[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos
2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa : > 2013/9/2 Artur Costa Steiner : >> Olá amigos, > Oi Artur, > >> Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo >> análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor >> absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos >> inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No >> caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i. > > Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são > 1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno > meio "especial", o que você falou está perfeitamente certo. Para ser > formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é > diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para > todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo / > f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é > isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min = > inf { |p| / p período, p != 0 }. Ah, sim, faltou o exemplo: considere a função f(z) = sum_{m,n inteiros} 1/(z - m - n*i)^3 que é (por definição!) periódica de períodos 1 e i. É um pouco mais chatinho ver que ela é meromorfa, porque daí você tem que provar que ela é - uma série convergente para z fora do reticulado {1,i} (use que 1/z^3 é integrável em R^2) - que a derivada desta série convergente é também uma série convergente, uniformemente sobre os compactos que não intersectam o reticulado porque daí ela será uma função com derivada contínua e z-linear, portanto holomorfa em todos o C menos nos pólos do reticulado. Para ver que ela é meromorfa nos pontos do reticulado, isole o termo 1/z^3 numa vizinhança de zero, repita os argumentos de cv uniforme e veja que a derivada "existe". Como f é periódica, acabou. Outra demonstração: tome |z| < 1/3, expanda todos os termos exceto 1/z^3 em potências de z, usando 1/(z - a) = soma da série geométrica, depois derivando a série 2 vezes, troque a ordem das somas (atenção para aplicar Fubini direitinho) e veja que a série assim obtida é um desenvolvimento de Laurent. Essa é uma das funções de Weierstrass. Existe uma outra, mais importante, que é a primitiva desta, mas é mais difícil mostrar que a primitiva é periódica ;-) (e também é mais difícil mostrar que a primitiva é uma função meromorfa bonitinha). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Funções periódicas nos complexos
2013/9/2 Artur Costa Steiner : > Olá amigos, Oi Artur, > Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo > análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor > absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos > inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No > caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i. Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são 1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno meio "especial", o que você falou está perfeitamente certo. Para ser formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo / f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min = inf { |p| / p período, p != 0 }. > Mas pode haver outros períodos que não sejam múltiplos inteiros de p. É fácil > ver que estes últimos não estão sobre a reta acima citada. Ouvi, e não > consegui provar, que, dentre os períodos não múltiplos inteiros de p, há um > p' cuja distância à reta dos múltiplos inteiros de p é positiva e mínima. O > que eu consegui provar é que a distância euclidiana entre o conjunto dos > períodos da forma np, n inteiro, e o conjunto dos outros períodos é positiva. É basicamente um argumento de "inf = min em conjuntos discretos". Considere todos os períodos que não estão na reta pZ, chame este conjunto de PP. Eles estão todos a distância maior ou igual a r da origem, e pela minimalidade de p, há apenas um número finito deles em qualquer disco de raio R. Considere portanto uma aplicação f : PP inter D_R x [0,p] -> R dada pela distância de um ponto periódico em D_R e um ponto no segmento 0-p. Ela é contínua, logo admite um mínimo diferente de zero. Agora, se R é suficientemente grande, por conta da simetria de translação, este mínimo será também o mínimo da função F : PP x pR -> R distância. (Formalize este último argumento. Dica: comece estimando o mínimo com um ponto qualquer q em PP.) Hum, relendo tudo aqui, eu vi que eu me confundi com "a reta dos múltiplos inteiros" e provei que o mínimo é para todos os pontos da reta, e não apenas (como fica claro na parte seguinte) que são apenas os pontos pZ e "todos os outros pontos" que você está falando. A demonstração, entretanto, é exatamente a mesma. Não dá pra fugir da compacidade ;-). Dê uma olhada em "lattices" na Wikipedia (em inglês, ou, com mais figuras ainda, "réseaux" em francês). (adendo: palavrinha chata, ela se diz "reticulado" ou "retículo" em português... muitas diferenças em línguas simples!) > Parece também que p/p' não é real. E que o conjunto de todos os períodos é o > conjunto das combinações lineares inteiras de p e de p'. Que tais combinações > são períodos é imediato, mas além disto não há nenhum período que não se > enquadre em tais combinações. Isso é um argumento muito legal de álgebra "linear" com coeficientes inteiros / racionais. A idéia intuitiva é que um reticulado com mais do que n geradores L.I. sobre Q, todos os geradores em R^n, não é discreto. Assim, se p/q fosse real, teríamos dois geradores independentes sobre Q, logo uma seqüência de pontos z_n -> 0 onde f(z_n) = f(0), logo f seria constante (e aqui você usa que f é analítica). > Eu estou certo? Alguém conhece este assunto? Se você quiser olhar para as funções meromorfas (bi-)periódicas, estas são as belíssimas funções p de Weierstrass, e têm a ver com Teo dos Números e geometria complexa. Se for mais a parte de Álgebra Linear, tem também várias coisas (e também muitas coisas de Teo dos Números, claro), e daí eu conheço menos... > Abraços > > Artur Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Funções periódicas nos complexos
Olá amigos, Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i. Mas pode haver outros períodos que não sejam múltiplos inteiros de p. É fácil ver que estes últimos não estão sobre a reta acima citada. Ouvi, e não consegui provar, que, dentre os períodos não múltiplos inteiros de p, há um p' cuja distância à reta dos múltiplos inteiros de p é positiva e mínima. O que eu consegui provar é que a distância euclidiana entre o conjunto dos períodos da forma np, n inteiro, e o conjunto dos outros períodos é positiva. Parece também que p/p' não é real. E que o conjunto de todos os períodos é o conjunto das combinações lineares inteiras de p e de p'. Que tais combinações são períodos é imediato, mas além disto não há nenhum período que não se enquadre em tais combinações. Eu estou certo? Alguém conhece este assunto? Abraços Artur Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =