Re: [obm-l] Duvida - COMPLEXOS
Olá,
vamos ordenar z1, z2, ..., zn pelos seus módulos.. sendo z1 o menor e
zn o maior..
|z1^n| = |z1z2...zn| = |zn^n|
vamos encontrar z, tal que: z^n = (z1)(z2)...(zn)
para isso, vamos dizer que: |z| = |z1z2..zn|^(1/n) e arg(z) = arg(z1z2...zn)/n
logo: z^n = (z1)(z2)...(zn)
agora, temos que mostrar que z pertence a D.
|z1|^n = |z|^n = |zn|^n, entao, ja sabemos que: |z1| = |z| = |zn|
seja M = max{argz1, argz2, ..., argzn} e m = min{argz1, argz2, ..., argzn}
n*m = arg(z1z2..zn) = n*M
n*m = arg(z^n) = n*M
entao: m = arg(z) = M
vamos dizer que D = { z tq |z-z0| = r }...
sabemos que:
|z1| = |z| = |zn|
m = arg(z) = M
bom.. fiquei tentando mostrar que z esta em D.. mas ainda nao consegui...
mandei o q fiz pq as vezes alguem pode continuar
abracos,
Salhab
On 7/4/07, Joÿe3o Silva [EMAIL PROTECTED] wrote:
(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo
inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D,
existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn).
- obs: Estou enviando este problema novamente pois nao apareceu nenhuma
solução correta. Note que no enunciado há a possibilidade de 0 não pertencer
ao disco. Sendo assim, não se pode afirmar que o conjunto D é
D = {r*e^(i*theta) ; 0 = r = R, 0 = theta 2pi}, pois pode ser que D não
tenha centro na origem.
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Duvida - COMPLEXOS
(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo
inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D,
existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn).
- obs: Estou enviando este problema novamente pois nao apareceu nenhuma
solução correta. Note que no enunciado há a possibilidade de 0 não pertencer ao
disco. Sendo assim, não se pode afirmar que o conjunto D é
D = {r*e^(i*theta) ; 0 = r = R, 0 = theta 2pi}, pois pode ser que D não
tenha centro na origem.
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[obm-l] Duvida - COMPLEXOS
(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D, existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn). - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Duvida - COMPLEXOS
Esse vc pode fazer por construção.
Seja R o raio do disco. Então o conjunto D é:
D = {r*e^(i*theta) ; 0 = r = R, 0 = theta 2pi}
Escolha n elementos de D, z_1, z_2, ..., z_n, e escreva-os como
z_k = a_k * e^(i*theta_k), de forma que a_k é real (com 0 = a_k = R, o que
é fácil de demonstrar) e theta_k é real em [0; 2pi).
Assim, o produto Z = z_1 * z_2 * ... * z_n é escrito como:
Z = a_1 * a_2 * ... * a_n * e^(i* (theta_1 + theta_2 + ... + theta_n))
Seja Theta o menor real positivo tal que Theta + 2pi * j = theta_1 + theta_2
+ ... + theta_n, com j inteiro positivo. Seja também A = a_1 * a_2 * ... *
a_n. Assim:
Z = A*e^(i*Theta).
(claro que 0 = Theta 2pi)
Precisamos mostrar que existe z = a*e^(theta) em D tal que z^n = Z == a^n
* e^(i*n*theta) = A * e^(i*Theta).
Para qualquer escolha dos z_k, sabemos que o produto dos a_k não poderá
passar jamais de R^k, já que 0 = a_k = R para todo k. Assim, temos que 0
= A = R^n.
Tome então a = A^(1/n), e assim 0 = a = R. Lembrando que 0 = Theta 2pi,
tome theta = Theta/n (o que implica theta em [0, 2pi)), então :
z^n = (a*e^(i*theta))^n = a^n * e^(i*n*theta) = A * e^(i*Theta) = z_1 * z_2
* ... * z_n.
Das observação acima, z pertence ao disco D e z^n = z_1 * ... * z_n,
conforme pedido.
Abraço
Bruno
2007/6/10, Joÿe3o Silva [EMAIL PROTECTED]:
(Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo
inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D,
existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn).
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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0
[obm-l] duvida/complexos
como calculo e^z, sabendo que z=4+5i? Grato Douglas -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida/complexos
[EMAIL PROTECTED] wrote: como calculo e^z, sabendo que z=4+5i? É fácil, você usa uma equação inventada pelo Euler: e^(a+bi)=e^a (cos b + i sen b) Portanto o valor que você quer é : e^z=e^4 (cos 5 + i sen 5) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED]Vitrum edere possum, mihi non nocet -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] duvida/complexos
Cara, eu nao sei! Talvez de algo supercomplicado:e^z=e^4*(e^i)^5 Mas eî nao parece ser convidativo:e^ix=cis x E ai ja nao sei! -- Mensagem original -- como calculo e^z, sabendo que z=4+5i? Grato Douglas -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
