Eu tinha umas relações da forma (ab+ac+bc)/abc com alturas e senos, mas
não sei onde guardei. Sobre as ternas:
Sabe-se que
(m²-n²)² + (2mn)² = (m²+n²)²
Seja a=(m²-n²), b=2mn e c = (m²+n²)
Divisibilidade por 4:
Para m par e n par é automático 4|abc
Para m ímpar e n par, 4|2mn, então 4|abc
Para m ímpar e n ímpar, é garantido que m² e n² são divisíveis por 2
(melhor, por 4 ja que ambos são da forma 4k+1 m² é côngruo a n² módulo
4), como b é divisível por 2 fica 4|abc.
(2k+1)² = 4k²+4k+1 = 4(k²+k)+1 - 4r+1
Divisibilidade por 3:
Caso em que a ou b é da forma 3k é automático 3|abc.
Caso em que a ou b são da forma 3k+1 ou 3k+2:7
(3k+1)² = 9k²+6k+1 - 3(3k²+2k)+1 - 3r+1
(3k+2)² = 9k²+12k+4 - 3(3k²+4k+1)+1 - 3r+1
Ou seja, a² é côngruo com b² módulo 3.
m²-n² garante 3|abc.
Divisibilidade por 5:
Caso em que a ou b é da forma 5k é automático 5|abc.
Caso em que a ou b são da forma 5k+1 ou 5k+4:
(5k+1)² = 25k²+10k+1 - 5(5k²+2k)+1 - 5r+1
(5k+4)² = 25k²+40k+16 - 5(5k²+8k+3)+1 - 5r+1
Caso em que a ou b são da forma 5k+2 ou 5k+3:
(5k+2)² = 25k²+20k+4 - 5(5k²+4k)+4 - 5s+4
(5k+3)² = 25k²+30k+9 - 5(5k²+6k+1)+4 - 5s+4
Para o caso de a e b serem da forma 5k+1 ou 5k+4, m² é côngruo a n²
módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc.
Para o caso de a e b serem da forma 5k+2 ou 5k+3, m² é côngruo a n²
módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc.
No caso de m² ser incôngruo a n², temos que suas somas são côngruas
módulo 5. Um é da forma 5k+1 ou 5k+4 e o outro é da forma 5k+2 ou 5k+3.
Logo um deles assume a forma 5r+1 e o outro a forma 5s+4 oui
vice-versa. Portanto m²+n² garante 5|abc.
Portanto 3.4.5 = 30|abc sendo a,b,c uma terna pitagórica.
Em Mon, 28 Apr 2014 19:31:59 -0700 (PDT)
luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:
Ola Pessoal,
Eu não sei se já postei isso aqui, mas trabalhando em alguns
problemas, encontrei algumas coisas interessantes :
A) Relações Trigonométrica entre os ângulos de um triângulo
qualquer (fiz os cálculos usando um triangulo acutângulo qqer de
lados x,y e z)
1) Cos2X + Cos2Y + Cos2Z +
2CosXCosYCosZ = 1
Quando um dos ângulos é 90º , a relação se reduz a :
Cos2X + Cos2Y = 1
Como X+Y = 90º
Cos2X + Sen2X = 1
De (1), resultam as seguintes relações :
2) Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2X
3) Cos2X + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2Y
4) Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ = Sen2Z
5) 4R2 (Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ)
= z2
E as outras relações envolvendo R e x e R e y
R raio do círculo circunscrito e x,y e z lados do triangulo.
6) 2 = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z
- 2CosXCosYCosZ
6) 1 + Sen2X + Cos2X = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ
Pela lei dos Senos, temos que SenX, SenY e SenZ formam um
triangulo semelhante ao triângulo de lados x, y e z. Dessa forma,
temos :
Sen2Z = Sen2X + Sen2Y - 2SenXSenYCosZ
De (4) temos que :
Sen2Z = Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ
Ou seja, os triângulos de lado SenX, SenY e SenZ e CosX,
CosY e SenZ formam um quadrilátero inscritível com diagonal SenZ, em
um cíuculo cujo raio R = ½
A) Ternos Pitagóricos Primitivos
Dado o terno pitagórico a,b e c, 3 x 4 x 5 = 60 divide abc
Eu procurei na internet e não achei essas relações. Vcs sabem de
alguma coisa?
Abs
Felipe
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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