[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis

2020-06-15 Por tôpico Anderson Torres 
Em seg., 15 de jun. de 2020 às 23:31, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> usa a bijeção da tangente no intervalo 0 a pi sobre 2

Sim, e o que isso implica? Que a tangente mapeia esse intervalo nos
reais, logo ambos terão o mesmo tamanho - mas onde você demonstrou que
um desses não é enumerável? No máximo você demonstrou que um certo
conjunto tem bijeção com um subconjunto de si mesmo - que é meio que
uma definição de infinito.

>
> Em seg., 15 de jun. de 2020 às 21:38, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Não entendi a última parte.
>>
>> Em dom., 14 de jun. de 2020 Ã s 18:24, Israel Meireles Chrisostomo
>>  escreveu:
>> >
>> >
>> > https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf
>> > Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais 
>> > é não enumerável.
>> > --
>> > Israel Meireles Chrisostomo
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis

2020-06-15 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
usa a bijeção da tangente no intervalo 0 a pi sobre 2

Em seg., 15 de jun. de 2020 às 21:38, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Não entendi a última parte.
>
> Em dom., 14 de jun. de 2020 Ã s 18:24, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
> >
> >
> > https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf
> > Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais
> é não enumerável.
> > --
> > Israel Meireles Chrisostomo
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>


-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não enumeráveis

2020-06-15 Por tôpico Anderson Torres 
Não entendi a última parte.

Em dom., 14 de jun. de 2020 às 18:24, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
>
> https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf
> Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais é 
> não enumerável.
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Conjuntos não enumeráveis

2020-06-14 Por tôpico Israel Meireles Chrisostomo 
https://www.overleaf.com/read/cwxhsnctfxcf


Nesse link eu demostro trigonmetricamente que o conjunto dos irracionais é
não enumerável.
-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-17 Por tôpico Claudio Buffara 
Oi, Domingos:

Imagino que este resultado seja apenas um lema. Qual o teorema principal que
voce quer provar?

Um abraco,
Claudio.

on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá!
 
 Gostaria de provar o seguinte resultado:
 Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S que
 é denso (ie: para todo x  y em T existe z em T com x  z  y).
 
 Obrigado.
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs.densos

2003-12-17 Por tôpico Domingos Jr. 
É o problema 18 da lista do Yoshi!

se alguém quiser ver:
http://www.ime.usp.br/~yoshi/2003ii/mac5827/Exercicios/Exercicios.pdf

aliás, só falta esse, o 15 e mais um item (do 3, acho...)

[ ]'s

- Original Message - 
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, December 17, 2003 12:58 PM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs.densos


Oi, Domingos:

Imagino que este resultado seja apenas um lema. Qual o teorema principal que
voce quer provar?

Um abraco,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-16 Por tôpico Domingos Jr. 
Obrigado a todos pelas respostas! Acho que vocês estão certos :-)

[ ]'s

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-16 Por tôpico Pedro Antonio Santoro Salomao 






Artur Coste Steiner wrote:

  Oi Domingos. Acho que fica mais facil raciocinar por contraposicao. Se S nao
contiver um subconjunto denso, entao ou S se reduz a um unico elemento -
sendo portanto numeravel - ou entao, para cada x em S, existe y em S tal que
entre x e y nao a hah qualquer elemento de S. Quer dizer, cada elemento de S
esta "esprimido" entre dois intervalos abertos (eventualmente com um dos
pontos extremos em - inf ou + inf) contidos no complemento de S.

oi Arthur,

Existem mais possibilidades para o conjunto S se ele nao contiver um subconjunto
denso.
E' aquele mesmo exemplo onde S={0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, }. Esse conjunto
nao tem nenhum subconjunto denso, mas elemento 0 nao esta isolado.

Um abraco. Pedro.


   Desta
condicao decorre automaticamente que, para todo x de S, podemos escolher um
eps0 suficientemente pequeno tal que o unico elemento de S em (x-eps,
x+eps) seja o proprio x. Todo elemento de S possui portanto uma vizinhanca
que contem apenas um elemento de S. Vale dizer que nenhum elemento de S eh
ponto de acumulacao do mesmo e, menos ainda, ponto de condensacao (Dizemos
que x e ponto de condensacao de S se toda vizinhanca de x contiver
incontavelmente muitos (expressao tirada do Ingls - uncountably many - nao
me ocorreu uma melhor) elementos de S). Como R eh separavel, subconjuntos de
R que nao possuam pontos de condensacao sao automaticamente numeraveis.
Logo, S eh numeravel.
Acho que podemos ver isto sem o conceito de ponto de condensacao. Vimos que
cada x de S estah contido em um intervalo aberto I_x que nao contem nenhum
outro elemento de S. Tomemos a colecao {I'_x}, onde cada I'_x tem centro em
x e raio igual aa metade do raio p de I_x. Podemos assim garantir que
{I'_x} eh uma colecao de intervalos disjuntos dois a dois e que cobre S. Hah
portanto uma bijecao enter S e {I'_x}. Escolhendo-se em cada I'_x um
racional, vemos que hah uma bijecao entre {I'_x} e um subconjunto dos
racionais. Logo, {I'_x} eh numeravel e, portanto, S tambem eh. 
Observemos que podemos escolher este racional construtivamente, sem recorrer
ao Axioma da Escolha. Enumeremos os racionais, por exemplo, por aquele
classico processo em diagonal, e, na sequencia obtida, escolhamos I'_x assim
que um racional cair nele. 
Espero que esteja certo. 
Artur
 

  
  
Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais no-enumervel, existe um subconjunto T de S
que
 denso (ie: para todo x  y em T existe z em T com x  z  y).

Obrigado.

=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

  
  

=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-16 Por tôpico Pedro Antonio Santoro Salomao 






Claudio Buffara wrote:

  Re: [obm-l] Conjuntos no-enumerveis vs. densos
on 16.12.03 00:52, Pedro Antonio Santoro Salomao at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
 
 
  
 
 Claudio Buffara wrote:
 
on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  
 
  Ol!
 
 Gostaria de provar o seguinte resultado:
 Seja S um conjunto de reais no-enumervel, existe um subconjunto T de S
que
  denso (ie: para todo x  y em T existe z em T com x  z  y).
 
 Obrigado.
 
  
 
Oi, Domingos.
 
 O que voce acha disso aqui?
 
 Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y
tal
 que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos
 expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos
 dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah
uma
 bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada
 por F(x) = intervalo cujo infimo eh x.
  
 

 Oi Claudio,
 
 Tambem estava pensando nesse problema. Nao entendi bem sua solucao mas considere
S o conjunto formado pelos numeros 0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 etc. Esse conjunto
nao tem nenhum subconjunto denso e voce nao consegue encontrar um numero
diferente de zero em S tal que (0,a) nao contenha nenhum ponto de A.
 
 *** OK, mas nesse caso, R - S = (-inf,0) U (1,+inf) U Uniao(n=0) (1/2^(n+1),1/2^n)
= uniao enumeravel de intervalos abertos dois a dois disjuntos. Nesse caso,
o conjunto A seria {(-inf,0); (1,+inf); (1/2,1); (1/4,1/2); (1/8,1/4); ...}.
 
 Entretanto, a funcao F acima nao estah bem definida, pois (-inf,0) nao eh
imagem de nenhum elemento de S. Mas isso eh facil de corrigir. Em geral,
se A contiver um intervalo ilimitado inferiormente, escolhemos "a" pertencente
a R - S (se R - S = vazio, entao S = R eh claramente denso) e definimos F:
S U {a} - A por: F(a) = o tal intervalo ilimitado e, para x em S, F(x)
= intervalo cujo infimo eh x.
 
 A minha demonstracao baseia-se no fato de que, se nenhum subconjunto de
S eh denso, entao, em particular, S nao eh denso == R - S = uniao enumeravel
de intervalos abertos disjuntos dois a dois. 
 

Claudio,
Entendi sua ideia. Acho que e' verdade essa ultima afirmacao, mas nao me
parece tao facil mostrar. De qualquer forma, se for verdade, entao sua solucao
realmente e' bem mais simples.

Um abraco. Pedro.

  
 
 Acho que no problema que o Domingos propos, uma parte importante e' mostrar
que voce consegue encontrar um ponto x de S que divide o conjunto S em dois
subconjuntos nao enumeraveis: os pontos de S que estao a esquerda de x e
os pontos de S que estao a direita de x. (diremos que x tem a propriedade
*)
 
 Se voce conseguir fazer isso para qualquer conjunto nao enumeravel, entao
a demonstracao afirmativa nao fica muito dificil:
 
 1) Voce sabe que em algum intervalo K=[k,k+1], onde k e' um inteiro, S inter
K e' nao enumeravel pois caso contrario S seria a uniao enumeravel de conjuntos
enumeraveis, que e' enumeravel, contradicao.
 
 2) Podemos supor que esse intervalo e' [0,1]. Comecamos com x0 contido em
(0,1) que tem a propriedade * em (0,1).
 
 3) Agora temos 2 conjuntos [0,x0] e [x0,1] onde S e' nao enumeravel neles
dois.
 
 4) Encontramos entao x1 e x2 que tem a propriedade * em (0,x0) e (x0,1)
respectivamente.
 
 5) Agora temos os conjuntos [0,x1], [x1,x0], [x0,x2] e [x2,1] onde S e'
nao enumeravel em cada um deles.
 
 6) Continuamos o processo analogamente em cada um dos novos intervalos obtidos
no passo anterior.
 A uniao desses x_i's sera densa e ai termina a demonstracao.
 (estou pensando na definicao de densa dada pelo Domingos)
 
 Construimos quase um conjunto de Cantor.
 
 Fica so faltando mostrar a propriedade *. Talvez isso seja um pouco mais
dificil.
 
 Suponha que no intervalo [0,1], onde S e' nao enumeravel, sempre que escolhemos
um ponto z de S, a parte nao enumeravel de S em [0,1] esta ou a esquerda
ou a diretia de z, nunca dos dois lados simultaneamente. Entao S inter [0,1]
e' a uniao disjunta de E e D, que tem a propriedades. da esquerda e direita,
como acima.
 Seja m = infimo de E e M = supremo de D
 Se E e' vazio entao defina m = M e se D e' vazio, defina M = m. Ambos nao
podem ser vazios, pois S e' nao enumeravel em [0,1].
 
 Temos M = m. Isso e' facil mostrar.
 Temos:
 
 S deve ser enumeravel no intervalo [m,1]. Se nao fosse poderiamos, atraves
de um homeomorfismo, levar (m,1) em (-infinito, infinito) e encontrariamos
um intervalo [k,k+1] on de S seria nao enumeravel, o que seria uma contradicao
pela definicao de E.
 
 S deve ser enumeravel no intervalo [0,M] tambem pelo mesmo motivo.
 Nao existem pontos de S em (M,m) pela propria construcao de E e D. 
 Logo S e' enumeravel em [0,1].
 Isso e' uma contradicao ja que S era nao enumeravel em [0,1].
 Isso prova a propriedade * em qualquer intervalo [a,b] e com isso termina
totalmente a demonstracao.
 
 Para mim, ainda existem algumas partes um pouco estranhas, mas o problema
nao parece ser muito simples. Talvez tenha uma solucao muito mais

[obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-16 Por tôpico Claudio Buffara 
O conjunto de Cantor tem algum subconjunto denso? 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-15 Por tôpico Domingos Jr. 
Olá!

Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S que
é denso (ie: para todo x  y em T existe z em T com x  z  y).

Obrigado.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-15 Por tôpico Claudio Buffara 
on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá!
 
 Gostaria de provar o seguinte resultado:
 Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S que
 é denso (ie: para todo x  y em T existe z em T com x  z  y).
 
 Obrigado.
 
Oi, Domingos.

O que voce acha disso aqui?

Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y tal
que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos
expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos
dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah uma
bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada
por F(x) = intervalo cujo infimo eh x.

Mas qualquer conjunto A de intervalos abertos disjuntos dois a dois eh
enumeravel. Para ver isso, defina uma funcao G: A - Q dada por G(I) =
fracao irredutivel pertencente a I com o menor denominador (isso assume que
Q = { m/n | m eh inteiro e n eh inteiro positivo}). Se existir mais de uma,
escolha a de menor valor absoluto. E se, mesmo assim, existirem duas (p/q e
-p/q), escolha a positiva. Entao, G eh uma funcao injetiva de A em Q. Como Q
eh enumeravel, A tambem serah.

Isso quer dizer que S eh enumeravel (a funcao GoF: S - Q eh injetiva) ==
contradicao ==
algum subconjunto de S tem que ser denso.

Serah que tah certo?

Um abraco,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-15 Por tôpico Pedro Antonio Santoro Salomao 






Claudio Buffara wrote:

  on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:

  
  
Ol!

Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais no-enumervel, existe um subconjunto T de S que
 denso (ie: para todo x  y em T existe z em T com x  z  y).

Obrigado.


  
  Oi, Domingos.

O que voce acha disso aqui?

Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y tal
que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos
expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos
dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah uma
bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada
por F(x) = intervalo cujo infimo eh x.
  


Oi Claudio,

Tambem estava pensando nesse problema. Nao entendi bem sua solucao mas considere
S o conjunto formado pelos numeros 0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 etc. Esse conjunto
nao tem nenhum subconjunto denso e voce nao consegue encontrar um numero
diferente de zero em S tal que (0,a) nao contenha nenhum ponto de A.

Acho que no problema que o Domingos propos, uma parte importante e' mostrar
que voce consegue encontrar um ponto x de S que divide o conjunto S em dois
subconjuntos nao enumeraveis: os pontos de S que estao a esquerda de x e
os pontos de S que estao a direita de x. (diremos que x tem a propriedade
*)

Se voce conseguir fazer isso para qualquer conjunto nao enumeravel, entao
a demonstracao afirmativa nao fica muito dificil:

1) Voce sabe que em algum intervalo K=[k,k+1], onde k e' um inteiro, S inter
K e' nao enumeravel pois caso contrario S seria a uniao enumeravel de conjuntos
enumeraveis, que e' enumeravel, contradicao.

2) Podemos supor que esse intervalo e' [0,1]. Comecamos com x0 contido em
(0,1) que tem a propriedade * em (0,1).

3) Agora temos 2 conjuntos [0,x0] e [x0,1] onde S e' nao enumeravel neles
dois.

4) Encontramos entao x1 e x2 que tem a propriedade * em (0,x0) e (x0,1) respectivamente.

5) Agora temos os conjuntos [0,x1], [x1,x0], [x0,x2] e [x2,1] onde S e' nao
enumeravel em cada um deles.

6) Continuamos o processo analogamente em cada um dos novos intervalos obtidos
no passo anterior.
Auniao desses x_i's sera densa e ai termina a demonstracao.
(estou pensando na definicao de densa dada pelo Domingos)

Construimos quase um conjunto de Cantor.

Fica so faltando mostrar a propriedade *. Talvez isso seja um pouco mais
dificil.

Suponha que no intervalo [0,1], onde S e' nao enumeravel, sempre que escolhemos
um ponto z de S, a parte nao enumeravel de S em [0,1] esta ou a esquerda
ou a diretia de z, nunca dos dois lados simultaneamente. Entao S inter [0,1]
e' a uniao disjunta de E e D, que tem a propriedades. da esquerda e direita,
como acima.
Seja m = infimo de E e M = supremo de D
Se E e' vazio entao defina m = M e se D e' vazio, defina M = m. Ambos nao
podem ser vazios, pois S e' nao enumeravel em [0,1].

Temos M = m. Isso e' facil mostrar.
Temos:

S deve ser enumeravel no intervalo [m,1]. Se nao fosse poderiamos, atraves
de um homeomorfismo, levar (m,1) em (-infinito, infinito) e encontrariamos
um intervalo [k,k+1] on de S seria nao enumeravel, o que seria uma contradicao
pela definicao de E.

S deve ser enumeravel no intervalo [0,M] tambem pelo mesmo motivo.
Nao existem pontos de S em (M,m) pela propria construcao de E e D. 
Logo S e' enumeravel em [0,1].
Isso e' uma contradicao ja que S era nao enumeravel em [0,1].
Isso prova a propriedade * em qualquer intervalo [a,b] e com isso termina
totalmente a demonstracao.

Para mim, ainda existem algumas partes um pouco estranhas, mas o problema
nao parece ser muito simples. Talvez tenha uma solucao muito mais simples
que eu nao estou vendo ou talvez mesmo essa solucao tenha algum erro.

Nao cheguei a acompanhar todos os detalhes da sua solucao, mas se estiver
certa, parece bem mais simples que a minha.

Um abraco.
Pedro.


  
Mas qualquer conjunto A de intervalos abertos disjuntos dois a dois eh
enumeravel. Para ver isso, defina uma funcao G: A - Q dada por G(I) =
fracao irredutivel pertencente a I com o menor denominador (isso assume que
Q = { m/n | m eh inteiro e n eh inteiro positivo}). Se existir mais de uma,
escolha a de menor valor absoluto. E se, mesmo assim, existirem duas (p/q e
-p/q), escolha a positiva. Entao, G eh uma funcao injetiva de A em Q. Como Q
eh enumeravel, A tambem serah.

Isso quer dizer que S eh enumeravel (a funcao GoF: S - Q eh injetiva) ==
contradicao ==
algum subconjunto de S tem que ser denso.

Serah que tah certo?

Um abraco,
Claudio.


=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-15 Por tôpico Claudio Buffara 
Title: Re: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos



on 16.12.03 00:52, Pedro Antonio Santoro Salomao at [EMAIL PROTECTED] wrote:



Claudio Buffara wrote:
on 15.12.03 22:27, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 
Olá!

Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S que
é denso (ie: para todo x  y em T existe z em T com x  z  y).

Obrigado.

 
Oi, Domingos.

O que voce acha disso aqui?

Se nenhum subconjunto de S for denso, entao para cada x de S existirah y tal
que o intervalo aberto (x,y) nao contem nenhum ponto de S. Assim, poderemos
expressar o complemento R - S como uma uniao de intervalos abertos disjuntos
dois a dois e cujas extremidades sao pontos de S. Alem disso, existirah uma
bijecao F entre S e o conjunto A cujos elementos sao esses intervalos, dada
por F(x) = intervalo cujo infimo eh x.
 

Oi Claudio,

Tambem estava pensando nesse problema. Nao entendi bem sua solucao mas considere S o conjunto formado pelos numeros 0, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 etc. Esse conjunto nao tem nenhum subconjunto denso e voce nao consegue encontrar um numero diferente de zero em S tal que (0,a) nao contenha nenhum ponto de A.

*** OK, mas nesse caso, R - S = (-inf,0) U (1,+inf) U Uniao(n=0) (1/2^(n+1),1/2^n) = uniao enumeravel de intervalos abertos dois a dois disjuntos. Nesse caso, o conjunto A seria {(-inf,0); (1,+inf); (1/2,1); (1/4,1/2); (1/8,1/4); ...}.

Entretanto, a funcao F acima nao estah bem definida, pois (-inf,0) nao eh imagem de nenhum elemento de S. Mas isso eh facil de corrigir. Em geral, se A contiver um intervalo ilimitado inferiormente, escolhemos a pertencente a R - S (se R - S = vazio, entao S = R eh claramente denso) e definimos F: S U {a} - A por: F(a) = o tal intervalo ilimitado e, para x em S, F(x) = intervalo cujo infimo eh x.

A minha demonstracao baseia-se no fato de que, se nenhum subconjunto de S eh denso, entao, em particular, S nao eh denso == R - S = uniao enumeravel de intervalos abertos disjuntos dois a dois. 



Acho que no problema que o Domingos propos, uma parte importante e' mostrar que voce consegue encontrar um ponto x de S que divide o conjunto S em dois subconjuntos nao enumeraveis: os pontos de S que estao a esquerda de x e os pontos de S que estao a direita de x. (diremos que x tem a propriedade *)

Se voce conseguir fazer isso para qualquer conjunto nao enumeravel, entao a demonstracao afirmativa nao fica muito dificil:

1) Voce sabe que em algum intervalo K=[k,k+1], onde k e' um inteiro, S inter K e' nao enumeravel pois caso contrario S seria a uniao enumeravel de conjuntos enumeraveis, que e' enumeravel, contradicao.

2) Podemos supor que esse intervalo e' [0,1]. Comecamos com x0 contido em (0,1) que tem a propriedade * em (0,1).

3) Agora temos 2 conjuntos [0,x0] e [x0,1] onde S e' nao enumeravel neles dois.

4) Encontramos entao x1 e x2 que tem a propriedade * em (0,x0) e (x0,1) respectivamente.

5) Agora temos os conjuntos [0,x1], [x1,x0], [x0,x2] e [x2,1] onde S e' nao enumeravel em cada um deles.

6) Continuamos o processo analogamente em cada um dos novos intervalos obtidos no passo anterior.
A uniao desses x_i's sera densa e ai termina a demonstracao.
(estou pensando na definicao de densa dada pelo Domingos)

Construimos quase um conjunto de Cantor.

Fica so faltando mostrar a propriedade *. Talvez isso seja um pouco mais dificil.

Suponha que no intervalo [0,1], onde S e' nao enumeravel, sempre que escolhemos um ponto z de S, a parte nao enumeravel de S em [0,1] esta ou a esquerda ou a diretia de z, nunca dos dois lados simultaneamente. Entao S inter [0,1] e' a uniao disjunta de E e D, que tem a propriedades. da esquerda e direita, como acima.
Seja m = infimo de E e M = supremo de D
Se E e' vazio entao defina m = M e se D e' vazio, defina M = m. Ambos nao podem ser vazios, pois S e' nao enumeravel em [0,1].

Temos M = m. Isso e' facil mostrar.
Temos:

S deve ser enumeravel no intervalo [m,1]. Se nao fosse poderiamos, atraves de um homeomorfismo, levar (m,1) em (-infinito, infinito) e encontrariamos um intervalo [k,k+1] on de S seria nao enumeravel, o que seria uma contradicao pela definicao de E.

S deve ser enumeravel no intervalo [0,M] tambem pelo mesmo motivo.
Nao existem pontos de S em (M,m) pela propria construcao de E e D. 
Logo S e' enumeravel em [0,1].
Isso e' uma contradicao ja que S era nao enumeravel em [0,1].
Isso prova a propriedade * em qualquer intervalo [a,b] e com isso termina totalmente a demonstracao.

Para mim, ainda existem algumas partes um pouco estranhas, mas o problema nao parece ser muito simples. Talvez tenha uma solucao muito mais simples que eu nao estou vendo ou talvez mesmo essa solucao tenha algum erro.

Nao cheguei a acompanhar todos os detalhes da sua solucao, mas se estiver certa, parece bem mais simples que a minha.

Um abraco.
Pedro.
 

Mas qualquer conjunto A de intervalos abertos disjuntos dois a dois eh
enumeravel. Para ver isso, defina uma funcao

[obm-l] RE: [obm-l] Conjuntos não-enumeráveis vs. densos

2003-12-15 Por tôpico Artur Coste Steiner 
Oi Domingos. Acho que fica mais facil raciocinar por contraposicao. Se S nao
contiver um subconjunto denso, entao ou S se reduz a um unico elemento -
sendo portanto numeravel - ou entao, para cada x em S, existe y em S tal que
entre x e y nao a hah qualquer elemento de S. Quer dizer, cada elemento de S
esta esprimido entre dois intervalos abertos (eventualmente com um dos
pontos extremos em - inf ou + inf) contidos no complemento de S. Desta
condicao decorre automaticamente que, para todo x de S, podemos escolher um
eps0 suficientemente pequeno tal que o unico elemento de S em (x-eps,
x+eps) seja o proprio x. Todo elemento de S possui portanto uma vizinhanca
que contem apenas um elemento de S. Vale dizer que nenhum elemento de S eh
ponto de acumulacao do mesmo e, menos ainda, ponto de condensacao (Dizemos
que x e ponto de condensacao de S se toda vizinhanca de x contiver
incontavelmente muitos (expressao tirada do Inglês - uncountably many - nao
me ocorreu uma melhor) elementos de S). Como R eh separavel, subconjuntos de
R que nao possuam pontos de condensacao sao automaticamente numeraveis.
Logo, S eh numeravel.
Acho que podemos ver isto sem o conceito de ponto de condensacao. Vimos que
cada x de S estah contido em um intervalo aberto I_x que nao contem nenhum
outro elemento de S. Tomemos a colecao {I'_x}, onde cada I'_x tem centro em
x e raio igual aa metade do raio p de I_x. Podemos assim garantir que
{I'_x} eh uma colecao de intervalos disjuntos dois a dois e que cobre S. Hah
portanto uma bijecao enter S e {I'_x}. Escolhendo-se em cada I'_x um
racional, vemos que hah uma bijecao entre {I'_x} e um subconjunto dos
racionais. Logo, {I'_x} eh numeravel e, portanto, S tambem eh. 
Observemos que podemos escolher este racional construtivamente, sem recorrer
ao Axioma da Escolha. Enumeremos os racionais, por exemplo, por aquele
classico processo em diagonal, e, na sequencia obtida, escolhamos I'_x assim
que um racional cair nele. 
Espero que esteja certo. 
Artur
 


Gostaria de provar o seguinte resultado:
Seja S um conjunto de reais não-enumerável, existe um subconjunto T de S
que
é denso (ie: para todo x  y em T existe z em T com x  z  y).

Obrigado.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=