[obm-l] Esfera Furada
Title: Help Caros colegas da lista: Aqui vai um bonitinho de geometria espacial. Um furo cilíndrico de 12 cm de comprimento é feito numa esfera, de forma que o eixo de simetria do furo coincida com um diâmetro da esfera. Qual o volume do sólido resultante? Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] Esfera Furada
On Fri, Feb 21, 2003 at 02:05:38PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Aqui vai um bonitinho de geometria espacial. Um furo cilíndrico de 12 cm de comprimento é feito numa esfera, de forma que o eixo de simetria do furo coincida com um diâmetro da esfera. Qual o volume do sólido resultante? Acho que a formulação está um pouco confusa. O que é exatamente o comprimento de um furo cilíndrico? Será o diâmetro da esfera? E qual o diâmetro do furo? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Esfera Furada
Bom ponto. Inicialmente, o sólido resultante a que me refiro é a Esfera Furada e não o que foi retirado. Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas. 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) == portanto, não é o diâmetro da esfera. Claudio. - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 21, 2003 1:10 PM Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada On Fri, Feb 21, 2003 at 02:05:38PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Aqui vai um bonitinho de geometria espacial. Um furo cilíndrico de 12 cm de comprimento é feito numa esfera, de forma que o eixo de simetria do furo coincida com um diâmetro da esfera. Qual o volume do sólido resultante? Acho que a formulação está um pouco confusa. O que é exatamente o comprimento de um furo cilíndrico? Será o diâmetro da esfera? E qual o diâmetro do furo? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Esfera Furada
O interessante nesse problema é justamente a aparência estar mal determinado. Uma solução diferente da do Nicolau, mas que usa uma fórmula pronta para o volume de uma calota (a qual pode ser obtida via cálculo integral, por exemplo - em si só um bom exercício - ou então consultando algum livro de geometria espacial) é a seguinte: Sejam: R = raio da esfera r = raio do furo h = altura da calota = R - 6 Além disso, por Pitágoras temos que: r^2 = R^2 - 6^2 Volume da Esfera = (4/3)*Pi*R^3 Volume do Cilindro = Pi*r^2*12 = 12*Pi*(R^2 - 36) Volume de cada Calota = (1/3)*Pi*h^2*(3R-h) = (1/3)*Pi*(R-6)^2*(2R+6) = (1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216) Assim, usando que: Vol(Esfera Furada) = Vol(Esfera) - Vol(Cilindro) - 2*Vol(Calota), teremos: Vol(Esfera Furada) = (4/3)*Pi*R^3 - 12*Pi*(R^2 - 36) - 2*(1/3)*Pi*(2R^3 - 18R^2 + 216) = Pi*(4*R^3/3 - 12*R^2 + 432 - 4*R^3/3 + 12*R^2 - 144) = Pi*288 cm^3. * Um outro problema, bem mais fácil, que também parece estar mal determinado é o seguinte: Sejam duas circunferências concêntricas. Uma reta é tangente à circunferência interna no ponto A e intercepta a externa no ponto B. Sabendo que AB mede a, calcule a área do anel compreendido entre as duas circunferências. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 21, 2003 2:32 PM Subject: Re: [obm-l] Esfera Furada On Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas. 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) == portanto, não é o diâmetro da esfera. Observe que o problema omite o raio do furo (r) e o da esfera (R). Sabemos apenas (Pitágoras) que R^2 - r^2 = 6^2 (em cm). O sólido assim não está bem determinado; será que seu volume independe dos dados que estão faltando? Surpreendentemente sim. Se fatiarmos o sólido perpendicularmente ao eixo do cilindro (digamos, o eixo z) então a área de uma fatia a altura z é dada por Pi(R^2 - z^2 - r^2) = Pi(6^2 - z^2). Integrando de -6 a 6 temos Volume = integral Pi(6^2 - z^2) dz = 288 Pi cm^3 Note que um caso particular é o de uma esfera de raio 6 com um furo fino, cujo volume é dado pela fórmula 4/3 Pi R^3 que coincide, como deveria, com o que encontramos acima. Quem preferir pode usar Cavalieri em vez de cálculo, é supostamente mais elementar. Ou pode usar a fórmula do volume do prismóide (integração por Simpson), Volume = 1/6 (B_0 + 4 B_1 + B_2) h onde h é a altura, no caso 12 cm, e B_0, B_1 e B_2 são as áreas da base de baixo (no caso 0), da base média (no caso Pi(R^2 - r^2) = 36 Pi) e da base de cima (também 0). Por outro lado, a melhor explicação que eu conheço para esta fórmula (inclusive para decidir quando ela é correta) é via integral (ela é correta se a área da fatia for dada por um polinômio em z de grau = 3). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Esfera Furada
On Fri, Feb 21, 2003 at 03:13:11PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Esfera Original = Esfera Furada + Cilindro + 2 Calotas. 12 cm = altura do cilindro (excluindo as calotas) == portanto, não é o diâmetro da esfera. Observe que o problema omite o raio do furo (r) e o da esfera (R). Sabemos apenas (Pitágoras) que R^2 - r^2 = 6^2 (em cm). O sólido assim não está bem determinado; será que seu volume independe dos dados que estão faltando? Surpreendentemente sim. Se fatiarmos o sólido perpendicularmente ao eixo do cilindro (digamos, o eixo z) então a área de uma fatia a altura z é dada por Pi(R^2 - z^2 - r^2) = Pi(6^2 - z^2). Integrando de -6 a 6 temos Volume = integral Pi(6^2 - z^2) dz = 288 Pi cm^3 Note que um caso particular é o de uma esfera de raio 6 com um furo fino, cujo volume é dado pela fórmula 4/3 Pi R^3 que coincide, como deveria, com o que encontramos acima. Quem preferir pode usar Cavalieri em vez de cálculo, é supostamente mais elementar. Ou pode usar a fórmula do volume do prismóide (integração por Simpson), Volume = 1/6 (B_0 + 4 B_1 + B_2) h onde h é a altura, no caso 12 cm, e B_0, B_1 e B_2 são as áreas da base de baixo (no caso 0), da base média (no caso Pi(R^2 - r^2) = 36 Pi) e da base de cima (também 0). Por outro lado, a melhor explicação que eu conheço para esta fórmula (inclusive para decidir quando ela é correta) é via integral (ela é correta se a área da fatia for dada por um polinômio em z de grau = 3). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
