[obm-l] ENUNCIADO ORIGINAL!
Oi, pessoal! Já deu para perceber que tenho o péssimo hábito de modificar o enunciado de alguns problemas com o objetivo de simplificar o texto. Eis abaixo o verdadeiro enunciado da pegadinha dos sapatos de autoria de Sternberg. Num hotel, os sapatos a serem engraxados são colocados do lado de fora da porta. A camareira que realiza este trabalho tem que responder à pergunta sobre quantos sapatos há a limpar. Então diz: Se reunirmos os sapatos em pares, combinam ou um só par ou todos os pares. Quantos são os sapatos? Outra situação interessante é a seguinte: Na divisa de dois países existe uma ponte. Para atravessá-la a pé são necessários 30 minutos. Porém, para impedir a travessia, um guarda fiscaliza a ponte de 20 em 20 minutos. Caso o guarda observe alguém atravessando, obriga a pessoa a voltar. Mesmo assim uma pessoa conseguiu atravessar sem que o guarda percebesse. Como foi? Vale salientar que o desconto para idosos na entrada de cinema, não é um ato de generosidade, mas antes faz parte de uma estratégia de preços estabelecida para aumentar o lucro. Comparados a outros cidadãos, os idosos geralmente têm mais disposição a pagar menos por uma entrada no cinema. Dessa forma, um cinema divide seus consumidores em dois grupos - idosos e outros - e oferece um desconto aos idosos. Essa discriminação de preços em favor dos idosos aumenta o lucro do cinema. Diferentemente do bilhete de entrada, a pipoca pode, facilmente, ser transferida de um consumidor para outro. Se os idosos comprassem a pipoca pela metade do preço regular, muitos não-idosos as comprariam dos idosos, e o cinema venderia uma quantidade bem menor de pipoca pelo preço regular. Assim, a discriminação de preços não seria lucrativa. Quanto ao tal Spinors rastreei no google e me deparei com cálculos avançados de causar arrepios em Weyl, Dirac, etc.. Coitada da pobre modelo! Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PROBLEMAS DE DECISÃO!
Um dos primeiros problemas de decisão que foram formulados foi o décimo problema de Hilbert, o décimo problema de uma lista que David Hilbert propôs ao Congresso Internacional de Matemáticos em 1900. O problema consiste em determinar se existe um algoritmo para decidir se qualquer polinômio P(X1, X2,...,XN) = 0 com coeficientes inteiros tem ou não soluções inteiras. Quando este problema foi proposto e por algum tempo depois, o consenso geral era que certamente existia um algoritmo para este fim, e que o fato de ninguém ainda o ter descoberto só indicava que ele devia ser difícil. Nos meados da década de 30, resultados como o do problema da parada para máquinas de Turing começaram a pôr em dúvidas este palpite. Só nos anos 70, no entanto, foi que o problema foi finalmente demonstrado como insolúvel. O problema da parada é determinar se existe um algoritmo para decidir, dada quaisquer máquina de Turing T e cadeia ALFA, se T, ao ser iniciada em uma fita contendo ALFA, em algum momento, pára sua execução. NOTA: Turing demonstou a indecibilidade do problema da parada no fim da década de 30. Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] AMOSTRAGEM!
Ok! Chicão e demais colegas! Com relação ao problema das duas amostras, muitos participantes relatam a primeira amostragem como mais convincente, por causa da grande preponderância das pedras vermelhas sobre as verdes. Quais são as reais diferenças com que cada amostragem reflete precisamente a cor predominante na urna? As diferenças são de 4 para 1 na primeira. Mas as chances de que a segunda seja mais precisa são muito maiores: 16 para 1. Suponhamos que determinamos a estatura média de uma amostra de 50 estudantes, escolhidos ao acaso, de uma turma de 500 e que tenhamos calculado o erro provável desta média. Suponhamos, também, que calculamos a estatura média dos 50 rapazes mais altos da turma, e seu erro provável. Qual dos erros prováveis é o menor? Pode explicar a razão? Este assunto sobre amostragem me faz lembrar o excelente artigo sobre pesquisa eleitoral do saudoso prof. Flávio Wagner Rodrigues (IN MEMORIAM) no tocante à proporcionalidade entre o tamanho da amostra e a população (RPM-45). Vale salientar que perdi um grande amigo postal, apesar dos incômodos que lhe causei com minhas pegadinhas inconvenientes, aliás, toda a comunidade matemática ficou negativa após sua partida. Eternas saudades e até algum dia, com certeza! Agora, quanto às pegadinhas cunhadas por Sternberg, vocês estão indo bem, pois já conseguiram acertar as duas primeiras... Divirtam-se! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PENSANDO COMO UM ECONOMISTA!
O departamento de produção da National Cabinet Corporation emprega 20 trabalhadores não-especializados, 45 semi-especializados e 60 trabalhadores altamente especializados. Uma análise cuidadosa da produtividade dos três tipos de trabalhadores indica que o produto marginal do trabalhador não-especializado é de 10 unidades por dia de trabalho, o produto marginal do trabalhador semi-especializado é de 20 unidades por dia de trabalho e o produto marginal do trabalhador especializado é de 50 unidades por dia de trabalho. As taxas de salário pagas para cada um dos três tipos de trabalhadores resultam em um custo de $20 por dia para o trabalhador não-especializado, $30 por dia para o trabalhador semi-especializado, e $50 por dia para o trabalhador especializado. A produção encontra-se atualmente no nível desejado pela empresa. Você sugeriria uma mudança na combinação de tipos de trabalho utilizados pelo departamento de produção da empresa? Por que? Afinal! O desconto para idosos é um ato de generosidade ou visa a maximização de lucros? Se o desconto para idosos é válido para a entrada de cinema, então por que ele não vale para a pipoca? Um abraço à todos! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ÁLGEBRAS DE BOOLE!
Em 1938, o matemático americano Claude Shannon percebeu o paralelo entre a lógica proposicional e a lógica de circuitos, e comprendeu que álgebras de Boole poderiam ter um papel importante na sistematização desse novo ramo da eletrônica. De acordo com o teorema sobre álgebras de Boole, qualquer álgebra de Boole finita tem que ter 2^m elementos para algum m. Prove o resultado mais fraco de que nenhuma álgebra de Boole pode ter um número ímpar de elementos. Você é o administrador de uma rede que, atuando em uma região extensa, serve os diversos escritórios de sua companhia espalhados pelo país. As mensagens viajam através da rede roteadas de ponto a ponto até chegarem aos seus destinos. Cada nó na rede, portanto, funciona como uma estação distribuidora, recebendo e enviando mensagens para outros nós de acordo com um roteiro de distribuição mantido em cada nó. Algumas conexões na rede têm tráfego intenso, enquanto outras são menos usadas. A intensidade do tráfego pode variar dependendo da hora do dia; além disso, nós novos podem ser gerados e outros nós podem ser desativados. Portanto, você precisa atualizar periódicamente a informação contida em cada nó, de modo que ele possa transmitir mensagens ao longo do caminho mais eficiente (isto é, o que tem tráfego menos intenso). Como calcular o roteiro de distribuição para cada nó? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE!
O PCV é um dos mais tradicionais e conhecidos problemas de programação matemática e lidam em sua maior parte com passeios ou tours sobre pontos de demanda ou oferta. Dentre os tipos de passeios um dos mais importantes é o denominado hamiltoniano. Seu nome é devido a Willian Rowan Hamilton que, em 1857, propôs um jogo que denominou Around the World. O jogo era feito sobre um dodecaedro em que cada vértice estava associado a uma cidade importante da época. O desafio consistia em encontrar uma rota através dos vértices do dodecaedro que iniciasse e terminasse em uma mesma cidade sem nunca repetir uma visita. Uma solução do jogo de Hamilton, em sua homenagem, passou a se denominar um cliclo hamiltoniano. Hamilton não foi o primeiro a propor esse problema, mas seu jogo o divulgou. Modernamente, a primeira menção conhecida do problema é devida a Hassler Whitney em 1934 em um trabalho na Princeton University. A literatura que aborda a solução do PCV nas suas diversas versões é uma das mais ricas dentro da pesquisa operacional. Prove que sempre existe um circuito hamiltoniano em um grafo conexo onde todos os nós têm grau 2. Um abraço à todos! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] LIMITAÇÕES COGNITIVAS!
Esses problemas cunhados por Sternberg, são excepcionalmente simples, mas muitas pessoas não conseguem solucioná-los. Por que tantas pessoas erram na solução desses problemas tão pueris? Quinze por cento das pessoas em Topeka têm números de telefone que não constam na lista telefônica. Você seleciona 200 nomes aleatoriamente da lista. Quantas dessas pessoas não têm seus nomes listados? Na família Thompson há cinco irmãos, e cada irmão tem uma irmã. Se contarmos a Sra. Thompson, quantas mulheres há na família? Um nômade morou sucessivamente em três cidades diferentes e em cada uma delas passou três anos mais que em cada uma das restantes; Qual o tempo total de morada? Quantos sapatos tenho ao juntarmos aos pares, combinando ou um só par ou todos os pares de sapatos? A propósito! Uma meia, meia feita. Outra meia por fazer. Quantas meias vem a ser? Divirtam-se! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] A LEI DOS PEQUENOS NÚMEROS!
Oi, Pessoal! Visualize uma pequena urna cheia de uma mistura de pedras verdes e vermelhas. Você sabe que 2/3 delas são de uma cor e 1/3 da outra, mas não sabe se o vermelho ou o verde predomina. Uma pessoa com os olhos vendados vem até a urna e apanha um punhado de pedras, sendo 3 vermelhas e 1 verde. Elas são devolvidas à urna e uma segunda pessoa retira 14 pedras vermelhas e 10 verdes. As duas amostras sugerem que as vermelhas estão em número maior do que as verdes na urna. Mas, qual das amostras fornece uma evidência melhor? A regressão à média, fornece a base filosófica de muitos sistemas de tomada de decisões. E por boa razão. Poucas são as ocasiões na vida em que os grandes são passíveis de se tornar infinitamente grandes ou os pequenos, de se tornar infinitamente pequenos. As árvores nunca chegam ao Céu. A propósito, por que a variância é uma melhor medida para a variabilidade do que a faixa de dispersão? A propósito, quais são os três últimos dígitos de 7^? (ITA-1972) Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: DESVENDANDO O ENIGMA!
- Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Mon, 27 Dec 2004 08:07:29 -0300 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: DESVENDANDO O ENIGMA! Para: [EMAIL PROTECTED] O inútil enigma do colar foi confeccionado nas oficinas do clube de matemática da UFC devido à fusão dos problemas abaixo: Comprei um colar por $10 e vendi logo em seguida por $20. Comprei de volta por $30 e vendi novamente por $40. Qual foi o meu lucro? Resolução: Para comprá-lo de volta por $30, precisava ter inicialmente no bolso $20. Como iniciei com $20 e terminei com $40, meu lucro foi de $20 Comprei um colar por $80 pagando com um cheque de $100. O joalheiro troca o cheque com o comerciante ao lado para em seguida me liberar. Mais tarde o cheque é devolvido e é preciso ressarcir o comerciante. Qual o prejuízo do joalheiro se ele pagou originalmente, $50 pelo colar? Resolução: Como levei o colar de $50 mais $20 em dinheiro, o prejuízo total do joalheiro foi $70.. Até aqui, tudo bem, nenhuma dúvida! Mas, inexplicavelmente a polêmica se dá após a seguinte fusão: Após vender um colar por $20 resolvemos desfazer o negócio por $30 já que consegui venda por $40, apesar de pagamento em cheque com direito à troco de $60. Troquei o cheque com o comerciante ao lado liberando o cliente que, em seguida retorna e realiza a seguinte proposta: como já paguei $40 vou devolver o colar e levar o de $80. Mais tarde o cheque é devolvido e preciso ressarcir o comerciante. Afinal, qual o meu prejuízo total, se paguei originalmente $10 pelo colar vendido inicialmente por $20 e desembolsei valores iguais para aquisição dos respectivos colares expostos à venda por $40 e $80? Aguardo ansioso o seu Tiro de Misericórdia. Muito grato pela atenção! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] FALSIFICAÇÃO DA SORTE!
Olá! Chicão e demais colegas! Se você acha que aquela moeda usada pelo juiz está prejudicando seu time, como é possível se proteger contra a falsificação da sorte? Imaginemos que o juiz tenha uma dessas moedas e que a chance de resultar coroa seja muito maior que a chance de resultar cara, digamos 70% contra 30%. Quais os meios para nos proteger de uma moeda viciada? NOTA: Esse modo bem-bolado de driblar uma moeda viciada é do matemático nascido na Hungria Johann von Neumann, (1903-1957), criador da teoria dos jogos. Vocês sabiam...que quando um elevador desce, um inseto que está dentro dele não bate no teto pelo mesmo motivo que nos mantém com os pés no chão. Para que a mosca subisse e grudasse no teto, seria preciso que uma força a empurrasse para lá. Esse impulso até que acontece, quando o elevador começa a descer, mas é irrisório. É o que faz a gente sentir aquele friozinho na barriga. O fato de o bicho estar voando não muda nada. Ele sofre exatamente a mesma pressão que atua sobre quem o acompanha na viagem e seu peso também o puxa para baixo, freando a subida. Fantástico, não! Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] MAIS BADALADAS!
Ok! Rogério e demais colegas! Tem razão, pois o estudo de áreas e volumes ajuda a explicar situações do dia-a-dia, como, por exemplo, porque um bebê sente mais frio que um adulto. Para entender esse fato, pense em dois cubos de ferro maciço, um de aresta 3cm e outro de aresta 6cm, ambos à mesma temperatura de 36°C. Colocando-os em um ambiente de temperatura mais baixa, o cubo menor perde calor mais rapidamente que o maior. Na linguagem do cotidiano, dizemos que o menor esfria mais rapidamente que o maior. Isso ocorre porque a razão da área total para o volume do cubo pequeno, 6 * 3^2/3^3 = 2, é maior que a razão da área total para o volume do cubo grande, 6 * 6^2/6^3 = 1, ou seja, a superficie de contato com o ambiente é relativamente maior no cubo pequeno. O mesmo acontece com o bebê e um adulto: a razão da área para o volume do corpo de um adulto; por isso, a criança tem maior dificuldade em manter o calor de seu corpo e, portanto, sente mais frio. Curioso, não! Mas, vamos adiante. No exato momento em que entra em casa, à noite, Angela ouve uma única badalada do relógio. Não há energia elétrica, tudo está às escuras. Daí a um certo tempo, Angela ouve outra badalada. Decorre um intervalo igual, até que houve a terceira. Após o mesmo intervalo, sempre no escuro, ouve a quarta. Desconfia que seu relógio não está funcionando bem. Ao sair, antes de bater a porta de sua própria casa, ainda ouve lá dentro a quinta badalada do relógio. Na verdade, que horas são? Turma! já que estamos em contagem regressiva, nada melhor que uma boa champanhe para brindarmos a virada do ano. Desde já, boas festas e feliz ano novo! Dois amigos estavam prestes a dividir uma garrafa de champanhe, quando chegou um terceiro amigo. Como devem proceder para obter uma divisão irmamente justa? NOTA: Vale salientar que nesta divisão não temos a participação (ajuda) de uma quarta pessoa como ocorreu no problema da herança. Divirtam-se! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] MAIS =?iso-8859-1?b?QURJVklOSEHH1UVTIQ==?=
Ok! Chicão e demais colegas! Alunos gostam quando exploramos brincadeiras matemáticas ou exercícios curiosos. Vejam outras que despertam grande interesse: Trata-se de fazer uma adição com 5 parcelas: o aluno escolhe a 1ª e eu imediatamente escrevo o resultado num papel, dobro e peço para que ele guarde o papel no bolso. Em seguida, o aluno escolhe a 2ª parcela, eu a 3ª, o aluno a 4ª, eu, a 5ª - e aí é só conferir: a soma é igual ao número que está escrito no papel guardado no bolso do aluno (ou de algum colega). Um suposto mágico faz uma brincadeira com uma caixa de fósforos muita curiosa. Ele pega uma caixa, dessas comuns, e conta quantos fósforos há - 40, digamos. Dá a caixa a alguém e pede que este retire, às escondidas, um certo número de palitos; em seguida, que some os algarismos deste número e reponha esta quantidade de palitos. (Por exemplo, retira 25 palitos e repõe 2 + 5 = 7 palitos). Aí, vem o surpreendente: pega a caixa, a balança ao lado do ouvido, faz uma cena e vaticina: Há 22 palitos na caixa! Qual o segredo, se ele não viu nada, não teve nenhuma informação e, apenas pelo som dos palitos dentro da caixa, descobriu a quantidade deles? Divirtam-se!! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: Re: DÚVIDA!
- Mensagem encaminhada de Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] - Data: Tue, 7 Dec 2004 23:20:38 -0200 De: Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: DÚVIDA! Para: [EMAIL PROTECTED] Detalhe: se ele não tiver total controle sobre os seus custos, especialmente os custos de transação, ele pode quebrar; aliás, muitos quebraram por causa disso! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 07, 2004 10:08 PM Subject: Enc: DÚVIDA! - Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Mon, 6 Dec 2004 21:16:46 -0300 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: DÚVIDA! Para: [EMAIL PROTECTED] Vocês provavelmente já ouviram algum anúncio como este: Se você comprar um eletrodoméstico conosco e encontrá-lo em outro lugar por um preço mais baixo, nós cobriremos a diferença Afinal, por que essa política de devolução da diferença leva a preços altos? Será que é pelo simples fato de eliminar a possibilidade de os concorrentes cobrarem preços mais baixos? Muito grato pela atenção de resposta! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: Re: DÚVIDA!
- Mensagem encaminhada de Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] - Data: Tue, 7 Dec 2004 23:19:38 -0200 De: Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: DÚVIDA! Para: [EMAIL PROTECTED] Mais especificamente é para eliminar competidores. Essa é a estratégia dos líderes de mercado, que tem poder de barganha na compra e na contratação de fatores de produção! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 07, 2004 10:08 PM Subject: Enc: DÚVIDA! - Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Mon, 6 Dec 2004 21:16:46 -0300 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: DÚVIDA! Para: [EMAIL PROTECTED] Vocês provavelmente já ouviram algum anúncio como este: Se você comprar um eletrodoméstico conosco e encontrá-lo em outro lugar por um preço mais baixo, nós cobriremos a diferença Afinal, por que essa política de devolução da diferença leva a preços altos? Será que é pelo simples fato de eliminar a possibilidade de os concorrentes cobrarem preços mais baixos? Muito grato pela atenção de resposta! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: Re: Enc: Re: DÚVIDA!
- Mensagem encaminhada de Alexandre Sartoris [EMAIL PROTECTED] - Data: Thu, 09 Dec 2004 21:59:00 -0200 De: Alexandre Sartoris [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Alexandre Sartoris [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: Enc: Re: DÚVIDA! Para: [EMAIL PROTECTED] Mas os custos de transação, neste caso, correm po conta do cliente, não do comerciante/produtor. Alexandre [EMAIL PROTECTED] wrote: - Mensagem encaminhada de Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] - Data: Tue, 7 Dec 2004 23:20:38 -0200 De: Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: DÚVIDA! Para: [EMAIL PROTECTED] Detalhe: se ele não tiver total controle sobre os seus custos, especialmente os custos de transação, ele pode quebrar; aliás, muitos quebraram por causa disso! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 07, 2004 10:08 PM Subject: Enc: DÚVIDA! - Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Mon, 6 Dec 2004 21:16:46 -0300 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: DÚVIDA! Para: [EMAIL PROTECTED] Vocês provavelmente já ouviram algum anúncio como este: Se você comprar um eletrodoméstico conosco e encontrá-lo em outro lugar por um preço mais baixo, nós cobriremos a diferença Afinal, por que essa política de devolução da diferença leva a preços altos? Será que é pelo simples fato de eliminar a possibilidade de os concorrentes cobrarem preços mais baixos? Muito grato pela atenção de resposta! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PENSANDO COMO UM MATEMÁTICO!
Caro Valadares e demais colegas! O raciocínio econômico é algo sutil, pois se as mulheres não estão dispostas a pagar mais que os homens pela entrada em bares (ou, em outras palavras, se elas têm uma demanda mais elástica), a discriminação de preços pode aumentar os lucros do bar. A política de descontos pode funcionar bem aqui porque não é possível revender ingressos femeninos para homens. Mas, deixando a profundidade de lado, vamos voltar à nossa bela matemática. Ao partilhar um tablete de chocolate que estava dividido em quadradinhos, um indivíduo comeu todos os quadradinhos da borda e o outro comeu todos os quadradinhos restantes. Sabendo que ambos comeram o mesmo número de quadradinhos, quantos quadradinhos podem ter os lados deste tipo de tablete? Em qual das situações o tráfego escoaria mais rápido: a 80 km/h com a distância entre os veículos de 50 metros ou a 50 km/h sendo a distância entre os veículos de 25 metros? A erva cresce em todo prado com igual rapidez e espessura. Dá para alimentar 70 vacas em 24 dias e 30 vacas em 60 dias. Quantas vacas comeriam toda a erva em 96 dias? As promoções do tipo leve 3 pague 2, comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de: Afinal! O valor de 1 dólar é reduzido a quanto numa inflação de 5%? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DESATANDO OS NÓS!
Olá, pessoal! Algumas vezes uma observação astuta pode tomar o lugar de uma demonstração por indução. O problema dos nós pode ser resolvido observando-se que cada nó da árvore, com exceção da raiz, tem um pai e que o arco que liga o nó a seu pai tem duas extremidades. Como existem n - 1 desses nós, temos 2(n - 1) extremidades de arcos. Com relação ao problema dos balões, trata-se de uma pegadinha meio sem graça, aliás, já perdi alguns amigos postais por conta, pois basta colocar somente um único balão em cada parede para que fiquem igual número mínimo deles. A idéia de nenhum balão nas paredes contradiz o enunciado e aí, teríamos igual número de paredes ao invés de balões. Se a pergunta fosse o número máximo de balões, em dois cantos diagonalmente opostos ficarão 2 balões em cada um. Nos outros dois cantos ficará só 1 balão em cada um. O resto deles será dividido, igualmente, nas quatro paredes. Ok! Valadares, pois não se deve contratar o décimo trabalhador. O custo do fator marginal de contratar o décimo trabalhador é $ 14,50, o que equivale ao salário do décimo trabalhador mais os $ 4,50 necessários para elevar os salários de nove trabalhadores para $ 10,00. A firma não contratará o trabalhador. Não empregar esse trabalhador representa uma perda social de $ 2 porque os consumidores avaliam a produção desse trabalhador em $ 12 e o seu custo de tempo é $ 10. Quanto à política de devolução da diferença que conduz a preços altos, a coisa não é tão simples de entender. Mas, deixando a profundidade de lado, vamos a um contra-exemplo: Muitos bares onde a cobrança de couvert é obrigatória cobram taxas menores para mulheres. Por quê? Vale salientar que o enigma dos postos de combustíveis já foi solucionado na lista, mas, já que insiste, veja em anexo algumas opiniões curiosas.Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: Re: Enc: DÚVIDA CRUEL!
- Mensagem encaminhada de Leonidas O Brandao [EMAIL PROTECTED] - Data: Tue, 16 Nov 2004 22:23:45 -0200 (EDT) De: Leonidas O Brandao [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Leonidas O Brandao [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: Enc: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Caro Jorge On Tue, 16 Nov 2004 [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber o motivo pelo qual os postos de combustíveis estampam os preços com três ou mais casas decimais ao invés de duas. Grato pela atenção de resposta! Se a pergunta é séria, a suposta resposta é: por motivo análogo ao q/ existem as lojas de R$1,99 (e não R$2,00). Só q/ ali não dá p/ cobrar R$1,999, mas se fisesse sentido certamente eles assim o cobrariam. Multiplique por o décimo de centavo 1 (o q/ um posto razoável deve vender num dia em litros), vai resultar em R$ 0,001 x 1 = R$ 10,00 como em geral eles cobrar 9 décimos de centavo, num dia ganham R$90 c/ este adicional e em um mês R$ 2.700,00. Dá para pagar 2 funcionários, com os encargos sociais... Até Leônidas -- Leônidas de Oliveira Brandão - Computer Science Dep. of IME-USP (Brazil) [EMAIL PROTECTED] - http://www.ime.usp.br/~leo - +55 (011) 3091 [9691 | 6135] Interessado em Matemática? Visite o iMatica: http://www.matematica.br - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: Re: DÚVIDA CRUEL!
- Mensagem encaminhada de Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] - Data: Wed, 17 Nov 2004 00:00:57 -0200 De: Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Otto Nogami [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Tal como a taxa de câmbio, que é fornecida com quatro casas (ou cinco dependendo do caso). Imagine no caso câmbio: no mundo passam pelo mercado de câmbio, diariamente, algo em torno de US$ 1,2 trilhões; isto significa dizer que 0,0050 para cada unidade trocada, implicam num montante de US$ 6 bilhões por dia. É desprezível? Com os combustíveis não é diferente: imagine R$ 0,0050 por litro de combustível, para um mercado que movimenta, diariamente, alguns milhões de litros. É só fazer as contas! Um abraço, Otto - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, November 16, 2004 10:48 PM Subject: Enc: DÚVIDA CRUEL! - Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Fri, 12 Nov 2004 21:21:24 -0300 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Gostaria de saber o motivo pelo qual os postos de combustíveis estampam os preços com três ou mais casas decimais ao invés de duas. Grato pela atenção de resposta! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: Re: Enc: Re: DÚVIDA CRUEL!
- Mensagem encaminhada de Alexandre Sartoris [EMAIL PROTECTED] - Data: Fri, 12 Nov 2004 23:23:03 -0200 De: Alexandre Sartoris [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Alexandre Sartoris [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: Enc: Re: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Curioso como as pessoas vêem sacanagem em tudo. Se a gente passasse a usar o decalitro, em vez do litro o preço da gasolina seria R$20,78. Ou R$20,79. A mesmíssima coisa. E sem terceira casa. Aliás, por que uma diferença de R$ 0,001 ludibria mais do que uma diferença de R$ 0,01? Abraços [EMAIL PROTECTED] wrote: - Mensagem encaminhada de Gilberto Garbi [EMAIL PROTECTED] - Data: Thu, 11 Nov 2004 00:55:48 -0200 De: Gilberto Garbi [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Gilberto Garbi [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Caro José Luis Você está perguntando seriamente? É claro que é para ludibriar a população, já que muita gente pensa que vale a pena andar mais 500m para comprar gasolina a 2,078 ao invés de 2,079. Normalmente se coloca algo em torno de 60 litros em um tanque. Economizar um décimo de centavo por litro em 60 litros significa poupar 6 centavos. Um carro que faça 8 km/litro, gasta 6 centavos a cada 240 metros. Mas muita gente se ilude com a terceira casa decimal... Acho que é isso, embora desconheça os mistérios dos postos de gasolina, principalmente as fraudes. Abraços Garbi [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Gilberto, Por que os postos de combustíveis estampam os preços com três casas decimais? Grato pela atenção! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: Re: DÚVIDA CRUEL!
- Mensagem encaminhada de Merchede [EMAIL PROTECTED] - Data: Fri, 26 Nov 2004 08:40:13 -0200 De: Merchede [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Merchede [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Jorge, Não sou muito versado no assunto, mas acredito que seja pela dimensão da quantidade de livros de combustível envolvido nas operações. O arredondamento iria causar diferença muito grande. Por exemplo, digamos que o preço do litro de combustível seja R$2,1264. Um volume de 1.000.000 litros custaria, sem o arredondamento, R$2.126.400,00. Se o arredondamento for para cima (R$2,13), o volume passará a custar R$2.130.000,00, representando uma diferença a maior de R$3.600,00, valor significativo. Se o arredondamento for para baixo (R$2,12), o volume passará a custar R$2.128.000,00, representando uma diferença a menor de R$10.000,00 litros, valor mais significativo ianda. Atenciosamente, Alberto Merchede - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, November 25, 2004 10:31 PM Subject: Enc: DÚVIDA CRUEL! - Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Fri, 12 Nov 2004 21:21:24 -0300 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Gostaria de saber o motivo pelo qual os postos de combustíveis estampam os preços com três ou mais casas decimais ao invés de duas. Grato pela atenção de resposta! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: RES: DÚVIDA CRUEL!
- Mensagem encaminhada de Gustavo Franco [EMAIL PROTECTED] - Data: Fri, 26 Nov 2004 09:08:56 -0200 De: Gustavo Franco [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Gustavo Franco [EMAIL PROTECTED] Assunto: RES: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Prezado, não sei, suspeito que seja determinação da ANP, coisa de burocrata. GF -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: quarta-feira, 24 de novembro de 2004 20:08 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Enc: DÚVIDA CRUEL! - Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Fri, 12 Nov 2004 21:21:24 -0300 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Gostaria de saber o motivo pelo qual os postos de combustíveis estampam os preços com três ou mais casas decimais ao invés de duas. Grato pela atenção de resposta! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: Re: Enc: DÚVIDA CRUEL!
- Mensagem encaminhada de Antônio Cândido Faleiros [EMAIL PROTECTED] - Data: Wed, 24 Nov 2004 12:23:49 -0200 De: Antônio Cândido Faleiros [EMAIL PROTECTED] Reponder para: Antônio Cândido Faleiros [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: Enc: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Esta foi uma concessão especial do governo pois o litro é uma unidade muito pequena para o combustível. Jorge, seria mais gentil solicitar com um por favor... poderiam Faleiros [EMAIL PROTECTED] wrote: - Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Fri, 12 Nov 2004 21:21:24 -0300 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Gostaria de saber o motivo pelo qual os postos de combustíveis estampam os preços com três ou mais casas decimais ao invés de duas. Grato pela atenção de resposta! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Enc: postos
- Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Sat, 27 Nov 2004 21:29:00 -0200 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: postos Para: [EMAIL PROTECTED] isso já foi proibido, mas agora não é mais. no entanto, em ambos os caso a terceira casa decimal na nossa moeda não existe. Bruno Em 26 Nov 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Mensagem encaminhada de [EMAIL PROTECTED] - Data: Fri, 12 Nov 2004 21:21:24 -0300 De: [EMAIL PROTECTED] Reponder para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: DÚVIDA CRUEL! Para: [EMAIL PROTECTED] Gostaria de saber o motivo pelo qual os postos de combustíveis estampam os preços com três ou mais casas decimais ao invés de duas. Grato pela atenção de resposta! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. -- _ Quer mais velocidade? Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você precisa. Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br - Finalizar mensagem encaminhada - __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PROBLEMAS CROMÁTICOS!
Olá, Pessoal! Pelo menos quatro cores são necessárias para se resolver o problema geral de colorir um mapa. Como ninguém conseguiu produzir um mapa que necessitasse de mais de quatro cores, foi formulada uma conjectura de que quatro cores são, de fato, suficientes. Essa conjectura ficou conhecida como o problema das quatro cores. Ele foi proposto, pela primeira vez, ao matemático Augustus De Morgan por um de seus alunos em 1852 e recebeu, mais tarde, bastante atenção. Permaneceu sem demonstração, no entanto, por mais de 100 anos. Em 1976, dois matemáticos da Universidade de Illinois, Wolfgang Haken e Kenneth Appel, usaram um computador para analisar um grande número de casos em uma demonstração por absurdo, verificando, assim, a conjectura das quatro cores. O problema das cinco cores diz que o número cromático de um grafo planar simples e convexo é, no máximo, 5. Enquanto o teorema das quatro cores é muito difícil de provar, o teorema das cinco cores pode ser provado por indução no número de nós do grafo. O problema das seis cores pode ser provado como um problema de colorir um mapa sem usar o grafo dual. A propósito, prove que, em qualquer árvore com n nós, o número total de extremidades de arcos é 2n - 2. Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RELAÇÃO DE RECORRÊNCIA!
Ok! Osvaldo e demais colegas! Com relação à política de devolução da diferença, é certo dizer que conduzirá a preços altos porque elimina a possibilidade de os concorrentes cobrarem preços mais baixos. A promessa de devolver o dinheiro é uma promessa vazia. Você está servindo no Conselho Municipal de Obras, que está considerando uma proposta de uma firma para gerenciar a eliminação de material químico. O material a ser estocado decai a uma taxa de 5% ao ano. O empreiteiro afirma que, a essa taxa, apenas aproximadamente um terço do material ativo original restará ao final de 20 anos. Essa estimativa está correta? É possível verificar esta estimativa através de cálculos extensos, mas pode-se obter uma solução rápida e elegante resolvendo-se uma relação de recorrência. Três mulheres A, B e C estão na fila da padaria: A compra 5 pães, 2 litros de leite e um pacote de pó de café e tem uma despesa total de $ 6,20. B gasta $ 9,80 para comprar 6 pães, 2 litros de leite e 2 pacotes de pó de café. Quanto C pagou por 8 pães, 3 litros de leite e 2 pacotes de pó de café? Tente a solução aritmética sem montar um sistema de equações lineares. A propósito, ainda com relação aos postos de combustíveis, por que uma diferença de $ 0,001 ludibria mais do que uma diferença de $ 0,01?Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RECREAÇÃO!
Oi, pessoal! Com relação ao paradoxo do político, se o que foi publicado na imprensa não deve ser levado a sério, então não se deve levar a sério que Qualquer coisa que saia publicado na imprensa sobre minhas declarações não deve ser levado a sério pelos meus eleitores , logo se deve levar a sério o que foi publicado, e portanto... Uma academia é fechada nos dias 5, 11, 21, 23, 25 e 29. Qual o número máximo de dias que um atleta pode ir a academia no mês de novembro se ele nunca conseguir ir três dias consecutivos? Um quarto quadrado deve ser enfeitado com 14 balões de tal maneira que, em cada parede fique igual número deles. Quantos balões no mínimo vou colocar em cada lado? A propósito, que fração do sorvete é o valor do palito, se a fábrica trocava 10 palitos de sorvete por um sorvete de palito? Divirtam-se!!! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PENSANDO COMO UM ECONOMISTA!
Oi, pessoal! Complementando o raciocínio do Ralph quanto ao jogo de bridge, é importante o fato de que sua chance de fazer 7 sem trunfo independe das chances de Goren e Zeck, embora as duas duplas estejam jogando com cartas iguais. Isto poderia acontecer se você só conseguisse completar 7 se a abertura fosse paus e apenas completaria 6 se a abertura fosse outra. Com base nas cartas, a abertura tem chances iguais de ser paus ou ouro; neste caso, suas chances de fazer 7 serão incondicionais. Quando ambas as duplas apostam 7 sem trunfo, você vencerá a menos que não dê certo e seus adversários o consigam, o que tem uma probabilidade de um em quatro; logo, você tem uma chance de um em quatro de vencer. Quando só sua dupla aposta 7 sem trunfo, você vence se der certo e perde se der errado; é uma proposição com possibilidades de 50/50. Quando você aposta 6 e os adversários apostam 7, você só vence se a jogada deles não funcionar; também esta é uma proposição com possibilidades de 50/50. Quando nenhuma dupla aposta 7, sua vitória está assegurada. Uma firma precisa pagar um salário de $ 9,50 para atrair nove trabalhadores. Ele deve elevar seu salário para $ 10,00 para contratar um décimo trabalhador, que acrescentará $ 12,00 à receita da firma. Ele deve ou não contratar o décimo trabalhador? Vocês provavelmente já ouviram algum anúncio como este: Se você comprar um eletrodoméstico conosco e encontrá-lo em outro lugar por um preço mais baixo, nós cobriremos a diferença Essa política de devolução da diferença leva a preços maiores ou menores? A propósito, o valor de 1 dólar é reduzido a quanto numa inflação de 5%? Abraços!!! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] LÓGICA FORMAL!
Ok! Ralph e demais colegas! Grato pela atenção de resposta! Vamos adiante! Você foi convocado a participar do juri em um processo criminal. O advogado de defesa argumenta o seguinte: Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou Jason viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, então Jason não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores, meu cliente é inocente. O argumento do advogado está correto? Qual seria seu voto? A propósito, qual o paradoxo na afirmação do deputado Honestino Justo Qualquer coisa que saia publicada na imprensa sobre minhas declarações não deve ser levado a sério pelos meus eleitores. ? Com relação à iguldade de 9 + 2 = 11, não é porque 9 e 1 são 10 e mais um é 11 e sim pela definição de 2, 9 + 2 = 9 + (1 + 1) porque a propriedade associativa da soma assim o prova, 9 + (1 + 1) = (9 + 1) + 1. Ora, 9 + 1 é 10 pela definição de 10 e 10 + 1 é 11 pela definição de 11. Agora, quanto ao numeral 7 trata-se do nome de um número a exemplo de 5 + 2, 6 + 1 e 8 - 1 são nomes para o mesmo número. 7 é um numeral, não um número. Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ddsdsdsd
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5656566566565656665556 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 67
677 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 54
45 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 88
989 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] uy
yu = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 8
878 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [
k = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
