[obm-l] Diferença de Quadrados (era: Re: [ obm-l] Algebra)

[claudio\.buffara]

Esse problema tem uma generalização interessante:
1. Ache todos osnaturais que podem ser representados como uma diferença de quadrados de naturais;
2. Para quais deles a representação é única?

Por exemplo, se p é um primo ímpar, então:
a^2 - b^2 = p ==
(a + b)(a - b) = p ==
a + b = p e a - b = 1 ==
a = (p+1)/2 e b = (p-1)/2
e essa representação é (claramente?) única.

[]s,
Claudio.





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Data:
Fri, 28 Apr 2006 09:42:50 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Algebra
 Vejamos:
  a^2 - b^2 = 7
  (a+b)(a-b) = 7
 
 Vamos por exclusão:
  a-b não pode ser 0 
  a-b não pode ser 3 (pois 3 não divide 7)
  a-b não pode ser 4 (pois 4 não divide 7)
  a-b não pode ser 7 
  aqui é interessante: se a = 7+b e substituindo acima temos que:
 ( 7+b+b) 7 = 7
  (7+2b) = 1
  2b = -6 == b=-3 que não é natural
 Resposta B.

- Original Message - 
From: Bruna Carvalho 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thursday, April 27, 2006 8:38 PM
Subject: [obm-l] Algebra
 Os números naturais a e b, com ab, são tais que a^2-b^2=7. O valor de a-b é:a)0 b)1 c)3 d)4 e)7 

Re: [obm-l] RES: [obm-l] Diferença de Quadrados (era: Re: [obm-l] Algebra)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Arthur, você esqueceu dos pares (1,n) para d1 e d2 no caso ímpar, o
que dá possibilidades a mais (no seu exemplo, 75 tem também 38^2 -
37^2). Mas a sua soluçao está impecável fora isso.

Um problema interessante de combinatória será fazer as contas de
quantas representaçoes diferentes há (calculando o # de divisores e
fazendo umas manipulaçoes deve dar pra chegar em algo simples pros
números ímpares, pros pares a sua idéia da decomposiçao com fator 2^k
parece-me um bom começo)

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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