Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Você não pode usar isso assim, pois nada assegura que todos os divisores de
1024 são raízes da equação.
De fato, o teorema nos diz que, SE um polinômio f(x) = a_n*x^n +
a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 tiver raízes racionais, estas serão da forma p/q
com p divisor de a_0 e q divisor de a_n. No problema, só temos o dado que as
raízes são todas reais e positivas e, logo, pode haver raizes irracionais.
Abraço,
Henrique.
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Sent: Saturday, August 09, 2003 10:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Pelo teorema das raizes racionais temos as raizes p/q da eq. de modo que
a[n]
eh divisor de q e a[0] eh divisor de p.
No problema abaixo temos a[n] = 1 e a[0] = 1024. Com a[n] =1 e as raizes sao
reais e positivas, temos que as raizes da equacao abaixo eh o conjunto dos
divisores positivos de 1024 (=2^10) que sao obtidas tomando-se o produto
2^10
dois a dois {2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}
Se cometi algum deslize, por favor Claudio (ou qualquer outro participante)
me corrija.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., x_10, então pelas relações de Girard temos: x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 x_1.x_2...x_10= 1024 Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA = MG: (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 = (x_1.x_2...x_10)^(1/10) = 20/10 = (1024)^(1/10) = 2 = 2 Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo 10.x_1=20 = x_1= x_2=...= x_10= 2. Yuri, Tá certo, a solução é muito boa... Mas como você pensou em usar MA e MG? Já conhecia o problema (ou algum parecido?) E se, no caso, as médias fossem diferentes? Não daria pra sair daí? Desculpe pela dúvida um tanto quanto idiota, mas não custa perguntar... Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Eh isso mesmo! Mandei esse problema porque achei uma aplicacao inusitada da desigualdade MG = MA. Um abraco, Claudio. on 09.08.03 20:19, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., x_10, então pelas relações de Girard temos: x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 x_1.x_2...x_10= 1024 Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA = MG: (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 = (x_1.x_2...x_10)^(1/10) = 20/10 = (1024)^(1/10) = 2 = 2 Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo 10.x_1=20 = x_1= x_2=...= x_10= 2. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vai um bonitinho: Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o professor falar: ...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais e positivas. Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar feito um maluco. Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que o termo constante era +1024. Pergunta: Quais as raizes da equacao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Title: Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Oi, Fael:
Veja a solucao do Yuri.
Um abraco,
Claudio.
on 09.08.03 22:18, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pelo teorema das raizes racionais temos as raizes p/q da eq. de modo que a[n] eh divisor de q e a[0] eh divisor de p.
No problema abaixo temos a[n] = 1 e a[0] = 1024. Com a[n] =1 e as raizes sao reais e positivas, temos que as raizes da equacao abaixo eh o conjunto dos divisores positivos de 1024 (=2^10) que sao obtidas tomando-se o produto 2^10 dois a dois {2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}
Se cometi algum deslize, por favor Claudio (ou qualquer outro participante) me corrija.
Em uma mensagem de 9/8/2003 20:11:17 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Caros colegas:
Aqui vai um bonitinho:
Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o
professor falar: ...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais
e positivas.
Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau
que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar
feito um maluco.
Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo
de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que o
termo constante era +1024.
Pergunta: Quais as raizes da equacao?
Um abraco,
Claudio.
[obm-l] Cochilo na aula de algebra
Caros colegas: Aqui vai um bonitinho: Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o professor falar: ...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais e positivas. Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar feito um maluco. Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que o termo constante era +1024. Pergunta: Quais as raizes da equacao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Oi Henrique, A motivação disso foi o enunciado dizer que todas as raízes são reais e positivas. Nada melhor do que média nesse caso!! Se não houvesse igualdade, nada garantiria que as raízes fossem todas iguais a 2. De fato, poderiam haver várias possibilidades para o conjunto das dez raízes. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., x_10, então pelas relações de Girard temos: x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 x_1.x_2...x_10= 1024 Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA = MG: (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 = (x_1.x_2...x_10)^(1/10) = 20/10 = (1024)^(1/10) = 2 = 2 Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo 10.x_1=20 = x_1= x_2=...= x_10= 2. Yuri, Tá certo, a solução é muito boa... Mas como você pensou em usar MA e MG? Já conhecia o problema (ou algum parecido?) E se, no caso, as médias fossem diferentes? Não daria pra sair daí? Desculpe pela dúvida um tanto quanto idiota, mas não custa perguntar... Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Pelo teorema das raizes racionais temos as raizes p/q da eq. de modo que a[n] eh divisor de q e a[0] eh divisor de p.
No problema abaixo temos a[n] = 1 e a[0] = 1024. Com a[n] =1 e as raizes sao reais e positivas, temos que as raizes da equacao abaixo eh o conjunto dos divisores positivos de 1024 (=2^10) que sao obtidas tomando-se o produto 2^10 dois a dois {2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}
Se cometi algum deslize, por favor Claudio (ou qualquer outro participante) me corrija.
Em uma mensagem de 9/8/2003 20:11:17 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Caros colegas:
Aqui vai um bonitinho:
Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o
professor falar: "...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais
e positivas."
Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau
que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar
feito um maluco.
Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo
de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que o
termo constante era +1024.
Pergunta: Quais as raizes da equacao?
Um abraco,
Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Cochilo na aula de algebra
Todas as raízes são iguais a 2. De fato, se as raízes são x_1, x_2,..., x_10, então pelas relações de Girard temos: x_1 + x_2 + ... + x_10= 20 x_1.x_2...x_10= 1024 Como as raízes são reais positivas, podemos usar MA = MG: (x_1 + x_2 + ... + x_10)/10 = (x_1.x_2...x_10)^(1/10) = 20/10 = (1024)^(1/10) = 2 = 2 Como ocorre a igualdade, devemos ter que todos os x_i´s são iguais, logo 10.x_1=20 = x_1= x_2=...= x_10= 2. Ateh mais, Yuri -- Mensagem original -- Caros colegas: Aqui vai um bonitinho: Um estudante acordou no fim de uma aula de algebra a tempo de ouvir o professor falar: ...e vou dar uma dica pra voces: todas as raizes sao reais e positivas. Quando ele olhou pro quadro-negro, viu uma equacao polinomial de 10o. grau que o professor tinha dado como dever de casa e que ele comecou a copiar feito um maluco. Infelizmente, o professor apagou rapidamente o quadro e ele soh teve tempo de copiar os dois primeiros termos: x^10 - 20*x^9. Ele tambem reparou que o termo constante era +1024. Pergunta: Quais as raizes da equacao? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
