RE: [obm-l] ajuda
2)Dado um triângulo ABC de lados a, b e c e perímetro 2p, mostre que:
a=(p.sen(A/2))/cos(B/2).cos(C/2)
OBSERVAÇÃO:
Houve um pequeno erro de transcrição, pois o correto seria:
a=[p.sen(A/2)]/[cos(B/2).cos(C/2)]
Olá rafaelc,
Segue uma demonstração possível para este teorema.
DEMONSTRAÇÃO POSSÍVEL:
Aplicando a Leis dos Senos num triângulo ABC qualquer, podemos concluir que:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
Pelas propriedades das proporções, podemos escrever ainda que:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = (a + b + c)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
Como 2p = a + b + c, teremos:
a/sen(A) = (2p)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
Neste ponto, expressamos o lado a em função do perímetro e dos ângulos A,
B e C. Então, somente é necessário fazer transformações trigonométricas para
provar o teorema desejado.
Uma vez que:
sen(B) + sen(C) = 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2] (prostaférese)
Teremos:
a = [2p.sen(A)]/{sen(A) + 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = B + C = 180° - A
Logo: sen[(B + C)/2] = sen[(180° - A)/2] = sen(90° - A/2) = cos(A/2)
sen(A) = 2.sen(A/2).cos(A/2) (arco duplo)
Teremos:
a = [2p.2.sen(A/2).cos(A/2)]/{2.sen(A/2).cos(A/2) + 2.cos(A/2).cos[(B -
C)/2]}
Como 0 A 180° = 0 A/2 90° = cos(A/2) != 0, podemos simplificar o
numerador e o denominador da expressão por 2.cos(A/2):
a = [2p.sen(A/2)]/{sen(A/2) + cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = A = 180° - (B + C)
sen(A/2) = sen{[180° - (B + C)]/2} = sen[90° - (B + C)/2] = cos[(B + C)/2]
Teremos:
a = [2p.sen(A/2)]/{cos[(B + C)/2] + cos[(B - C)/2]}
a = [2p.sen(A/2)]/[cos(B/2 + C/2) + cos(B/2 - C/2)]
a = [2p.sen(A/2)]/{[cos(B/2).cos(C/2) - sen(B/2).sen(C/2)] +
[cos(B/2).cos(C/2) + sen(B/2).sen(C/2)]}
a = [2p.sen(A/2)]/[2.cos(B/2).cos(C/2)]
a = [p.sen(A/2)]/[cos(B/2).cos(C/2)] c.q.d.
Abraços,
Rogério Moraes de Carvalho.
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RE: [obm-l] ajuda
2)Dado um triângulo ABC de lados a, b e c e perímetro 2p, mostre que:
a=(p.sen(A/2))/cos(B/2).cos(C/2)
OBSERVAÇÃO:
Houve um pequeno erro de transcrição, pois o correto seria:
a=[p.sen(A/2)]/[cos(B/2).cos(C/2)]
Olá rafaelc,
Segue uma demonstração possível para este teorema.
DEMONSTRAÇÃO POSSÍVEL:
Aplicando a Leis dos Senos num triângulo ABC qualquer, podemos concluir que:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)
Pelas propriedades das proporções, podemos escrever ainda que:
a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = (a + b + c)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
Como 2p = a + b + c, teremos:
a/sen(A) = (2p)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
Neste ponto, expressamos o lado a em função do perímetro e dos ângulos A,
B e C. Então, somente é necessário fazer transformações trigonométricas para
provar o teorema desejado.
Uma vez que:
sen(B) + sen(C) = 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2] (prostaférese)
Teremos:
a = [2p.sen(A)]/{sen(A) + 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = B + C = 180° - A
Logo: sen[(B + C)/2] = sen[(180° - A)/2] = sen(90° - A/2) = cos(A/2)
sen(A) = 2.sen(A/2).cos(A/2) (arco duplo)
Teremos:
a = [2p.2.sen(A/2).cos(A/2)]/{2.sen(A/2).cos(A/2) + 2.cos(A/2).cos[(B -
C)/2]}
Como 0 A 180° = 0 A/2 90° = cos(A/2) != 0, podemos simplificar o
numerador e o denominador da expressão por 2.cos(A/2):
a = [2p.sen(A/2)]/{sen(A/2) + cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = A = 180° - (B + C)
sen(A/2) = sen{[180° - (B + C)]/2} = sen[90° - (B + C)/2] = cos[(B + C)/2]
Teremos:
a = [2p.sen(A/2)]/{cos[(B + C)/2] + cos[(B - C)/2]}
a = [2p.sen(A/2)]/[cos(B/2 + C/2) + cos(B/2 - C/2)]
a = [2p.sen(A/2)]/{[cos(B/2).cos(C/2) - sen(B/2).sen(C/2)] +
[cos(B/2).cos(C/2) + sen(B/2).sen(C/2)]}
a = [2p.sen(A/2)]/[2.cos(B/2).cos(C/2)]
a = [p.sen(A/2)]/[cos(B/2).cos(C/2)] c.q.d.
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Como 2p = a + b + c, teremos:
a/sen(A) = (2p)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
Neste ponto, expressamos o lado a em função do perímetro e dos ângulos A,
B e C. Então, somente é necessário fazer transformações trigonométricas para
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Uma vez que:
sen(B) + sen(C) = 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2] (prostaférese)
Teremos:
a = [2p.sen(A)]/{sen(A) + 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = B + C = 180° - A
Logo: sen[(B + C)/2] = sen[(180° - A)/2] = sen(90° - A/2) = cos(A/2)
sen(A) = 2.sen(A/2).cos(A/2) (arco duplo)
Teremos:
a = [2p.2.sen(A/2).cos(A/2)]/{2.sen(A/2).cos(A/2) + 2.cos(A/2).cos[(B -
C)/2]}
Como 0 A 180° = 0 A/2 90° = cos(A/2) != 0, podemos simplificar o
numerador e o denominador da expressão por 2.cos(A/2):
a = [2p.sen(A/2)]/{sen(A/2) + cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = A = 180° - (B + C)
sen(A/2) = sen{[180° - (B + C)]/2} = sen[90° - (B + C)/2] = cos[(B + C)/2]
Teremos:
a = [2p.sen(A/2)]/{cos[(B + C)/2] + cos[(B - C)/2]}
a = [2p.sen(A/2)]/[cos(B/2 + C/2) + cos(B/2 - C/2)]
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[cos(B/2).cos(C/2) + sen(B/2).sen(C/2)]}
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Rogério Moraes de Carvalho.
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Rogério Moraes de Carvalho
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a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = (a + b + c)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
Como 2p = a + b + c, teremos:
a/sen(A) = (2p)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
Neste ponto, expressamos o lado a em função do perímetro e dos ângulos A,
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Teremos:
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Uma vez que:
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C)/2]}
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Como 2p = a + b + c, teremos:
a/sen(A) = (2p)/[sen(A) + sen(B) + sen(C)]
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Teremos:
a = [2p.sen(A)]/{sen(A) + 2.sen[(B + C)/2].cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = B + C = 180° - A
Logo: sen[(B + C)/2] = sen[(180° - A)/2] = sen(90° - A/2) = cos(A/2)
sen(A) = 2.sen(A/2).cos(A/2) (arco duplo)
Teremos:
a = [2p.2.sen(A/2).cos(A/2)]/{2.sen(A/2).cos(A/2) + 2.cos(A/2).cos[(B -
C)/2]}
Como 0 A 180° = 0 A/2 90° = cos(A/2) != 0, podemos simplificar o
numerador e o denominador da expressão por 2.cos(A/2):
a = [2p.sen(A/2)]/{sen(A/2) + cos[(B - C)/2]}
Uma vez que:
A + B + C = 180° = A = 180° - (B + C)
sen(A/2) = sen{[180° - (B + C)]/2} = sen[90° - (B + C)/2] = cos[(B + C)/2]
Teremos:
a = [2p.sen(A/2)]/{cos[(B + C)/2] + cos[(B - C)/2]}
a = [2p.sen(A/2)]/[cos(B/2 + C/2) + cos(B/2 - C/2)]
a = [2p.sen(A/2)]/{[cos(B/2).cos(C/2) - sen(B/2).sen(C/2)] +
[cos(B/2).cos(C/2) + sen(B/2).sen(C/2)]}
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[obm-l] Teste
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RE: [obm-l] Logarítimos
NOTAÇÕES UTILIZADAS:
log_a(x): representa logaritmo de x na base a
raiz_n(x): raiz de índice n do número x (n inteiro positivo)
b) [ X^logy +Y^logx=200
[sqrt( Logx x Logy)^y= 1024
OBSERVAÇÃO:
A segunda equação foi transcrita de modo errado. O correto é:
raiz_x{[log(x).log(y)]^y} = 1024
RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
x^log(y) + y^log(x) = 200 (i)
raiz_x{[log(x).log(y)]^y} = 1024 (ii)
Condição de Existência:
x 0 e y 0 e x deve ser inteiro, pois representa um índice de raiz (iii)
Como conseqüência direta da definição podemos concluir que a^[log_a(x)] = x
(a 0 e a != 1 e x 0), logo:
x = 10^log(x) e y = 10^log(y), com x 0 e y 0. Substituindo estas
igualdades na equação (i):
[10^log(x)]^log(y) + [10^log(y)]^log(x) = 200
10^[log(x).log(y)] + 10^[log(y).log(x)] = 200
2.10^[log(x).log(y)] = 200
10^[log(x).log(y)] = 10^2
log(x).log(y) = 2 (iv)
Substituindo (iv) na (ii) :
raiz_x(2^y) = 1024
(2^y)^(1/x) = 1024
2^(y/x) = 2^10
y/x = 10
y = 10x (v)
Substituindo a (v) na (iv):
log(x).log(10x) = 2
log(x).[log(10) + log(x)] = 2
[log(x)]^2 + log(x) - 2 = 0
log(x) = -2 = x = 10^(-2) = x = 1/100 (não satisfaz a condição (iii))
ou
log(x) = 1 = x = 10 (vi)
Para x = 10 (vi), teremos:
(v) y = 10.10 = y = 100
A solução acima satisfaz a condição de existência (iii), logo:
S = {(10, 100)}
c) {X^logy+y^logx
{logsqrt(xy)=1
OBSERVAÇÃO:
A primeira equação foi transcrita apenas parcialmente. O correto é:
x^log(y) + y^log(x) = 20
RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
x^log(y) + y^log(x) = 20 (i)
log[sqr(xy)] = 1 (ii)
Condição de Existência:
x 0 e y 0 (iii)
Como conseqüência direta da definição podemos concluir que a^[log_a(x)] = x
(a 0 e a != 1 e x 0), logo:
x = 10^log(x) e y = 10^log(y), com x 0 e y 0. Substituindo estas
igualdades na equação (i):
[10^log(x)]^log(y) + [10^log(y)]^log(x) = 20
10^[log(x).log(y)] + 10^[log(y).log(x)] = 20
2.10^[log(x).log(y)] = 20
10^[log(x).log(y)] = 10^1
log(x).log(y) = 1 (iv)
Desenvolvendo a equação (ii), encontramos :
log[sqr(xy)] = 1 (ii)
(1/2)[log(xy)] = 1
log(x) + log(y) = 2 (v)
Por (iv) e (v), concluímos que log(x) e log(y) são raízes da equação em w:
w^2 - 2w + 1 = 0
(w - 1)^2 = 0
Duas raízes reais iguais: w_1 = 1 e w_2 = 1.
Logo, teremos:
log(x) = 1 = x = 10
log(y) = 1 = y = 10
A solução acima satisfaz a condição de existência (iii), logo:
S = {(10, 10)}
Atenciosamente,
Rogério Moraes de Carvalho
Consultor e Instrutor de Tecnologias da
Informação
[EMAIL PROTECTED]
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: segunda-feira, 14 de junho de 2004 00:59
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Logarítimos
Alguém poderia resolve-las para mim por favor?
grato desde já( Fundamentos da matemática Elementar 2, 8ª edição Pag 108
exercício 320 b e c)
dois sisteminhas
b) [ X^logy +Y^logx=200
[sqrt( Logx x Logy)^y= 1024
c) {X^logy+y^logx
{logsqrt(xy)=1
eu sei que fica mei difícil compreender, é porque o meu teclado tem poucos
sinais, eu disse a fonte da onde os tirei, mas qualquer dúvida que possa
surgir devido ao mau enunciado podem dizer que eu tento tirar. Abraços
Junior
Ps:(RESPOSTAS!!)
b) s={10,100}
c) s={10,10}
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RE: [obm-l] Não conseguir
2) Se R[n]= (1/2)(a^n + b^n) onde a = 3+sqr(2), b = 3sqr(2) e n =
0,1,2,3,4 então R[12345] é um inteiro. Seu algarismo das unidades é:
A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9
RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
Se S e P representam a soma e o produto de a e b, respectivamente, teremos:
S = a + b = 3 + 2sqr(2) + 3 - 2sqr(2) = 6 (i)
P = ab = (3 + 2sqr(2))(3 - 2sqr(2)) = 9 - 8 = 1 (ii)
Os termos da seqüência R[n] são definidos por uma fórmula em função da
posição n:
R[n] = (a^n + b^n)/2, com n pertencente a {0, 1, 2, 3, ...} (iii)
A fim de encontrar uma fórmula de recorrência para a seqüência, vamos
multiplicar ambos os membros da igualdade (iii) por S:
S.R[n] = S.(a^n + b^n)/2
S.R[n] = (a + b)(a^n + b^n)/2
S.R[n] = [a^(n + 1) + a.b^n + a^n.b + b^(n + 1)]/2
S.R[n] = [a^(n + 1) + b^(n + 1)]/2 + ab[a^(n - 1) + b^(n - 1)]/2
Pelas igualdades (ii) e (iii), obtemos:
S.R[n] = R[n + 1] + P.R[n - 1]
R[n + 1] = S.R[n] - P.R[n - 1], com n pertencente a {1, 2, 3, ...} (iv)
No caso particular desta seqüência, temos S = 6 (i) e P = 1 (ii), logo:
R[n + 1] = 6.R[n] - R[n - 1], com n pertencente a {1, 2, 3, ...} (v)
Aplicando a fórmula (iii) para calcular os dois primeiros termos da
seqüência, encontramos:
R[0] = (a^0 + b^0)/2 = (1 + 1)/2 = 1
R[1] = (a^1 + b^1)/2 = 6/2 = 3
A partir dos termos R[0] e R[1], nós podemos calcular os outros termos da
seqüência aplicando a fórmula de recorrência (v) obtida sucessivas vezes.
Observe que pela propriedade de fechamento da adição e da multiplicação dos
inteiros, se R[n] e R[n - 1] são inteiros, então R[n + 1] também será
inteiro. Portanto, uma vez que R[0] e R[1] são inteiros, então R[2] também
será inteiro. Como R[1] e R[2] são inteiros, então R[3] também será inteiro
e assim sucessivamente. Ou seja, todos os termos da seqüência R[n] serão
inteiros.
Porém, somente nos interessa encontrar uma lei de formação que permita
encontrar o algarismo das unidades de qualquer termo inteiro da seqüência.
Sendo assim, vamos considerar dois termos consecutivos R[m] e R[m + 1] da
seqüência, com m pertencente a {0, 1, 2, 3, ...}, terminados em 1 e 3,
respectivamente. Devemos aplicar a fórmula de recorrência (v) sucessivas
vezes até que os algarismos das unidades de dois termos consecutivos voltem
a ser 1 e 3. Sendo assim, teremos encontrado a periodicidade de repetição do
algarismo das unidades da seqüência. Então, podemos escrever:
R[m] = 10.k1 + 1, com k1 pertencente a Z
R[m + 1] = 10.k2 + 3, com k2 pertencente a Z
Aplicando a fórmula de recorrência (v) sucessivas vezes, teremos:
R[m + 2] = 6.R[m + 1] - R[m] = 6(10.k2 + 3) - (10.k1 + 1) = 60.k2 + 18 -
10.k1 - 1 = 10(6.k2 - k1 + 1) + 7 = 10.k3 + 7, com k3 pertencente a Z (k3 =
6.k2 - k1 + 1)
R[m + 3] = 6.R[m + 2] - R[m + 1] = 6(10.k3 + 7) - (10.k2 + 3) = 60.k3 + 42 -
10.k2 - 3 = 10(6.k3 - k2 + 3) + 9 = 10.k4 + 9, com k4 pertencente a Z (k4 =
6.k3 - k2 + 3)
R[m + 4] = 6.R[m + 3] - R[m + 2] = 6(10.k4 + 9) - (10.k3 + 7) = 60.k4 + 54 -
10.k3 - 7 = 10(6.k4 - k3 + 4) + 7 = 10.k5 + 7, com k5 pertencente a Z (k5 =
6.k4 - k3 + 4)
R[m + 5] = 6.R[m + 4] - R[m + 3] = 6(10.k5 + 7) - (10.k4 + 9) = 60.k5 + 42 -
10.k4 - 9 = 10(6.k5 - k4 + 3) + 3 = 10.k6 + 3, com k6 pertencente a Z (k6 =
6.k5 - k4 + 3)
R[m + 6] = 6.R[m + 5] - R[m + 4] = 6(10.k6 + 3) - (10.k5 + 7) = 60.k6 + 18 -
10.k5 - 7 = 10(6.k6 - k5 + 1) + 1 = 10.k7 + 1, com k7 pertencente a Z (k7 =
6.k6 - k5 + 1)
R[m + 7] = 6.R[m + 6] - R[m + 5] = 6(10.k7 + 1) - (10.k6 + 3) = 60.k7 + 6 -
10.k6 - 3 = 10(6.k7 - k6) + 3 = 10.k8 + 3, com k8 pertencente a Z (k8 =6.k7
- k6)
Observe que R[m + 6] = 10.k7 + 1 e R[m + 7] = 10.k8 + 3. Ou seja, R[m + 6] e
R[m + 7] têm os mesmos algarismos das unidades de R[m] e R[m + 1],
respectivamente. Ou seja, o processo é periódico, sendo que o algarismo das
unidades se repete de 6 em 6 termos. Portanto, para todo t pertencente a {0,
1, 2, 3, ...}
R[6t] tem algarismo das unidades igual a 1 (vi)
R[6t + 1] tem algarismo das unidades igual a 3 (vii)
R[6t + 2] tem algarismo das unidades igual a 7 (viii)
R[6t + 3] tem algarismo das unidades igual a 9 (ix)
R[6t + 4] tem algarismo das unidades igual a 7 (x)
R[6t + 5] tem algarismo das unidades igual a 3 (xi)
Para o caso particular de R[12345], vamos calcular o resto da divisão
euclidiana de 12345 por 6:
12345 = 6.2057 + 3
Corresponde ao caso (ix): R[6.2057 + 3] tem algarismo das unidades igual a
9.
RESPOSTA: Alternativa E
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