Prezado Paulo Santa Rita,
Primeiramente obrigado por sua detalhada e clara explicação do
problema, apesar de também ter chegado a esta conclusão, de que os casos
favoráveis correspondem justamente ao coeficiente de x^(502*2007). Fato este
que me levou a consultar várias fontes, inclusive Introdução à análise
combinatória, do mesmo autor do compêndio ao qual você se refere, na busca de
assuntos que ajudassem como: funções geradoras e partições de um inteiro.
Estudei, inclusive um outro problema correlato:
Determinar o coeficiente de x^k, 0=k=n, no desenvovimento de [1 +
ax].[1 + (a^2)x]...[1 + (a^n)x].
Em verdade, o problema se resume, agora, a determinar uma maneira
explícita (ou elementar) de calcular tal coeficiente, por isso esperava
(espero), talvez outras abordagens para aquele problema, já que o mesmo é um
problema olímpico, que me foi enviado por um amigo do Chile. Formulei algumas
outras conjecturas acerca do problema, como por exemplo que aquele coeficiente
é uma potência de 2, estou trabalhando na prova.
Enfim, mais uma vez agradeço a clara e precisa mensagem e parabenizo
a todos pelas excelentes e frutíferas discussões desta lista, da qual sou um
leitor assíduo.
Fernando Córes
Ola Fernando e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Responder esta pergunta exige a solucao de um problema combinatorio
previo, qual seja, o de determinar de quantas maneiras distintas
podemos distribuir os elementos do conjunto A={ 1, 2, 3,..., 2007 } em
dois outros conjuntos DISJUNTOS A e B de maneira que a soma dos
elementos de B seja igual a soma dos elementos de C. Vou reformular
este enunciado.
Seja A = { 1, 2, 3, ..., 2007 }. Queremos saber de quantas maneiras
distintas podemos exprimir A na forma A = B uniao C, onde :
1) B intersecao C = Conjunto Vazio
2) Soma dos elementos de B = Soma dos elementos de C
Como 1 + 2 + 3 + ... + 2007 = (2007*(1+2007))/2 = 2015028 e claro que
a soma dos elementos de B ( e, claro, de C também ) deverá ser 2015028
/ 2 = 1007514. E e igualmente claro que para um determinando conjunto
B com elementos oriundos de A e cuja soma destes elementos seja
1007514, o correspondente conjunto C que atende as exigencias 1) e 2)
acima fica automaticamente determinado, C = A - B. Assim, precisamos
nos preocupar apenas em determinar
( PRIMEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
( ENUNCIADO1 ) Quantos conjuntos B podemos construir tais que os seus
elementos sejam oriundos de A e que a soma destes elementos seja
1007514.
Seja entao B = {b1, b2, b3, ..., bn } um destes conjuntos. Como
1007514 = b1+b2+...+bn e bi promana de A, vale dizer, bi e inteiro
positivo, segue que b1+b2+...+bn e uma PARTICAO do numero 1007514.
Ora, uma particao de um inteiro positivo N e uma soma de inteiros
positivos, i1 + i2 + ... + in, distintos ou não, tais que N = i1 + i2
+ ... + in. Logo, os conjuntos B que estamos buscando são em verdade
todas as particoes de 1007514 que atendam as seguintes restricoes :
1) As parcelas devem ser duas a duas distintas
2) Nenhuma parcela pode ser superior a 2007
Esta ultima consideracao deixa claro que o que buscamos pode ser
expresso assim :
( SEGUNDA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
( ENUNCIADO2 ) Quantas particoes de 1007514 podemos construir tais que
as parcelas de cada particao sejam duas a duas distintas e nenhuma
delas seja superior a 2007.
Vamos nos fixar aqui. A principio, definimos a sequencia de polinomios :
P0 = 1
Pi = ( 1 + (X^i) )*Pi-1, i = 1, 2, 3, ...
Analisando a sequencia acima, e facil ver que
1) Todo Pi tem termo independente e coeficiente lider iguais a 1
2) Todo Pi e um polinomio completo cujo grau e (i(1+i))/2
Um fenomeno notavel - facilmente observavel e simples de explicar - e
que, para todo n, um monomio com parte literal X^n surgira pela
primeira vez na sequencia de polinomios no polinomio Pi tal que i
seja o menor inteiro positivo tal que (i*(1+i))/2 = n. Isso
claramente decorre do fato de Pi ser completo e de grau (i*(1+i)) / 2
. E igualmente facil de ver que, após surgir, o coeficiente de X^n
cresce ate atingir o seu valor maximo no polinomio Pn.
Os coeficientes de X^n nos polinomios Pi onde ele aparece fornece
informacoes importantes sobre as particoes de n em parcelas duas a
duas distintas ... com efeito, dado que Pi = (1+ X )*(1 + (X^2) )*(1 +
(X^3) )*...*(1+ (X^i) ), ao efetuar as multiplicacoes indicadas, um
produto de ate i monomios da forma X^e, 1 = e = i, vai contribuir
para a formacao final do coeficiente de X^n se a soma dos seus
expoentes for n, vale dizer, o coeficiente de X^n em Pi, i = n, e
igual ao numero de particoes de n em parcelas duas a duas distintas,
todas menores que i+1. Por esta razao, o que estamos buscando pode ser
expresso assim :
( TERCEIRA REFORMULACAO DO PROBLEMA )
( ENUNCIADO3 ) Qual e o coeficiente de X^1007514 em P2007 ?
Assim, fica claro a ligacao deste problema com a Teoria das
