de numeros (que numeros?), a de um fator na multiplicacao (de numeros? quais?), e ainda quais sao os pressupostos dos quais se parte. -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 3 de Outubro de 2000 13:42 Assunto: Lei do Corte Oi pessoal Alguém poderia me ajudar? Como posso provar a Lei do Corte por absurdo, usando a tricotomia e a monotonicidade? Abraços Obrigado Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: Ajuda sobre Geometria Analítica
So uma observacao: a expressao (latina) correta eh: latus rectum. -Mensagem original- De: Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 3 de Outubro de 2000 19:16 Assunto: Re: Ajuda sobre Geometria Analítica Obrigado Paulo pela dica vou correr atrás desse livro mas tenho um pouco de pressa Será que que posso encontrar esse livro na biblioteca do IMPA Aguem poderia me ajudar... Valeu Paulo Santa Rita escreveu: Ola Eduardo, Quando eu procurei compreender melhor estes temas, alguns anos atras, tambem encontrei a mesma dificuldade que voce demonstra estar encontrando ... A maioria dos livros so tratam das EQUACOES CANONICAS DAS CONICAS EM SUAS EXPRESSOES CARTESIANAS, vale dizer : 1) Nao abordam a equacao geral do 2 grau em duas variaveis. 2) Nao tratam das expressoes em coordenadas polares, o que permite uma compreensao unitaria de todas as conicas em funcao do conceito de excentricidade Tudo isso e muito chato e faz com que problemas que seriam triviais se soubessemos estas coisas se tornem dificeis tao somente em funcao de nossa ignorancia por nao termos tido acesso a boas obras ... a Grande Inteligencia e boa e eu tive a sorte de encontrar em um sebo ( mercado de livros velhos e usados ) a obra : Geometria Analitica de Nikolai Efimov Editora Mir Neste livro - Maravilhoso ! - voce vai encontrar tudo aquilo que e interessante, que nao encontra nos livros tradicionais e que tornara, doravante, os problemas de analitica que envolvem conicas todos muito simples. Nele voce vera tambem uma razoavel introducao as quadricas. Todavia, como tudo que e bom, e um livro dificil de ser encontrado ... Voce tambem pode ver uma expressao em algebra linear e vetores para as conicas. Consulte : Algebra Linear, de Boldrini ( e outros ) Nao sei a editora Este livro e facilmente encontrado ... A vantagem de usa-lo e que voce, simultaneamente, tem uma amena introducao a algebra linear, o que sera importante posteriormente, quando voce for estudar Analise no R^n e Calculo Diferencial Exterior ( A derivada e, em verdade, uma matriz e, nao, um numero, como parece a principio ). O Prof Efimov tem um outro livro maravilhoso : Geometria Superior de Nikolay Efimov Editora Mir Nao ha dinheiro que paga este livro ! Finalmente, so a titulo de Experiencia, consiga o livro de Geometria Analitica do Prof Efimov. Estude-o com afinco e dedicacao. Volte a seguir e considere os problemas mais dificeis sobre Conicas que caem nos Concursos, Vestibulares e Olimpiadas : voce passara a olha-los com outros olhos ... Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1545,03102000 On Mon, 02 Oct 2000 22:44:50 -0300 Eduardo Quintas da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria que alguém me explicasse o conceito de reta diretriz para elipse e para hipérbole... consultando diversos livros didáticos ninguém escreve nada sobre isso. Eu sei que para a elipse as equaçoes sao : x = +- (a^2)/c Outra coisa que nao consigo achar e sobre o conceito de lactus rectum (ou qq coisa parecida com isso)... Obrigado... Eduardo Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Geometria analítica
A parabola pode ser definida como o conjunto (ou lugar geometrico) dos pontos do plano que equidistam de um ponto dado (chamado foco) e uma reta dada (chamada diretriz). A distancia entre o foco e a diretriz eh o parametro (alguns chamam de parametro a metade desta distancia). -Mensagem original- De: Douglas C. Andrade [EMAIL PROTECTED] Para: Lista de Matemática [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 2 de Outubro de 2000 22:00 Assunto: Geometria analítica Que é um foco e um parâmetro de uma parábola?
Re: Triângulos...
A area de um triangulo eh a metade de bc sen A. Eleve ao quadrado, substitua sen^2 por 1-cos^2, e substitua cos A pela expressao que aparece na lei dos cosenos. O resto eh algebrismo. JP -Mensagem original-De: Pedro [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 1 de Outubro de 2000 10:12Assunto: Tringulos... Algum poderiademonstrar aquela frmula para calcular a rea de um tringulo de lados a,b e csqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))?
Re: vale o raciocínio
Pessoal: Quando voces encontrarem uma expressao do tipo "infinito + infinito = infinito", ela deve ser interpretada como uma expressao simplificada e mnemonica de um teorema sobre limites, tal como: "se uma sequencia x de numeros reais tende a infinito e uma sequencia y de numeros reais tende a infinito, entao a sequencia x+y (que se obtem somando termo a termo) tambem tende a infinito". Isto nao significa que exista um numero, representado por 8 deitado, que somado com ele mesmo de ele mesmo (so o numero 0 tem esta propriedade). Por outro lado, quando aparece uma expressao do tipo "infinito - infinito eh um caso de indeterminacao", isto significa apenas que nao existe teorema a respeito desta situacao, ja que se podem encontrar exemplos (simples) de x tendendo a infinito e y tendendo a infinito, com x-y tendendo a 0, ou a 1, ou a qualquer real r, ou a infinito, ou a -infinito, ou ateh nao tendo limite. Para dizer a verdade, eu particularmente acho que estas duas expressoes sao maus habitos (que eu nao uso), e que frequentemente conduzem a confusao. Acho preferivel escrever explicitamente suas versoes como limites, que eh o que realmente sao. Alias, por que tanta preguica de escrever? nao tira pedaco. Passando ao caso: a sequencia (1+c/n)^n tende a e^c. Isto ja mostra que o limite depende do c fixado, e no entanto, sempre 1+c/n tende a 1, e n tende a infinito. JP -Mensagem original- De: Benjamin Hinrichs [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sábado, 23 de Setembro de 2000 16:28 Assunto: vale o "raciocínio" Amigos listeiros... alguns já se inscreveream na ciencialist?? Espero que sim, a conversa lá está boa. Para os que perderam, é uma lista de ciências da página do eGroups (www.egroups.com). Vendo que foi usada uma notação de limite na lista, resolvi fazer a minha linha pouco lógica de raciocínio. Ora: lim (1 + 1/x)^x = lim (1 + 0)^(oo) = lim 1 ^ (oo) x - oo x - oo x - oo Portanto 1 elevado na infinito não pode ser definido. Está correto esse raciocínio? Ou seria 1 diferente de 1,0...001 (= lim(1/x) com x - oo) Abraço, Benjamin Hinrichs
Re: N'umeros de Hamilton
O matematico que estabeleceu em bases solidas a Teoria das Distribuicoes foi Laurent Scwartz, frances (se nao me engano, ganhador da Medalha Fields) JP -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 18 de Setembro de 2000 11:36 Assunto: N'umeros de Hamilton Ola Luiz, Tudo Legal ? E a primeira vez que vejo uma mensagem sua em minha caixa de correio. Voce deve ser novo na lista ... Bem-Vindo ! Prazer em conhece-lo ! Eu me referi explicitamente a relacao entre V ( velocidade ) e X ( posicao ) porque : 1) Esta lista e acomopanhada por muitos alunos de nivel medio e, neste nivel, a introducao a Fisica Quantica ( Por Exemplo : Atomistica, de Feltre-Setsuo ) que e dada se refere somente a esta duas grandezas 2) A maior parte da Fisica que e estudada pelo imensa maioria dos alunos de graduacao em Matematica e Engenharia ( outro tipo de leitor desta lista )e uma visao meramente introdutória de Relatividade e Quantica. Foi pensando nestes dois aspectos que eu citei preferencialmente a aplicacao do principio das incertezas ao binomio Velocidade X Posicao. Eu fiz os cursos basicos de Fisica para um estudante de Engenharia e, por interesse e curiosidade propria, acompanhei cursos das Escolas de Fisica e Matematica. Os livros em que alicercei meus CONHECIMENTOS BASICOS basicos devem ser do conhecimento do Sr : 1) Curso de Fisica de Berkeley ( varios volumes, alguns em ingles ) 2) Introducao da Relatividade, de Resnick ( um volume ) 3) Fisica Quantica, de Eilemberg ( Um volume, grosso ) A exposicao que ouvi da Teoria de Dirac usava, realmente, o esquema de setas e era explicitamente referenciada pelo professor como Diagrama das Setas. Parece-meque com isso ele queria contrapor a exposicao de Feynman em que SE CONSIDERAM AS VARIAS TRAJETORIAS POSSIVEIS ( aqui deve estar a origem da palavra Historia ) e, a seguir, somam-se tudo, dando o caminho mais provavel. Inclusive, se nao me falha a memoria, foi assim que Feynman expos sua Teoria a uma plateia que tinha, entre outros Fisicos, o proprio Dirac, no MIT. Eu fiquei interessado neste ponto que vista ( sobre o qual sei pouco e que pretendo aprofundar ) de Feynman porque achava intuitivo que o movimento fisico e individual de um corpo que faz parte de um sistema deve ser participativo da evolucao do sistema, objetivando o seu caminho mais provavel, como na historia individual de um ser vivo que faz parte de um eco-sistema. Imagine que voce quer descrever a evolucao de uma Borboleta ( quon ). O movimento dela tem uma INDETERMINACAO INTRINSECA ( incerteza ) que nao nos pertuba, pois para os nossos objetivos basta sabermos o LOCAL MAIS PROVAVEL ONDE ELA ESTA ( orbital ). Se, porem, voce quer descrever o movimento fisico e individual dela, o seu caminhar indeterminado e um problema e, muito provavelmente, voce vai buscar VARIAVEIS OCULTAS que tornem determinado o que, por natureza, e indeterminado. Mesmo que sua descricao de evolucao nao acerte o destino de uma borboleta individual, a da maioria voce vai acertar, ALEM DE PRESERVAR A INDIVIDUALIDADE que elas, como seres vivos, merecem ter. Isso e meramente uma ideia, sem maiores pretensoes, mas foi o que me estimulou a estudar a formulacao de Feynmam. Eu acho isso tudo muito interessante, mas e claro que tudo pode nao passar de uma ideia maluca que vez ou outra nos visita : e dificil voce estudar passivamente sem refletir sobre o que esta aprendendo ! Voce ja leu "O Fim das Certezas", de Ylia Prigogine ? E um respeitavel Prof, detentor de um Premio Nobel. O que voce acha das ideias dele ? Sobre Fisicos que Contribuem para a Matematica, concordo em genero, numero e grau contigo ... Dentre as centenas de Fisicos que a Humanidade ja teve e tem, alguns poucos contribuiram para o Progresso da Matematica. A Maioria usa aquilo que os Matematicos ja criaram. Os exemplos que o Sr cita sao respeitaveis. O Calculo que Newton criou, em parte para abordar os problemas derivados de sua teoria gravitacional ( Para efeitos gravitacionais, uma distribuicao esfero-simetrica de massa se comporta como se toda a sua massa estivesse concentrada no centro geometrico da esfera ) e a funcao delta de Dirac ( impulso ); D(x) = 0, se x e diferende de zero D(x) = infinito, se x = o integral de D(x) de -inf a +inf = 1 Muito bem explicada e tornada manipulavel pela Teoria das Distribuicoes de um grande Matematico Frances ( E Laurent alguma coisa ). Em verdade, Matematica e Fisica deveriam ser uma unica ciencia, dado as profundas ligacoes que elas guardam. Eu posso estar errado, mas acho que muitas belas e importantes conquistas matematicas nao seriam possiveis sem os problemas suscitados pelo mundo fisico ... Bom, o Sr deve ser um Prof de Fisica ou Estudante Avancado e eu agradeco e estou aberto a qualquer ensinamento que o Sr desejar me transmitir. Bom, aqui e uma lista de discussao de problemas de matematica ( preferencialmente de nivel medio ) e o
Re: N'umeros de Hamilton
Ola Paulo, obrigado por suas palavras sempre gentis. Os livros de que falei sao importados, mas nao sao tao caros assim. Voce tem razao no que disse a respeito dos livros de divulgacao, que podem ser as vezes traicoeiros, mas eles sao necessarios. O "Seis pecas faceis" eh uma coletanea de palestras feita pelo Feynman para alunos de graduacao em Fisica (se nao me engano no California Institute of Technology). Ha muita coisa sobre sua favorita Mecanica Quantica. O espaco eh muito pequeno aqui para entrar em detalhes, mas vou dizer algo que talvez o decepcione um pouco: pessoalmente, acho que o significado do teorema de Goedel tem sido as vezes deturpado, como se significasse uma especie de "tocou bagunca" na Matematica, quando se trata de algo eminentemente tecnico. O mesmo se tem passado com o Caos e outras coisas semelhantes, que tem caido nas maos de leigos e tem sido usado com finalidades "descontrucionistas" discutiveis. Sobre isto, recomendo a leitura de "Imposturas Intelectuais", de Alan Sokal e R.Bricmont, ambos fisicos. Um abraco grande, Paulo. JP -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 15 de Setembro de 2000 18:51 Assunto: Re: N'umeros de Hamilton Ola Prof Jose Paulo, Como vai ? Fiquei muito feliz em receber esta sua mensagem. E a primeira desde muito tempo. Como estao todos ? E verdade. O nome correto e Feynman. Eu sempre cometo esses erros simplorios, pois escrevo com certa pressa, dado que a maquina que uso nao esta sempre disponivel. Eu nao conheco esses livros de divulgacao a que o Sr se refere. Eu tenho muito poucos livros deste tipo, pois eles costumam ser muito caros. Mas vou ver se encontro algum(ns) por aqui ( acho dificil ! ). Nao sei se o Sr concorda comigo, mas o mal dos livros de divulgacao e que eles nao nos permitem uma compreensao detalhada, ficando em geral so "no papo". Eu, por enquanto, acho melhor estudar o assunto "a vera", com material didatico, artigos e muitos exercicios. E fazendo muitos exercicios e refletindo sobre eles, investigando os limites de sua aplicabilidade, compondo pequenos artigos e refazendo experiencias ( quando possivel ) e demonstracoes que se aprende. Aprender e uma luta ! Nao sei se se pode falar em "simpatia por um tema", mas o certo e que as ideias quanticas sempre me atrairam muito e mesmo antes de conhecer todas as implicacoes das relacoes de incertezas ( e acredito que ainda nao conheca todas ) eu ja era um firme adepto da tese holista e indeterminista. Ela nos da uma maior liberdade de pensamento. Francamente, depois do Teorema de Godel, me parece que a segunda maior conquista da humanidade no seculo XX foi a mecanica quantica. O Teorema de Godel na Matematica e as relacoes de incertezas na Fisica acabaram por completo com as pretensoes dos formalistas e reducionistas de forma geral, abrindo caminho para possibilidades insuspeitas. A esperanca em um futuro melhor para a humanidae e muito mais certa com eles que nos modelos anteriores. A principio o Teorema de Godel foi quase completamente ignorado,mas vem ganhando atencao gradativamente e tenho lido muitos cerebros ilustres o apreciarem por diversos angulos e quase ja consigo demonstra-lo por completo. Eu imagino que doravante vao comecar a surgir mais e mais exemplos de teoremas bastantes verossimeis e, no entanto, indemonstraveis dentro dos axiomas e objetos tradicionais dos diversos ramos da Matematica : isto mostrara a falencia do metodo axiomatico e obrigara os Matematicos buscarem novas formas de tratarem os problemas. O CARA LA DE CIMA nao brinca e nao inspirou Godel para ele produzir um resultado tao importante sem maiores intencoes ... O mesmo se diga das relacoes de incertezas ! Esse papo e longo, mas, se Deus Quiser, nos teremos oportunidades de discutir isso pessoalmente. Um abracao pro Sr, e para os Prof Wagner, Morgado, Nicolau e Gugu Paulo Santa Rita 6,1813,15092000 On Fri, 15 Sep 2000 15:52:53 -0300 "=?iso-8859-1?Q?Jos=E9_Paulo_Carneiro?=" [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Paulo: O nome correto eh Feynman, mais precisamente, Richard Feynman, fisico americano, tambem premio Nobel em Fisica, que esteve no Brasil. Ele tem livros de divulgacao sobre todos esses assuntos, tais como: "Six easy pieces" (6 pecas faceis) e "Six not so easy pieces" (6 pecas nao tao faceis). JP -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 15 de Setembro de 2000 10:21 Assunto: Re: N'umeros de Hamilton Oi Leonardo, Tudo Legal ? Com relacao ao nome, voce esta certo : O correto e "Heisenberg". Quanto a designacao do Principio, nao. O nome deste principio flutua ao sabor dos autores e e mesmo uma questao de somenos importancia o problema do "nome correto". O que e importante e uma compreensao precisa do conteudo factual do Principio. Em Fisica Elementar este Principio costuma ser apresentado como segue : Nao e
Re: Propriedades tautocrona e Braquistocrona da cicloide
Veja o site: http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html JP -Mensagem original-De: Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 12 de Setembro de 2000 14:07Assunto: Propriedades tautocrona e Braquistocrona da cicloide Desculpem reenviar esta msg mas acredito que qdo enviei pela primeira vez havia muitas questoes ssobre a olimpiada Brasileira ... reenvio na esperanca de que alguem posa me ajudar. obrigado. Alguem conhece uma demonstracao de que a curva com a propriedade tautocrona (e braquistocrona) um arco de cicloide? Eu vi a pouco tempo uma demonstracao que usava transformada de Laplace .. esta, no entanto, nao me interessa ... se alguem puder ajudar me mostrando outra demonstracao ou alguma bibliografia agradeco. []'s MP
Re: Problema da olimpiada da america central e do caribe
Quero convidar os amigos da lista para aproveitar este problema para refletir sobre uma questao pela qual tenho me batido: o (para mim absurdo) abandodno a que foi relegado o ensino dos vetores no ensino medio. Repare que, se colocarmos a origem em um ponto O qualquer e identificarmos cada ponto X com o vetor definido pelo segmento orientado OX (e de modo geral AB=B-A), teremos, para os baricentros F,G,H,I: F=(A+B+E)/3; G=(B+C+E)/3; etc. Dahi: vetor FG=G-F=(C-A)/3=vetor AC/3 vetor IH=H-I=(C-A)/3=vetor AC/3 Logo, FGHI eh um paralelogramo. (A questao da area eh mais elaborada, mas tambem pode sair por vetores: a area do paralelogramo eh o modulo do produto vetorial de FG e GH.) Mas o que me parece interessante eh que o problema so eh "sinistro" porque perdeu-se o habito de usar vetores. JP Para: Lista de Matemática [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 10 de Setembro de 2000 00:12 Assunto: Problema da olimpiada da america central e do caribe Vi um problema muito "sinistro" la: Seja ABCDE um pentagono convexo. Sejam P, Q, R e S os baricentros dos triangulod ABE, BCE, CDE e DAE, respectivamente. Mostrar que PQRS e um paralelogramo e que sua area e igual a 2/9 da area do quadrilatero ABCD. (para os que quiserem, abaixo vai o problema escrito no original) Sea ABCDE un pentagono convexo (las diagonales quedan dentro del pentágono). Sean P, Q, R y S los baricentros de los triangulos ABE, BCE, CDE y DAE, respectivamente. Demostrar que PQRS es un paralelogramo y que su area es igual a 2/9 del área del cuadrilátero ABCD. Nota: El baricentro o centroide es el punto donde concurren las medianas.
En: RPM polêmica
-Mensagem original-
De: José Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]
Para: José Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]
Data: Sábado, 9 de Setembro de 2000 11:37
Assunto: Re: RPM polêmica
Desculpe: houve um problema, e a mensagem saiu totalmente truncada.
-Mensagem original-
De: José Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sábado, 9 de Setembro de 2000 10:25
Assunto: Re: RPM polêmica
Muito interessante esta sua duvida.
Eh isto mesmo. Existem construcoes que nao dependem da unidade escolhida,
e
outras que dependem.
O primeiro caso ocorre quando a expressao que traduz a incognita em termos
dos dados eh "homogenea", e a segunda ocorre no caso contrario.
Por exemplo, a construcao da media geometrica de 2 segmentos nao depende
de
unidade, pois dados a e b, a m.g. x=RQ(ab). Se a e b representam as
medidas
dos segmentos em questao na unidade u, uma mudanca para a unidade v tal
que
u=tv farah com que os segmentos se escrevam au= (at)v e bu= (bt)v, ou
sejam,
as novas medidas sao at e bt, de modo que a nova media geometrica eh:
RQ(atbt)=t RQ(ab)=tx. Ou seja, o segmento resultante tem medida tx na
unidade v. Portanto, ele eh (tx)v=xu, que eh o original.
O mesmo ocorre com a quarta proporcional, x=(ab)c.
Ja se x=ab ou x=a^2 ou x=RQ(a), as expressoes nao sao homogeneas, e
portanto
dependem da unidade, o que fica claro pela propria construcao.
JP
-Mensagem original-
De: Jorge Peixoto Morais [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 8 de Setembro de 2000 19:57
Assunto: RPM polêmica
Este e-mail é meio longo... mas é interessante.
De novo sobre a RPM...Eu ainda não sei aquelas coisas do
primeiro
e-mail... E, adicionalmente, na mesma RPM...
Vocês viram aquele método para se calcular o quadrado de um
segmento?
Ele diz que para calcularmos a raiz quadrada de um segmento x,
escolhemos um segmento unitário qualquer, e construímos um triângulo
retângulo em que a altura da hipotenusa é x e a projeção de um dos
catetos
sobre a hipotenusa é 1, ou seja, um segmento que se diz unitário. Então,
pelas relações métricas, a outra projeção deve ser X².Aí é que está o
"problema".
É claro que se trocarmos o "segmento de comparação" U por, por
exemplo, 2U, o segmento que media X "Us" vai medir (X/2)*("2Us"), em que
"*"
significa "vezes". O quadrado, que era de X²"Us quadrados" agora vai ser
(X²/4)*("4 Us quadrados" = "4Us"); ou seja, o número que expressa o
comprimento é mudado mais o comprimento permanece o mesmo (medido em cm).
Isso é compreensível. Mas, no algorítmo da RPM, se trocamos o segmeno
unitário por um outro 2 vezes maior (ou seja, trocamos U por 2U),
quadrado
do segmento X fica 2 vezes menor (em cm)para que o triângulo não deixe
de
ser retângulo. Medindo em 2U, X fica 2 vezes menor e seu quadrado fica 4
vezes menor. OK. Mas aparece um problema: O tamanho do quadrado de X fica
diferente, mesmo medindo em centímetros!! Isso não é estranho? A troca de
unidades influi no tamanho REAL de um segmento? Ou seja, não posso
desenhar
dois segmentos e dizer que um é o quadrado do outro, porque isso só é
verdade para uma certa unidade de medida?Estou confuso!!!
Espero que respondam meu e-mail; mas obrigado só pela atenção
[]s, J.P. (que honra ter essas iniciais...)
_
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Re: estranho
Josimat: A sua estranheza vem do fato de que frequentemente se ouve ou le que a definicao de probabilidade eh o quociente entre o numero de casos favoraveis e o numero de casos possiveis. Se isto fosse verdade, voce teria razao: probabilidade zero seria sinonimo de evento impossivel. Acontece que esta nao eh a definicao de probabilidade de um evento. Isto eh aquilo a que se reduz a definicao quando se particulariza para conjuntos (espacos amostrais) finitos (e mesmo assim, supondo certas coisas). De um modo mais geral (e mesmo assim ainda nao eh o super-geral), a probabilidade eh o quociente entre uma certa medida do conjunto dos casos favoraveis e a medida do conjunto dos casos possiveis. So para conjuntos finitos, esta medida eh o numero de elementos do conjunto em questao. Para conjuntos infinitos, isto seria impossivel. Para estes, entao, sao introduzidas outras maneiras de medir esses conjuntos (por exemplo, comprimentos, areas, etc.), e ahi, podem existir conjuntos de medida zero que nao sao vazios. JP -Mensagem original-De: josimat [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sexta-feira, 8 de Setembro de 2000 20:08Assunto: estranho Muito estranho... Algum poderia dizer algo sobre a afirmativa: A probabilidade de um evento ocorrer pode ser zero mesmo sendo possvel sua ocorrncia. []'s Josimar
Re: P.G.
A primeira progressao tem razao igual a raiz de 2, que eh maior que 1.
Logo a sua "soma infinita" nao faz sentido.
JP
-Mensagem original-
De: {O-Grande-Mentecapto} [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 1 de Setembro de 2000 23:41
Assunto: P.G.
Oi.. algúem pode dar uma luz? :)
149. Calcule, quando existir, a soma dos termos da P.G. infinita que está
dada:
a) (sqrt(2)/4, 1/2, sqrt(2)/2, ...)
b) (sqrt(2)/2, 1/2, sqrt(2)/4, ...)
para o a:
q = 2/sqrt(2) simplificando q = sqrt(2)
para o b:
q = sqrt(2)/2 q = sqrt(2)/2
substituindo o q e a1 do exercício b na fórmula de soma da pg infinita
(a1/q -1) temos: S = 1 + sqrt(2) como resposta.
agora o estranho.. fazendo o mesmo processo com o exercício a, o resultado
sempre fica com uma raiz no denominador e fica impossível de racionalizar o
resultado.
na resposta do a) eles colocam um simbolo que eu nunca vi antes.. parece um
A em italico mais uns tracinhos puxados.
* imagino que deva ser por causa da não racionalização da soma do
segundo... , mas porque isso só ocorre nele se as P.G. são iguais, só
'inversas'?
"Against stupidity, the Gods themselves contend in vain",
Friedrich von Schiller's
-
[]'s
{O-Grande-Mentecapto}
[EMAIL PROTECTED]
Re: Possível injustiça
Gostaria de acrescentar as observacoes do Nicolau o seguinte: Todos os professores que trabalham nas Olimpiadas de Matematica nao ganham nenhum dinheiro com isto. Todos os alunos que participam das Olimpiadas nao ganham premios em dinheiro, apenas medalhas e diplomas. Alem disto, "perdem" seu tempo de sabados, domingos e feriados para tentar resolver problemas considerados dificeis ou impossiveis pela maioria, inclusive por nos, professores (quando sao formulados por outros colegas). Ainda assim, so no Rio de Janeiro, mais de 3000 criancas e jovens participaram da 1a fase da OBM em 2000. Trata-se de um fenomeno educacional impressionante, e que deveria constituir um ponto de reflexao para todos nos, professores de Matematica. O que estao esses jovens procurando na Olimpiada, e que certamente o ensino "normal" nao lhes oferece? Seria preciso alguem muito singular (para nao dizer cretino) para querer fraudar um sistema como este, que nao envolve dinheiro. Tal fraudador deveria empregar de modo mais "util" suas "habilidades" a este respeito. Mas mesmo que isto ocorresse (e ja ouvi falar de um caso a nivel internacional), as pessoas conhecedoras do sistema logo detectariam, principalmente se isto ocorresse de forma sistematica, de forma a beneficiar sempre os mesmos (o criminoso sempre volta ao local do crime). Em todo caso, sua duvida eh procedente, e estah sempre na cabeca dos organizadores, que procuram tomar os cuidados plausiveis. Jose Paulo -Mensagem original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sábado, 2 de Setembro de 2000 14:30 Assunto: Re: Possível injustiça On Fri, 1 Sep 2000, Jorge Peixoto Morais wrote: Como é o sistema de pontuação da OBM nível 2? Eu não me lembro direito, mas acho que a 1ª fase vale 20 pontos, a 2ª 40 e a 3ª 300. E as duas primeiras não só servem para eliminar, como também contam seus pontos na classificação final. Se assim for, o que impede alguém de competir desonestamente, já que as duas primeiras fases são realizadas na escola? Nós temos por princípio confiar na honestidade dos participantes e das escolas. Seria possível que uma escola favorecesse indevidamente seus estudantes sim, mas não acreditamos que isto ocorra freqüentemente. Note que o peso da terceira fase é muito maior exatamente para que eventuais desonestidades tenham um efeito mínimo. []s, N.
Re: Permutações caóticas
Leia o meu artigo O problema do amigo oculto, na revista do Professor de Matematica, no 28, que eh exatamente sobre isto. JP -Mensagem original-De: Franklin de Lima Marquezino [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sbado, 2 de Setembro de 2000 09:08Assunto: Permutaes caticas Ol, H algum tempo eu perguntei nesta lista, como se calcula permutaes caticas, e ningum me respondeu at hoje. Estou no 3 ano do ensino mdio, e sei que minha pergunta pode ter sido um pouco idiota. Porm, eu j havia comentado esta minha dvida com alguns de meus amigos, que tambm participam desta lista, e nenhum deles soube responder. Ento, como vocs dizem que aqui predomina a solidariedade e a cooperao, eu pensei que no houvesse problema em compartilhar minha dvida, por mais simples que fosse. Caso algum tenha tempo, por favor, responda. At logo, Franklin
Re: Análise Combinátoria
Imagine primeiro todos os anagramas sem esta restricao, isto eh, todas as permutacoes das cinco letras, em numero de 5!=120. Se voce fixar uma certa arrumacao das consoantes, e permutar as vogais, das quais existem 3!=6 permutacoes, vai ver que dessas 6 possibilidades, so uma tem as vogais em ordem alfabetica. Como isto vale para cada arrumacao das consoantes, o numero que voce procura eh: 5!/3!= 120/6=20. Outro racicocinio eh o seguinte: Escolha 3 lugares para colocar as vogais. Isto pode ser feito de C(5;3)=5x4x3/1x2x3= 10 maneiras. Para manter a ordem alfabetica, nada mais ha a fazer com as vogais. Agora, para cada uma dessas 10 escolhas, permute as 2 consoantes, obtendo 20. A proposito, se voce fizer isto literalmente, voce terah provado que: C(m;p) x (m-p)! = m! / p!, ou seja: C(m;p) = m! / (p! (m-p)!) Ou seja, isto eh uma deducao da formula das combinacoes! Veja no Eureka 6 o artigo "Contar duas vezes para generalizar"... Jose Paulo -Mensagem original- De: João Paulo Paterniani da Silva [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 29 de Agosto de 2000 23:40 Assunto: Análise Combinátoria Olá. Estou na segunda série do Ensino Médio. Quantos anagramas da palavra "aluno" têm as vogais em ordem alfabética? João Paulo Paterniani da Silva _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: AjudA!! Complexos (geometria)
Observe que a, b, c sao colineares se e so se c-a eh um multiplo real se b-a, ou seja, (c-a)/(b-a) eh real, ou ainda este quociente eh igual ao seu conjugado. Agora, manipule algebricamente as 4 igualdades resultantes, use as propriedades tipicas do conjugado, para chegar a uma outra igualdade envolvendo so a', b'e c'. (isto eh, elimine a, b, c e seus conjugados). Tenha fe e coragem que acaba saindo. JP -Mensagem original- De: Marcio [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 25 de Agosto de 2000 00:17 Assunto: AjudA!! Complexos (geometria) Alguem consegue resolver esse problema?? Sejam a;b;c;a';b';c' numeros complexos. Sabe-se que (a;b;c') sao colineares, assim como (a';b;c), (a;b';c) e (a'/a; b'/b; c'/c; 1). Mostre que os complexos a';b';c' sao colineares. []'s Marcio
Re: Olimpíada Estadual do Rio de Janeiro
Eh claro que estao, ja que a primeira prova foi comum. Apenas a nota de corte foi 1 ponto mais baixa, em cada nivel. JP -Mensagem original-De: Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Quarta-feira, 23 de Agosto de 2000 21:24Assunto: Olimpada Estadual do Rio de Janeiro Gostaria de saber seos colgios inscritos na OBM esto automaticamente inscritos na estadual (colegios do Rio de Janeiro claro) Obrigado. []'s MP
Re: Re: Re: sugestão
Eh verdade. Tambem estiveram no Brasil o Dieudonne (a alma do Bourbaki) e o Grothendieck. JP -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 18:11 Assunto: Re: Re: Re: sugestão Obrigado ao JP pela correção, eu acabei criando um terceiro matemático (uma mistura de André Veil com Andrew Wiles, lamentável confusão.) A próposito, Andre Veil não esteve desenvolvendo alguns trabalhos por aqui (acho que antes de 1950) mais ou menos na epóca de grande atividade de Leopoldo Nachbin (um dos fundadores do IMPA). Se não me engano li algo sobre isso num pequeno livreto, uma espécie de homenagem que seu filho (Um pesquisador do IMPA) fez à esse grande lutador pela matemática no brasil que, como de costume, não recebe o valor merecido. Estou enganado JP ? ou quem saiba... []'s Alexandre Vellasquez Mais uma vez concordo com o Alexandre. Esclarecimento historico: Andrew Wiles: matematico que demonstrou o grande teorema de Fermat. Andre Veil: matematico frances que fez parte do grupo Bourbaki. Hermann Weyl: matematico alemao, um dos ultimos da escola de Goettingen, que acabou desbaratada a partir de 1933, com a ascensao do nazismo. JP
Re: Re: sugestão
Mais uma vez concordo com o Alexandre. Esclarecimento historico: Andrew Wiles: matematico que demonstrou o grande teorema de Fermat. Andre Veil: matematico frances que fez parte do grupo Bourbaki. Hermann Weyl: matematico alemao, um dos ultimos da escola de Goettingen, que acabou desbaratada a partir de 1933, com a ascensao do nazismo. JP -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 18 de Agosto de 2000 09:54 Assunto: Re: Re: sugestão Estive pensando (ihhh...) um pouco sobre esse negócio de questões triviais e questões difíceis, senão vejamos: Eu encaro da seguinte forma: Não há questão, qualquer que seja o seu nível, que não mereça atenção de alunos ou professores. Se um leitor a considerar elementar para o seu nível de conhecimento ele deve se lembrar que ao emitir comentários, sugerir leituras sobre o assunto ou mesmo mostrar o caminho da solução, ele estará ajudando: 1)à quem enviou à dúvida; 2)estará ajudando a tantos outros que talvez ainda não tenham percebido que possuem a mesma dúvida; 3) por último estará no mínimo exercitando, mesmo que sem perceber, os seus conhecimentos. Caso a questão seja de nível superior ao conhecimento de um leitor, isso deve servir de incentivo, motivação, para que ele procure aprender um pouco mais, mesmo que gradualmente, sobre os assuntos relacionados à questão. Vocês já pensaram se o Ralph , O Gugu , o Nicolau (até aqui já são 4 medalhas de ouro em IMO's), O Eduardo Wagner, O Morgado, e tantos outros, simplemente resolvessem pensar " Ahh, essa questão é trivial demais para o meu nível... vou ignorá-la" quando encontrassem questões que para eles fossem elementares, mas que para nós não são?? O que seria dessa nossa discussão em matemática?. Por outro lado, Andrew Weil (é assim??) conheceu o Teorema mais famoso do mundo (lembram, o ùltimo de Fermat.) com apenas 10 anos de idade, e o perseguiu a vida toda. Ou seja, ele desenvolveu matemática exatamente por ter se defrontado com um problema que ele (e todo mundo, literalmente!) simplesmente não consegui resolver. E se ele tivesse, como tantos fizeram, desistido por pensar " Ahhh.. isso está bem acima do meu nível!". Mas não, ele preferiu encara de outra forma,aprendeu matemática gradualmente e isso era apenas o começo da brincadeira. Eu quando era do primário ficava fascinado com o pessoal do ginásio porque eles somavam x e y e encontram números como resposta. Eu ainda não sabia nada sobre o assunto, e pra mim aquilo parecia difícil. Acho que foi por isso que resolvi estudar matemática... Era isso... desculpem o tempo tomado! []'s, Alexandre Vellasquez se alguém acha um problema muito difícil, pode simplesmente ignorá-lo; se o acha trivial, pode descartá-lo da mesma forma. E se alguém quiser propor um problema para as duas listas? Então todos aqueles que se inscreverem nas duas listas receberão uma mensagem em duplicata. Essa é a minha opinião.
Re: Permutação Caótica
A respeito de permutacoes caoticas, menciono o meu artigo O problema do amigo oculto, na Revista do Professor de Matematica, no. 28, p.21 (atencao! la nao ha os elementos repetidos). JP -Mensagem original-De: Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Quarta-feira, 16 de Agosto de 2000 19:15Assunto: Re: Permutao Catica Como se calcula o nmero de permutaes caticas em um conjunto com elementos repetidos? Uma pergunta equivalente a essa que talvez fique mais clara seria ( se entendi bem) quantos so os anagramas da palavra MATEMATICA em que nenhuma das letras ocupa a posico ocupada na palavra MATEMATICA acho que eh isso ... quanto a soluo []'s MP
Re: argumentos combinatórios
Isto estah feito em um artigo meu no Eureka, chamado: "Contar duas vezes, para generalizar". Acho que eh o no 6. JP -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 30 de Julho de 2000 17:19 Assunto: argumentos combinatórios Fala, galera! Alguém poderia resolver este problema pra mim? - Diga, utilizando argumentos combinatórios o valor de ( n )^2( n )^2 ( n )^2 ( ) + ( ) + ... + ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( n ) Obrigado Abraços Marcelo P.s. ( n ) ( ) = n!/k!(n-k)! ( k ) Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: i^i ; Moebius....
-Mensagem original- De: Bruno Woltzenlogel Paleo [EMAIL PROTECTED] Para: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 13 de Julho de 2000 20:08 Assunto: i^i ; Moebius Quando eu mandei a HP calcular, ela retornou um par ordenado, onde um dos "elementos" era o número que eu encontrei e o outro era o Zero... = O complexo a+bi pode ser identificado com o par ordenado (a;b). Nesta identificacao, o real x eh: (x;0).
Re: faixa de hipérbole
Seja x_0 = a x_1 ... x_n = b a particao do inetrvalo. Da figura, tira-se que a area sob a hiperbole menos a area do retangulo inscrito (tudo isto no k-esimo intervalo) eh menor que a do triangulo retangulo de catetos x_k - x_(k-1) e F(x_(k-1))-F(x_k), ou seja: (1/2)(x_k-x_(k-1)*(1/x_(k-1)- 1/x_k), a qual eh menor que : (1/2) c * (1/x_(k-1)- 1/x_k). Somando estas desigualdades para k de 1 a n, tem-se que a diferenca entre a area da faixa de hiperbole e a soma das areas dos retangulos inscritos eh menor que: (1/2) c * (1/x_0 - 1x_n) = (1/2) c * (1/a -1/b), ja que a 1a parcela -1/x_1 cancela com a seguinte 1/x_1, etc. JP -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 9 de Julho de 2000 10:59 Assunto: faixa de hipérbole Olá Alguém poderia me ajudar enviando a solução do exercício abaixo - Dada a decomposição di intervalo [a,b] em intervalos justapostos, o "erro" que se comete ao tomar-se a área do polígono retangular P ao invés da área da faixa H(a)_b é a diferença E=(área de H(a)_b) - (área de P). Prove que se tem Ec/2(1/a-1/b), onde c é o comprimento do maior intervalo da decomposição. Conclua que, fixado [a,b], podemos tornar o erro E tão pequeno quanto se deseje (digamos Ee') desde que tomemos uma decomposição de [a,b] por meio de intervalos de pequeno comprimento. (digamos, todos menores que a.e'). em particular, o erro que se comete ao se substituir a área da faixa H(b)_1 pela área de um polígono retangular inscrito é inferior ao comprimento do maior intervalo da decomposição. Notações: H(a)_b = faixa da hiperbole limitada pelas abscissas a e b, ba não sei se precisa dizer, mas a função que determina essa hipérbole é y=1/x... Obrigado Abraços Marcelo Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: uma desigualdade!
Este problema pode ser resolvido de modo analogo ao da hiperbole: A soma 1/2^3 + 1/3^3 + ... + 1/n^3 eh a soma das areas dos retangulos inscritos sob a curva y=1/x^3, de 1 ateh n, para a particao: 123...n. Entao, ela eh menor que a integral de 1/x^3 dx de 1 a n, a qual eh: 1/2 - 1/2n^2 1/2. Somando 1 a ambos os lados, a soma he menor que 3/2. JP -Mensagem original- De: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 9 de Julho de 2000 22:14 Assunto: uma desigualdade! Caros amigos, como posso verificar a desigualdade 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + ...+ 1/n^3 3/2 para todo n natural ? Um abraço , Carlos A Gomes.
Re: apreciação
Esta me pareceu a melhor solucao ateh agora do problema. So 2 comentarios: 1) espero que todos tenham entendido que (a,b) estah significando o m.d.c. de a e b (eu nao gosto desta notacao, embora seja bastante usual). 2) Quando diz: "agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1", pode dar a impressao de que esse caso vai esclarecer algum mais geral; na verdade: (A,B)=1 mesmo. JP -Mensagem original- De: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sábado, 8 de Julho de 2000 16:38 Assunto: Re: apreciação Eu mesmo tenho dificuldade de ler os sinais das minhas mensagens. Vou substituir o sinal de mais por #, assim talvez todos consigam ler: Seja (a,b)=g, e a=gA, e b=gB (a^2 # b^2)/ab = (A^2 # B^2)/AB Agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1. Mas veja que - se (A,B)=1 então (A # B,B)=(A # B,A)=1 - se (A # B,B)=(A # B,A)=1 então (A # B,AB)=1 - se (A # B,AB)=1 então ((A # B)^2,AB)=1 Logo (A # B)^2/AB = (A^2 # B^2)/AB + 2 é inteiro somente se AB=1, portanto A=1 e B=1, logo a=b=g. Tudo perfeitamente certo? Meus comentários: na solução do amigo Marcos Eike Tinen dos Santos, me PARECE que ele admite algo como: para (a # b)/c ser inteiro a/c e b/c precisam ser inteiros, o que não é verdade. (1 # 3)/2 é inteiro. Na solução do amigo Filho, que me PARECE perfeita, há o uso da fórmula das raízes da equação de segundo grau, o que, apesar de não ser tão artificial, já não é tão "simples" quanto à solução que eu dou acima. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: ajuda
-Mensagem original-De: Andr Amiune [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 4 de Julho de 2000 23:34Assunto: Re: ajuda 1. Acho uma prova poderia ser assim: a^2+b^2 = (a+b)^2 -2ab, logo para ab dividir (a^2 + b^2), ab deve dividir a+b. =Nao concordo. isto prova apenas que ab divide (a+b)^2. 9 divide 6^2, mas nao divide 6. Se considerarmos b = a+ k temos que provar que a(a+k) divide a + (a+k) = 2a + k somente se k=0. Uma das condies para 2a + k ser divisvel por a(a+k) que 2a + k seja mltiplo de a e logo k' = a.k. Substituindo: a^2(k' +1) deve dividir a(k'+2) Alm de k'+2 ter queser mltiplo de a, uma das condies necessrias para isso ser verdade que que jamias severificar para k 0 k'+1 dividir k'+2, pois ambos so primos entre si. Logo a^2(k'+1) s divide a(k'+2) se k'=k=0 e temos a=b. Certo? - Original Message - From: Filho To: discusso de problemas Sent: Tuesday, July 04, 2000 10:49 AM Subject: ajuda 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 divisvel por ab, mostre que a=b. 2. Demonstrar que a equao x^2 + y^2 - z^2 = 1997 tem infinitas solues inteiras. Grato
Re: sem cálculo
A afirmacao existe uma e so uma pode ser decomposta em 2 partes: existe no maximo uma e existe no minimo uma. A primeira pode ser decidida por argumentos que nao envolvem analise; por exemplo, se a e b sao raizes , entao a^3-b^3=2(b-a) ou a^2+ab+b^2=2, donde se conclui que ab= 0 (ja que a e b estao entre -1 e 1), etc. Mas a afirmativa de existencia sempre vai exigir algum argumento de analise do tipo se um polinomio eh positivo para x=c e negativo para x=d , entao tem uma raiz entre c e d (citado abaixo). Na realidade, a propria existencia da raiz cubica (e da raiz quadrada) de um real qualquer envolve argumentos deste tipo. A questao eh que esta existencia (e outras) entra sorrateiramente no ensino medio, sem justificativa. Agora, em relacao a derivada, concordo. Muita coisa (talvez tudo) que se faz com derivadas para polinomios, pode ser feito algebricamente (a formula de Taylor eh exata para polinomios). Por exemplo, esqueca que a derivada eh 3x^2+2. Examinar se f(x)=x^3+2x+k eh crescente equivale a examinar se f(b)-f(a)=(b-a)(b^2+ab+^2+2) tem o mesmo sinal de b-a, ou seja, se eh positivo o ultimo parenteses, o qual = (a+(b/2))^2+(3b^2)/4 + 2. JP (PS: quando ja ia enviar este mail, vi que o Ralph escreveu algo analogo) JP -Mensagem original-De: Filho [EMAIL PROTECTED]Para: discusso de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Sbado, 1 de Julho de 2000 14:07Assunto: sem clculo Caro Wellington no final do seu comentrio, voc usou recursos de clculo. A questo foi de um vestibular que no programa no consta nada de clculo. Grato pelo primeiro comentrio, mas o que torna a questo diferente exatamente no poder usar tais recursos. O problema continua Mostre que a equao x^3 + 2x +k=0, com k real no intervalo aberto ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no intervalo aberto ]-1,1[. Seja f(x)=x^3+2x+k;Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo:para x=-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[;para x=1 a imagem da funcao estara em ]0,6[;ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso garante a existencia de um numero impar de razes nesse intervalo (Teorema de Bolzano). (Para que exista apenas uma raiz, a funcao nesse caso deve ser estritamente crescente. Analisaremos entao a sua derivada:f ' (x)= 3x^2+2 0 para todo x, o que termina o problema)?? Pensem conosco, grato
Re: área
Eh claro que nao. Pegue um descanso de prato desses que encolhem e esticam. Com o mesmo perimetro, voce obtem areas diferentes. -Mensagem original-De: Aron Roberto Ferreira [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Quinta-feira, 29 de Junho de 2000 22:07Assunto: rea Ol pessoal Gostaria de saber se de alguma maneira possvel determinar a rea de um quadriltero conhecendo apenas as medidas de seus lados (mantendo o permetro, lgico)?. Obrigado! Edmilson, realmente voc estava certo, nem sempre a recproca verdadeira.
Re: ajuda
Uma parabola. Observe que a eq. pode ser escrita: (x-2y)^2-3x-y-1=0. A reta x-2y=0 forma com o eixo X um angulo alfa tal que cos(alfa) =2/(raiz de 5) e sen(alfa)=1/(raiz de 5). Se voce fizer entao uma mudanca de variaveis (2x+y)/(raiz de 5)=u (-x+2y)/(raiz de 5)=v (equivalente a uma rotacao de (-alfa) dos eixos em torno da origem), voce chegarah a uma equacao do tipo v = au^2 + bu + c, onde reconhecerah uma parabola, da qual voce poderah calcular foco, parametro, etc, JP -Mensagem original-De: Filho [EMAIL PROTECTED]Para: discusso de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 19 de Junho de 2000 09:52Assunto: ajuda Qual a cnica representada pela equao x^2 + 4y^2 -4xy - 3x - y - 1=0 ? obs: x^2 representa x elevado a 2
Re: soluções inteiras
Aqui tambem! Mas eu nao abri. JP -Mensagem original- De: Mira [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 16 de Junho de 2000 13:52 Assunto: Re: soluções inteiras Cuidado Carlos, sua mensagem chegou por aqui com o Happy99.exe atachado! - Original Message - From: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, June 15, 2000 11:31 PM Subject: soluções inteiras Alô pessoal como estão todos, tudo ok? Gostaria que alguém me ajudasse com s seguinte questão que está no livro teoria elementar dos números do Edgar de Alencar, logo no primeiro capítulo: Achar todas as soluções inteiras e positivas da equação (x+1)(y+2)=2.x.y Um abraço a todos, Carlos A. Gomes 15.06.00
Re: Re: como achar?
Estah correto o seu teorema. So que a condicao de que a derivada
seja continua eh muito forte. Basta que ela exista.
Outra coisa: nao gosto desta definicao de continuidade, que voce diz que eh
do Aurelio (nao eh um bom lugar para definicoes matematicas: veja o
comentario
em "Matematica do Ensino medio", Vol.I, de Elon Lima e outros, sobre a
definicao de numero). Esta definicao serve para o seu caso, em que o
dominio eh um intervalo, mas nao para o caso geral em que o dominio pode ter
pontos isolados, onde a funcao estah definida no ponto, eh continua, e o
limite nao existe. Uma funcao eh continua em c quando x (do dominio) proximo
de c implica f(x) proximo de f(c), e isto pode ser traduzido
(equivalentemente) por vizinhancas (epsilons e deltas) ou por sequencias.
JP
-Mensagem original-
De: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Domingo, 4 de Junho de 2000 19:11
Assunto: Re: Re: como achar?
From: "José Paulo Carneiro" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: como achar?
Date: Sun, 4 Jun 2000 09:39:04 -0300
Dois comentarios:
1) mais uma vez, recomendo a leitura de dois artigos da RPM:
um do Wagner: "Os numeros a^b e b^a" (RPM 28), e outro meu:
"Voltando aos numeros a^b e b^a" (RPM 31).
2) Lembro que a nulidade da derivada em um ponto nao eh condicao
suficiente para ocorrencia do maior valor de uma funcao, como parecem
sugerir certas resolucoes que terminam por ahi.
JP
Eu havia dito em meu e-mail sobre o problema do Benjamin:
" tome y(x)=x^(1/x), e veja que se a funcao tem um maximo, eh onde a
derivada e' nula (nesse caso): "
Nao sei o que deu a entender; mas eu quis dizer exatamente o que o Jose
Paulo Carneiro falou, isto é, existem casos onde o maximo de uma função não
é onde a derivada é nula. Peço perdão se não deixei isso claro.
Vou dar um exemplo bem simples:
Suponha que y(x)=x, e queremos achar o valor máximo dessa função com x no
intervalo [0,5]. É claro que o máximo é em x=5, mas a derivada é 1 nesse
ponto.
Vou tentar dar uma condição para que a função y(x), com x num intervalo I
(contínuo, sem quebras), tenha seu máximo onde a derivada é nula:
i. suponhamos que y(x) é contínua em I (por função contínua dizemos: a)
para
todo x E I, y(x) está definida; b) o limite da função no ponto coincide com
o valor da função no ponto; do dicionário Aurélio), equivale a dizer
intuitivamente que a função não dá saltos.
ii. suponhamos que y(x) não dê viradas bruscas, em outras palavras, que a
sua derivada seja contínua no intervalo I.
iii. suponhamos que y(x) tenha um valor máximo em I, e ele não seja nenhum
dos extremos de I (menor e maior valores)
Vou me arriscar a dizer que se uma função obedece a i, ii e iii então o
máximo de y(x), com x E I, vai ser em algum dos pontos onde a derivada for
nula. Suponhamos {x1,x2,...,xn} todos os pontos onde
y'(x1)=y'(x2)=...y'(xn)=0, então o maior valor de {y(x1),y(x2),...,y(xn)}
será o máximo da função y(x) no intervalo I.
Algum comentário? Algo mais esclarecedor?
Eduardo Casagrande Stabel.
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Re: Re: como achar?
Estah perfeitamente esclarecido. JP -Mensagem original- De: Alexandre Gomes [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 4 de Junho de 2000 21:57 Assunto: Re: Re: como achar? From: "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Re: como achar? Date: Sun, 04 Jun 2000 22:02:49 GMT From: "José Paulo Carneiro" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: como achar? Date: Sun, 4 Jun 2000 09:39:04 -0300 Dois comentarios: 1) mais uma vez, recomendo a leitura de dois artigos da RPM: um do Wagner: "Os numeros a^b e b^a" (RPM 28), e outro meu: "Voltando aos numeros a^b e b^a" (RPM 31). 2) Lembro que a nulidade da derivada em um ponto nao eh condicao suficiente para ocorrencia do maior valor de uma funcao, como parecem sugerir certas resolucoes que terminam por ahi. JP Talvez um dos interessados diretos por esta resposta seja eu, uma vez que utilizei o fato acima descrito para resolver a questão. Sei que se a derivada primeira de uma função for nula em um ponto, este fato não é condição suficiente para a ocorrência de máximo. O que eu fiz foi APENAS tentar chegar até a mesma solução do livro do Benjamin, sem querer entrar em um estudo mais detalhado da função(não sei se esta foi a intenção do remetente), já que este alegou não ter acertado a derivada da função(talvez por isso não fosse interessante tentar ir além disso, pois dá a entender que o remetente não tem um curso de cálculo). Então eu parei neste ponto. Reconheço que posso ter errado em induzir um conceito errado em um componente da lista, mas esta não foi a minha intenção. Atenciosamente Alexandre S. Gomes. ___ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: como achar?
Dois comentarios: 1) mais uma vez, recomendo a leitura de dois artigos da RPM: um do Wagner: "Os numeros a^b e b^a" (RPM 28), e outro meu: "Voltando aos numeros a^b e b^a" (RPM 31). 2) Lembro que a nulidade da derivada em um ponto nao eh condicao suficiente para ocorrencia do maior valor de uma funcao, como parecem sugerir certas resolucoes que terminam por ahi. JP -Mensagem original- De: Alexandre Gomes [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sábado, 3 de Junho de 2000 18:41 Assunto: Re: como achar? From: "Benjamin Hinrichs" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "Obm-l" [EMAIL PROTECTED] Subject: como achar? Date: Sat, 3 Jun 2000 17:13:54 -0300 Pessoal, perguntinha para vós: como se acha o valor máximo de x^(1/x). Como se chega ao valor máximo da 'função'? Tentei fazer a derivada mas não concluí nada, acho que fiz errado. Num livro eu acho ter lido que o valor mais alto é e^(1/e) mas já vi que com 2 o valor obtido é mais alto, acho. Um grande abraço, Benjamin Hinrichs Caro Benjamin, tentei fazer o problema por derivadas. Veja a minha solução: y=x^(1/x) - lny=lnx^(1/x)=(1/x)*lnx - d(lny)=d((1/x)*lnx) (1/y)*y'=(-x^(-2))*lnx+(1/x)*(1/x) (1/(x^1/x))*y'=(1/x^2)-(1/x^2)*lnx=(1/x^2)(1-lnx) y'=(1/x^2)(1-lnx)*(x^(1/x))=(x^((1-2x)/x))(1-lnx) Como sabemos, para y máximo, y'=0, para acharmos x: Da derivada acima determinada: (1-lnx)=0 - x=e - máx(y)=e^(1/e) Creio que o livro esteja correto. Confira também com as outras respostas aqui da lista, ok? Um abraço! Alexandre S. Gomes. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Complexos - urgente
Nao entendi bem esta curva. nao serah a cos t+ i b sen t, ou algo parecido? JP -Mensagem original- De: Wellington Ribeiro de Assis [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 15 de Maio de 2000 18:23 Assunto: Complexos - urgente Prezados amigos da lista, Estou com problemas com uma integral complexa e gostaria de poder contar o quanto antes com a ajuda de voces. A questao eh a seguinte: Calcular o indice de um caminho fechado w(A,0), onde A=a*sen(t)+b*cos(t), a,b0 e ab sem usar homologia. obs: significa diferente. definicao de w: w(C,Zo)=[1/(2*pi*i)]*int(C)[dZ/(Z-Zo)], onde Zo nao pertence ao traco do caminho. notacao: 'i' eh a unidade imaginaria 'pi' eh o irracional 'int(C)' eh a integral no caminho C De imediato podemos concluir que o valor desta integral eh 1, pois pelo teorema, como Zo=0, a substituicao da elipse pelo circulo de raio unitario nao altera o resultado pois os dois caminhos sao homologos. Agradeco desde jah pelo tempo dispendido. Abracos a todos, Wellington == "Que os nossos esforcos desafiem as impossibilidades! Lembrai-vos de que as grandes proezas da humanidade Foram conquistadas daquilo que parecia impossivel". Charles Chaplin #ICQ: 13259380 Assis
Re: algorítmo da divisão
6k+5= 3(2k+1)+2. A reciproca nao vale: basta ver que quando k eh par, 3k+2 eh par, enquanto 6k+5 eh impar. -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 11 de Maio de 2000 14:12 Assunto: algorítmo da divisão Olá pessoal Como faço para provar, utilizando o algorítmo da divisão, que todos os números inteiros da forma 6K+5 são também da forma 3K+2, mas não vale a recíproca? Obrigado Abraços Marcelo Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: [Fwd: Ajuda sobre teoria dos números...]
Eh interessante tambem o livro do S.C.Coutinho, cujo titulo eh mais ou menos (cito de cabeca) Teoria dos Numeros e Criptografia RSA, editado pela SBM. -Mensagem original-De: Benedito Tadeu V. Freire [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sexta-feira, 5 de Maio de 2000 09:41Assunto: Re: [Fwd: Ajuda sobre teoria dos nmeros...]Caro Flvio, Segue uma bibliografia que talvez seja interessante voc acessar: a) Introduo Teoria dos Nmeros, de Jos Plnio de Oliveira Santos -Rio de Janeiro - Coleo Matemtica Universitria- SBM b) An Introduction to the Theory of Numbers - Ivan M. Niven and Herbert S. Zuckerman . New York. John Willey Sons. 1991 Benedito Freire Flavio Borges Botelho wrote: Alexandre de Moura wrote: Preciso de ajuda, Podem me ajudar com a introduo e problemas sobre Teoria dos nmeros . . . [] desde j muito obrigado, Alexandre de Moura[EMAIL PROTECTED]
Re: critica
So para acrescentar, Paulo. Nao me lembro de ninguem ter dito que a pergunta era "idiota ou imbecil". Em particular, eu falei justamente o contrario: que problemas como esses sempre atarantaram os matematicos, e nates deles, os filosofos, como Parmenides e Zenao de Eleia, por exemplo. JP -Mensagem original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 3 de Maio de 2000 11:30 Assunto: Re: critica Ola Elon, Tudo legal ? Uma forma de responder a sua questao seria observar que que 0,999... pode ser entendido como 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ... Esta "serie geometrica" e convergente e sua soma vale: (9/10) / (1 - 1/10) = (9/10) / (9/10) = 1 Assim, "de fato", 0,999... = 1. Satisfaz ? *** Eu nunca vi alguem pensar por postulados, axiomas e teoremas ... Eu sempre vi as pessoas justificarem suas percepcoes internas e intuicoes com estas coisas ! Em "Prova e Refutacao", de Lakatos, vemos que a famosa e sempre exigida demonstracao nao passa de um estagio final de um longo e laborioso processo mental dialectico, totalmente informalizavel e que, efetivamente, e o verdadeiro veiculo de todas as descobertas cientificas que a humanidade ja fez. Por outro lado, quem quer prova pra tudo deveria ler um pouco de logica pois hoje sabemos que qualquer sistema formal que use o minimo de principio aritmeticos contera proposicoes acerca dos objetos do sistema que sao totalmente inatingiveis com os recursos de inferencia do mesmo sistema(incompletude) ou tera contradicoes internas (inconsistencia) - Teorema de Godel *** Nao fique chateado se alguem, eventualmente, achou sua pergunta algo idiota ou imbecil : a historia da ciencia mostra que grandes descobertas so foram possiveis porque alguns homens resolveram se fazer ( e responder ) perguntas imbecis... Quando alguem "sente" que aquilo que a comunidade acha evidente nao e tao evidente assim, em geral, essa pessoa esta percebendo estrutura digna de analise naquilo que os outros acham irredutivel... isso pode ser muito bom ! Finalmente, a imensa maioria das pessoas da lista sao muito legais, com grandes professores a nos orientarem. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1013,03052000 On Fri, 21 Apr 2000 10:59:27 -0300 =?iso-8859-1?Q?Elon_Santos_Corr=EAa?= [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos, a alguns dias enviei um e-mail para a lista intitulado "o dia que nao acaba" e confesso que fiquei impressionado com algumas respostas, estas respondiam como se a pergunta que fiz (1 = 0,999...?) fosse uma ofensa a tudo aquilo que os matematicos sabem, acreditam e aceitam. A Matematica nao e' a verdade absoluta, nem o conjunto dos numeros reais pode explicar tudo que ocorre no mundo verdadeiro. A essencia da questao foi perdida, prevaleceram os dogmas. Nao estou defendendo aqui, que a resposta para a pergunta que fiz seja sim ou nao, mas com certeza esta nao deveria ser respondida atraves de respostas prontas, mas sim questionada de forma logica e convincente. E' esta atitude de alguns colegas da lista que por muitas vezes afastam da matematica aqueles que por um ou outro motivo, nao gostam ou nao estao tao preocupados com as questoes puramente matematicas (nao e' o meu caso). Sera' que Matematica e' pensar somente por axiomas, postulados, teoremas, etc.? Duas "coisas" sao iguais porque nao podemos provar (dentro de regras limitadas) que elas sao diferentes? E se as regras falharem? De qualquer forma, agradeco a todas as respostas, Elon. Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/
Re: Problema de inteiros
Se nao forem primos entre si, eh falso. Como voce vai obter 5, que eh impar, como uma soma de multiplos de 4 e 6? -Mensagem original- De: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 11:06 Assunto: Re: Problema de inteiros Um dos fatos importantes a ser considerado, é: Por que o problema nos impõe a propriedade de que eles devem ser primos entre si. Será que foi por acaso? Eu penso que essa resposta é a metade do caminho para uma solução bem formulada. Ats, Marcos Eike - Original Message - From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 17:42 Subject: Problema de inteiros E ai, pessoal? Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última Eureka! e acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai. 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter qualquer número somando múltiplos de x e de y. Solução. Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de modo que fx + gy = n ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n ) Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f: f = (n - gy)/x Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num s.c.r. então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos por partes: Suponhamos que n - g1y =/= n - g2y (mod x)'=/= incongruente g1y =/= g2y (mod x) == afirmação similar a x não divide y(g1-g2) Como mdc(x,y)=1 então g1 =/= g2 (mod x) Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod x). Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou seja, que nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente: n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes módulo x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x, necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e portanto haverá um g, tal que: f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado. 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, de modo que para todo o n N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de y que somados dão n. Nessas condições teremos que ter Solução. O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de modo que, para n N fx + gy = n (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail) A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para todo o a vale axy - ayx = 0, daí: fx + gy + axy - ayx = n (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + ay e g - ax sejam ambos positivos. Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy + 2ayx esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay e g-ax sempre positivos. Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja basta que n-xy0 e portanto que n xy. Logo para N = xy vale o enunciado. Obrigado para quem leu! E tem algum erro? Valeu... Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Problema de inteiros
O Teorema de Bezout (por alguns chamado de Teorema Fundamental da Teoria dos Numeros) diz que dados dois inteiros a e b, eh possivel (usando o algoritmo de Euclides, por exemplo) encontrar dois inteiros r e s tais que ra+sb=m.d.c(a,b). [Veja RPM no 37, p.27: "Dispositivo pratico para expressar o mdc de dois numeros como combinacao linear deles"]. Em particular, se a e b e forem primos entre si, pode-se achar r e s tais que ra+sb=1 e, portanto: (r n)a+ (sn)b = n, onde n eh um numero qualquer dado. PS: Eu ja tinha escrito este e-mail quando vi que o Marcos Paulo falou a mesma coisa. That's my boy! -Mensagem original- De: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sábado, 22 de Abril de 2000 18:05 Assunto: Problema de inteiros E ai, pessoal? Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última Eureka! e acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai. 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter qualquer número somando múltiplos de x e de y. Solução. Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de modo que fx + gy = n ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n ) Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f: f = (n - gy)/x Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num s.c.r. então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos por partes: Suponhamos que n - g1y =/= n - g2y (mod x)'=/= incongruente g1y =/= g2y (mod x) == afirmação similar a x não divide y(g1-g2) Como mdc(x,y)=1 então g1 =/= g2 (mod x) Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod x). Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou seja, que nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente: n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes módulo x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x, necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e portanto haverá um g, tal que: f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado. 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, de modo que para todo o n N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de y que somados dão n. Nessas condições teremos que ter Solução. O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de modo que, para n N fx + gy = n (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail) A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para todo o a vale axy - ayx = 0, daí: fx + gy + axy - ayx = n (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + ay e g - ax sejam ambos positivos. Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy + 2ayx esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay e g-ax sempre positivos. Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja basta que n-xy0 e portanto que n xy. Logo para N = xy vale o enunciado. Obrigado para quem leu! E tem algum erro? Valeu... Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: O dia que nao acaba
Caro Flavio: Voce pode imaginar que este tipo de discussao atarantou os matematicos durante muitos anos. Para evitar que a Matematica estagnasse ou que descambasse para discussoes do tipo: "eu acho que 2+2=5 porque sou budista", os matematicos, desde a segunda metade do seculo XIX (culminando talvez com Hilbert, na virada para o seculo XX), desenvolveram uma atitude mais prgamatica, convencionando um sistema mais modesto de "certezas" e de metodos aceitos por todos (os matematicos), a partir dos quais eh possivel deduzir tudo que um matematico precisa para trabalhar e aplicar a matematica ao mundo fisico. Tal sistema consta de conceitos primitivos, axiomas, e regras aceitas de Logica, e a partir dahi fluem os teoremas conhecidos. Dentro deste sistema, nao ha lugar para "numeros infinitesimais" ou para consideracoes esotericas sobre o infinito. E dentro de tal sistema, como ja disse em outro e-mail, nao ha a menor duvida de que 0,999...=1. Agora, ninguem pode impedir ninguem de atribuir outros significados a esses termos e fazer suas proprias consideracoes "filosoficas". Mas isto nao eh considerado propriamente matematica pelos matematicos. JP Post Scriptum: Sei muito bem que este sistema que mencionei apresenta certas dificuldades, e que ha uma teoria (chamada "Non-standard analysis") que tenta resgatar conceitos tipo "numero infinitesimal", mas para analisar isto, so escrevendo 900 paginas. JP -Mensagem original- De: Flavio Borges Botelho [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 19 de Abril de 2000 23:51 Assunto: Re: O dia que nao acaba Ralph Costa Teixeira wrote: Assim, eu digo: acostume-se com a ideia de que 1,...=2, exatamente, mesmo que a sua intuicao inicial seja capaz de jurar que 1,...2 (sua intuicao estah comparando digitos, o que soh nao funciona no caso de dizimas com noves). Espero não deixar os defensores bravos, mas não pode ser possível que a linha dos reais está furada? Faltando certos números 'infinitesimais' que seriam o caso da diferença entre 1,9 e 2? Até hoje uma definição matemática para infinito nós escapa, e quem sabe seja impossível encontrá-la... Em geral o que fazermos é levarmos aos limites, e esse caso parece ser um caso onde esse limite de infinito parece estar impregnado... lim (n - infinito) 2 - 10^(-n) = 1,9 O problema que quando lidamos com 1,... como um número real, a parte infinitesimal acaba desaparecendo e chegamos a conclusão que é igual a 2. Abraço, Ralph Abração, Flávio
Re: Congruências e Raizes n-ésimas da unidade
Ola Marcos: Bem lembrado! O livro alias eh do Wagner. So o apendice eh meu. E eh no apendice que estah o que voce fala. Nao vou repetir aqui, porque eh bom voces terem o livro, para lerem outras coisas interessantes. JP -Mensagem original- De: Marcos Paulo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 21 de Março de 2000 02:26 Assunto: RES: Congruências e Raizes n-ésimas da unidade No livro "Construções Geométricas" - Eduardo Wagner e J.P.Q. Carneiro tem um apendice q trata do assunto que vc pediu!! Um exercício interessante q é apresentado nesse apendice é a solução da equação binômia x^5 -1=0 que o Próprio JP poderia expor aki! esse assunto é muito interessante!!! []'s M.P. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: segunda-feira, 20 de março de 2000 10:59 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Congruências e Raizes n-ésimas da unidade Oi gente... Li num livro de álgebra (pelo menos foi o que entendi, se entendi errado esclareçam!)que Gauss (Salve!!), após ter desenvolvido sua teoria de "congruências" usou seus resultados para atacar o problema das raizes n- ésimas da unidade, gerando ao final os métodos para construções com régua e compasso de polígonos regulares. ALLguém saberia me dar mais informações sobre essa relação? Ou pelo menos citar uma fonte para consulta? Grato e, Saudações(Tricolores, claro!!!) Alexandre Vellasquez
Re: Congruências e Raizes n-ésimas da unidade
Por exemplo: as n raizes n-esimas de 1 formam, no plano complexo, os vertices de um poligono regular de n lados inscrito no circulo unitario. Por outro lado, a "primeira" raiz u depois do proprio 1, isto eh cis(2pi/n), eh tal que u^r=u^s se e so se r eh congruo de s modulo n. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 20 de Março de 2000 14:14 Assunto: Congruências e Raizes n-ésimas da unidade Oi gente... Li num livro de álgebra (pelo menos foi o que entendi, se entendi errado esclareçam!)que Gauss (Salve!!), após ter desenvolvido sua teoria de "congruências" usou seus resultados para atacar o problema das raizes n- ésimas da unidade, gerando ao final os métodos para construções com régua e compasso de polígonos regulares. ALLguém saberia me dar mais informações sobre essa relação? Ou pelo menos citar uma fonte para consulta? Grato e, Saudações(Tricolores, claro!!!) Alexandre Vellasquez
Re: sistema
-Mensagem original- De: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 21 de Março de 2000 22:23 Assunto: Re: sistema Oi, Elon. Argh, estou sem tempo para comentar isso, então cuidado: grande possibilidade de eu falar besteira aí embaixo! Vou "xutar" umas coisas, por favor verifiquem. Basicamente, você quer x^y=y^x com yx0, certo? Afinal, depois que você encontrá-los, basta tomar a=y/x e a temos uma solução da sua equação. Parte deste problema já foi discutido aqui, disfarçado... Tinha um thread sobre x^x^x^x^x..., cujo artigo mais informativo é o do Gugu: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/msg00169.html Siga o thread todo se você não lembra. O que o Gugu disse (e que eu não sei se é fácil de provar) é que y=x^x^x^x... (definido de cima para baixo, como no artigo do Gugu) existe quando e^(-e) x e^(1/e); neste caso, x^y = y^x e y x... eu acho. Acredito que para x fora desse intervalo não há solução com y!=x... Acho que há um artigo numa das revistas da AMS que trata disso... e acho que há algo assim na RPM também... E eu ja dei esta referencia: eh um artigo do Wagner. (JP) Finalmente, acho que dá para mostrar a existência da solução para f(y) = x^y-y^x = 0 para um x fixo naquele intervalo usando um pouco de cálculo... talvez não para o intervalo do Gugu, mas para intervalos menores. Finalmente, a única solução inteira, acredito ser 2^4=4^2, se é isso que você quer. Argh, tantos achismos, mas eu tenho que ir embora para pegar minha carona... :) Abraço, Ralph Elon Santos Corrêa wrote: Olá pessoal da lista, gostaria de ver soluções para o sistema de equações: x^y = y^x e y = ax com a 0 e diferente de 1. Obs.: o símbolo " ^ " significa elevado ao expoente ... Antecipadamente agradeço as respostas, Elon.
Re: interessante
$@ *^$~#, isto eh eu recebi. -Mensagem original- De: Eduardo Wagner [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 21 de Março de 2000 21:56 Assunto: Re: interessante On Tue, 21 Mar 2000, José Fabrício Maia wrote: Colegas gostaria de saber como se mostra que raiz quadrada de 2 elevado a raiz quadrada de 2 é irracional. Aqui vai um problema relacionado que não é tão difícil (talvez até seja o problema que inspirou a questão do José, não sei...), a ser resolvido sem uso de nenhum teorema pesado: Problema: Prove que existem números irracionais a e b tais que a^b é racional. Solução curta (a ser completada): "Se a afirmativa do José Maia não for verdadeira $^(#^$%%CARRIER OUT e está provado. Por outro lado, se a afirmativa do José Maia for verdadeira... %$%Q%#%U$E A$Z$A^$R D%E# N$O###V^*$$O e então basta notar que #J%^US%^$T(^O*^ $AG^%O#$$@R##A#? ... e acabou." Abraço, Ralph EPA: voces tambem receberam a brilhante porem ininteligivel mensagem do Ralph?
Re: matemática no enem
Toda definicao eh feita em funcao de termos considerados previamente conhecidos. Por exemplo, se defino triangulo equilatero como aquele que tem os tres lados com mesmo comprimento, eh porque estou supondo que meu interlocutor sabe o que eh triangulo, o que eh lado, o que eh ter o mesmo comprimento, etc. Se ele nao sabe o que eh triangulo, definimos entao triangulo em termos de pontos, segmentos, etc. E assim por diante. Como esta cadeia de definicoes nao pode continuar indefinidamente, somos obrigados a admitir (em qualquer parte da Matematica, nao so na geometria) alguns conceitos que nao se definem em termos de outros mais conhecidos. Estes sao os chamados "conceitos primitivos" (nao tem nada a ver com "intuitivo"). A escolha de quais conceitos sao primitivos ou sao definidos depende de quem estah organizando a teoria. Mas no caso da Geometria, todos consideram ponto e reta como conceito primitivo (exceto em certas abordagens algebricas da Geometria). Voce dirah: Mas se ponto e reta nao sao definidos, como vamos saber o que sao, como vamos trabalhar com eles em Matematica? A resposta a isto estah nos axiomas que acompanham cada conceito primitivo (por exemplo: cada dois pontos estao contidos em uma unica reta). Os axiomas estao para os teoremas assim como os conceitos primitivos estao para as definicoes. So se pode usar os conceitos primitivos de acordo com o que estah nos axiomas. JP -Mensagem original- De: Marcos Eike Tinen dos Santos [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 8 de Março de 2000 01:41 Assunto: Re: matemática no enem Prezado JP. fico grato por responder a minha mensagem, porém não há possibilidades de vc enunciar a definição de ponto e reta? Pois, não tenho acesso a essas revistas. Agradeceria muito. Marcos Eike Tinen dos Santos
Re: raizes
Calcular a raiz n-esima de M eh o mesmo que resolver a equacao polinomial x^n=M. Voce pode usar, por exemplo, o metodo de Newton para equacoes polinomiais. Veja por exemplo o livro que ja indiquei aqui: Resolucao de Equacoes Algebricas, de J.P.Carneiro, editado pela Universidade Santa Ursula. Veja tambem o artigo na RPM 40, p.31. JP -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 5 de Março de 2000 18:06 Assunto: raizes Ola pessoal Alguem poderia me indicar um bom livro que ensinasse maneiras de se calcular raizes quadradas, cubicas, exatas e nao-exatas? Muito obrigado antecipadamente Abraços Marcelo __ Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com
Re: matemática no enem
Participo plenamente de suas apreensoes. Eh o velho movimento pendular da historia das ideias. Jose Paulo Carneiro -Mensagem original-De: Jos Fabrcio Maia [EMAIL PROTECTED]Para: discusso de problemas [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 6 de Maro de 2000 14:19Assunto: matemtica no enem Caros amigos da lista, no sei se o assunto adequado, mas no vejo prejuzo nenhum para a lista. Gostaria de ter a opinio de vocs. Vou tentar ser breve: O exame nacional prope situaes prticas, contextualizadas, exigindo do aluno, raciocnio e no simplesmente memorizao de frmulas. No vejo problema at a. No entanto muitas questes exibidas nas provas anteriores, embora bem boladas, no abrange toda a matemtica que se ensina em sala de aula. Continuando nesse ritmo, ento, existe a possibilidade de se excluir naturalmente determinados contedos do vestibular e consequentemente dos currculos dessa nova gerao. Ser que daqui a alguns anos esse conhecimento elaborado, adquirido atravs de grandes mestres, textos de livros e revistas no vo se tornar inadequados as novas propostas de ensino por no ser to prtico? Tal conhecimento no ficar mais elitizado ou mesmo esquecido? O conhecimento elaborado e o conhecimento cotidiano na minha opinio devem caminhar juntos. Mas, a partir do momento que se exclui uma porcentagem to alta de contedos matemticos, parece at que apenas uma pequena parte do que se ensina tem utilidade prtica. Todo conhecimento tem sua importncia em nosso crescimento. Mas do jeito que as coisas ocorrem, parece at que foi um desperdcio aprender tanto. [EMAIL PROTECTED] Grato!
Re: Entendendo à Aplicação dos números complexos na geometria
Indico o meu livro: Resolucao de Equacoes Algebricas, 1998, que pode ser comprado na Universidade Santa Ursula, predio VI, 12o andar. O primeiro capitulo eh dedicado aos numeros complexos, e a abordagem eh geometrica. Jose Paulo Carneiro -Mensagem original- De: Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @ [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 6 de Fevereiro de 2000 01:13 Assunto: Entendendo à Aplicação dos números complexos na geometria Oi, Quem poderia me explicar o uso desta teoria? Li o artigo no Eureka, entendi a parte que eles mostram as raízes complexas dispostas na circunferência tendo n lados. Porém, não entendi à aplicação nos exercícios. Os números complexos se não estou enganado pode ser usado como vetores, aguém poderia me explicar? Caso seja possível por favor uma explicação completa. Será que encontro aqui no Brasil totalmente ligado ao assunto? Outro Problema, Alguém conhece a função pi(x)? Quer me explicar? Tem um exercício, porém não entendi direito. O exercício pede para Provar que há infinitos número primos congruentes a 1 mod 4. Muito Obrigado! Marcos Eike Tinen dos Santos
Re: Fibonacci
Caro Eric: (Veja abaixo) -Mensagem original- De: Eric Campos [EMAIL PROTECTED] Para: Lista da OBM [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 24 de Dezembro de 1999 00:36 Assunto: Fibonacci O seguinte problema foi proposto por Jose Paulo Carneiro As duas sequencias: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... e 1, 3, 4, 7, 11, ... Sao ambas tais que cada termo eh a soma dos dois anteriores. Observacoes: a segunda sequencia eh chamada "sequencia de Lucas". Mostre que: dado um inteiro positivo arbitrario m, existe sempre algum termo da primeira sequencia que eh multiplo de m. Imaginei uma solucao assim: seja f(i) o i-esimo termo da sucessao de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., em que cada termo eh a soma dos dois anteriores. Seja m um inteiro generico. Considere a funcao g(n) = resto de f(n) quando dividido por m, com g(n) nao negativo. Eh claro que g eh uma sucessao, pois g esta definida no conjunto dos naturais. Como ha no maximo m distintos valores possiveis para g(n), ha no maximo m^2 distintos possiveis pares de inteiros consecutivos na sucessao g. Portanto existem inteiros positivos i,k para os quais (g(i),g(i+1)) = (g(i+k),g(i+k+1)), isto eh, existem dois pares de numeros de Fibonacci consecutivos que tem o mesmo resto (positivo) na divisao por m. Nesse caso como g(i) + g(i+1) = g(i+k) + g(i+k+1) temos em particular que g(i+2) = g(i+k+2), * Ateh aqui, eu estava concordando plenamente com voce. * e de modo mais geral g(n) = g(n + k) para cada n inteiro positivo. * Agora, este passo nao estah claro para mim. So sabiamos isto para n particulares, da forma i+2. Se fizermos "experiencias", com m=2,3,4,5,6,..., vamos observar que o par de restos que repete primeiro eh sempre o (1,1). Isto sugere o seguinte caminho que proponho: Seja i* o menor i para o qual ocorre a igualdade (g(i),g(i+1)) = (g(i+k),g(i+k+1)). Se i*1, entao, como g(i*+1)=g(i*)+g(i*-1) e g(i*+k+1)=g(i*+k)+g(i*+k-1), conclui-se que g(i*-1)=g(i*+1)-g(i*)=g(i*+k-1)=g(i*+k+1)-g(i*+k). Mas entao, o par (g(i*+k-1), g(i*+k)) ja repetiria o apr (g(i*-1), g(i*)), o que eh absurdo, pois contraria a definicao de i*. Logo, i*=1. Agora sim: temos: (g(1), g(2))=(1,1)=(g(k+1), g(k+2)) . Logo: g(k)=g(k+2)-g(k+1)=1-1=0, e portanto g(k) eh multiplo de m. Jose Paulo ** logo 1 = g(1) = g(1 + k) e 1 = g(2) = g(2 + k), donde g(k) = g(2 + k) - g(1 + k) = 0, isto eh, m divide f(k). Eric. A partir daquele ponto, sugiro o seguinte:
Re: taxa de importação
Ja comprei livros na Amazon mais de uma duzia de vezes, e nunca me cobraram taxa de importacao. Livros estao isentos, mas CDs nao. JP -Mensagem original-De: Antonio Nascimento Filho [EMAIL PROTECTED]Para: Lista de Matemtica [EMAIL PROTECTED]Data: Sbado, 18 de Dezembro de 1999 02:20Assunto: taxa de importao Bruno Leite Wrote: No h exemplares desse livro na USP nem na UNICAMP. Na Amazon.com tem oivro, mas meio caro(33 dlares x 1,90 + taxa de importao 60% etc) edeve demorar a chegar, se encomendado. Sei q no tem nada a ver com matemtica, mas como no tenho a quem perguntar, vai aqui mesmo.. Tenho ouvido falar dessa tal taxa de importao, e no fao idia de como ela se aplica. J vi gente reclamando q pagou isso em cd's, outros em livros, mas eu pedi um livro na Amazon a menos de um ms atrs (24 dlares com a taxa de remessa) e no me cobraram nada de taxa de importao! Ser que algum pode me explicar isso ou indicar um lugar onde se possa obter uma informao bem clara a respeito?? Abraos Antonio PS: Peo desculpas ao Nicolau por essa msg no matemtica, mas esse assunto tem me deixado meio confuso e creio q seja do interesse de muitos na lista.
