Com auxílio do que foi discutido anteriormente acredito ter uma solução
Tome os ângulos ABC=y e BCA=z
Após marcar alguns ângulos, temos:
Teorema da bicetriz interna genaralizado nos triângulos AHC e AHB,
respectivamente:
EC/EA=HC.cosz/AH.senz
DA/DB=AH.seny/HB.cosy
Menelaus em ABC com P, D e E colineares
PB/PC*EC/EA*DA/DB=1
Substituindo as relações acima obtemos:
PB/PC=BH/HC*cosy/seny*senz/cosz
Assim o mesmo pode ser feito para achar QC/QA e RA/RB
Os fatores trigonométricos se cancelarão e o teorema de Ceva para os pés
das alturas termina de resolver o problema
Em qui, 19 de jul de 2018 às 13:29, Vanderlei Nemitz
escreveu:
> Obrigado, Claudio!
> Vou usar suas valiosas dicas para tentar resolver o problema!
>
> Em qua, 18 de jul de 2018 11:51, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Mais uma observação...
>>
>> As três razões que entram na aplicação final do teorema de Menelaus
>> recíproco ( AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1 ) devem ser expressas em termos de
>> comprimentos de segmentos do triângulo ABC que, de alguma forma, terão que
>> se cancelar (pro produto ser igual a 1).
>>
>> Assim, por exemplo, a expressão final de BP/PC não poderá ser em termos
>> de DH e EH, pois estes dois segmentos só são relevantes em relação ao lado
>> BC e à altura AH, mas não em relação ao lado AC e a correspondente altura
>> BK (K em AC), e nem ao lado AB e altura CJ (J em AB).
>>
>> No entanto, o teorema de Ceva aplicado às alturas (que são concorrentes),
>> implica que:
>> AJ/JB * BH/HC * CK*KA = 1.
>>
>> Isso significa que talvez devêssemos procurar expressar a razão BP/PC em
>> termos de BH e HC.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> 2018-07-18 10:59 GMT-03:00 Claudio Buffara :
>>
>>> A figura completa é chatinha de fazer e fica muito "entulhada".
>>>
>>> Mas também acho que Menelaus é o caminho.
>>>
>>> Nesse tipo de problema, eu diria que primeiro você precisa aplicar o
>>> teorema de Menelaus direto (pontos colineares ==> produto das razões = -1)
>>> a fim de achar as razões adequadas a partir de pontos que são sabidamente
>>> colineares e, no final, pra provar que P, Q e R são colineares, você aplica
>>> o recíproco (produto das razões = -1 ==> pontos colineares).
>>>
>>> Assim, começando pelo final, eu diria que o objetivo é provar que: AR/RB
>>> * BP/PC * CQ/QA = -1 (ou, como não me parece que a orientação dos segmentos
>>> é relevante nesse problema, basta trabalhar com os comprimentos sem sinal:
>>> AR/RB
>>> * BP/PC * CQ/QA = 1)
>>>
>>> Como o enunciado fala em alturas e perpendiculares, vão aparecer vários
>>> triângulos retângulos.
>>> Isso significa que talvez seja necessário usar Pitágoras e também
>>> semelhança (já que, por exemplo, os triângulos AHB, HDB e ADH são
>>> semelhantes - com pontos correspondentes e, portanto, segmentos homólogos,
>>> escritos na mesma ordem em cada um dos triângulos: sempre um bom hábito que
>>> evita erros bobos).
>>>
>>> Por exemplo, os pontos mencionados no enunciado mostram o triângulo ABC
>>> cortado pela reta PDE.
>>> Menelaus aplicado a este triângulo e esta reta implica que: AD/DB *
>>> BP/PC * CE/EA = 1 ==> BP/PC = DB/AD * EA/CE.
>>>
>>> Agora, DB e AD são lados dos triângulos semelhantes que eu mencionei
>>> acima. Idem para EA e CE (neste caso, os triângulos semelhantes são AHC,
>>> AEH e HEC).
>>>
>>> A semelhança de HDB e ADH implica que: DB/DH = DH/AD.
>>> A semelhança de AEH e HEC implica que: EA/EH = EH/CE.
>>> Infelizmente, isso resulta no produto DB*AD ao invés da razão AD/DB
>>> (idem para EA*CE).
>>>
>>> E neste ponto eu empaquei...
>>>
>>> Mas acho que, como ainda não foram usados os triângulos AHB (semelhante
>>> a HDB e ADH) e AHC (semelhante a AEH e HEC), que têm o lado AH comum, de
>>> alguma forma (talvez usando Pitágoras) estes podem ajudar a encontrar
>>> expressões úteis para as razões DB/AD e EA/CE, o que, por sua vez, nos
>>> daria a razão BP/PC, a ser usada na aplicação final do recíproco do teorema
>>> de Menelaus.
>>>
>>> Ou então, é claro, este caminho pode não levar a nada e será preciso
>>> recomeçar do zero...matemática é assim mesmo...
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> 2018-07-17 22:22 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz :
>>>
A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o teorema
de Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia fazer?
Obrigado!
Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura
construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o
ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos
vértices B e C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados
AC e AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares.
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