Oi
gente.. Tentei fazer as questoes do 1o dia da imc. Estamos ansiosospor
noticias de como o pessoal esta indo na prova! Ao contrario da IMO, naIMC
nao eh o lider que corrige as provas do pais. Ele participa da banca deuma
determinada questao e depois participa da revisao de notas dos seusalunos.
Por esse motivo, seria interessante que voces postassem asprincipais
solucoes para que o pessoal da lista possa ajudar.. Quem
nao quiser ver as solucoes, pare de ler por aqui. Vou escreverminhas
solucoes, leiam com atencao e me avisem se notarem algoerrado. O 1,2,3 eram
mais faceis. O 5 eu escrevi 2 linhas sem mto nexo la embaixo :) e no 6 eu
usei um resultado nao obvio de analise complexa (e puleialgumas contas que
teriam de ser feitas na prova).Ja o 4 eu demorei bastante (um pouco mais q o
2o tempo inteiro do jogo BrasilxArgentina) e achei que tinha feito. Mas depois
eu fui ver a solucao do mathlinks e vi que era bem curta, mto simples, e comeco
a achar que a minha esta errada (alem de ser completamente gigante).
Em tempo: eu acabei de ver a
prova do 2o dia. A primeira eh bem simples, usa uma ideia analoga a que foi
usada na 1 do 2o dia do ano passado :) Mas as outras parecem estar bem mais
dificeis do que as de hoje!! Nao tenho ideia alguma para a 2 por exemplo..
Abracos,
Marcio> >1) Let S
be an infinite set of real numbers such that> >|s_1 + s_2 + ... + s_k|
for every finite subset> >{s_1,s_2,...,s_k} of S. Show that S is
countable Escreva S = A U B, onde A e B sao
respectivamente os subconjuntos denao-negativos e nao-positivos de
S. Vamos provar que A e B sao enumeraveis e portanto S tmb
é (por ser uniaode 2 enumeraveis). A enumeracao eh a
seguinte (A e B sao analogos). Se A eh finito, ehsimples. Caso
contrario,coloque x_1 = max{A}, x_2 = max{A-{x_1}}, x_3 =max{A-{x_1,x_2}}, e
assim por diante. Isso funciona pq todos esses conjuntos
admitem maximo!De fato, suponhaque um conjunto X com infinitos termos e tq
todo subconjunto tem modulo dasoma de seus elementos maior que 1 nao tenha
maximo. Seja c = supX. Entao,existem infinitos elementos de X no intervalo
(c/2, c) (pq em todointervalo (c-eps, c) deve haver elemento de X e vc
sempre pega um 'maisproximo' de c) e pegando [2/c]+1 deles, a soma eh maior
que (2/c)*c/2 = 1.> >2)Let P(x) = x^2 - 1. How many distinct real
solutions> >does the following equation have:>
>P(P(...(P(x))...)) = 0? [com P sendo aplicado 2004>
>vezes] Tem 2005 raizes. Vamos provar dois resultados
por inducao que claramenteimplicam isso. (Vou chamar P(...(P(x)...)
com P aplicado k vezes de P_k(x))(i) A equacao P_n (x) = 0 tem sempre
n+1 solucoes.(ii)A equacao [P_n (x) ]^2 = 1+a, com a>0 tem sempre 2
solucoes. Para n = 1, o resultado eh bem obvio, basta
olhar pro grafico de p(x) =x^2 - 1. Para n = 2, tmb eh
bem direto.Suponha valido ateh n. (i) Considere a
equacao P_n+1 (x) = 1+a, a>0 equivale a ([P_n (x)]^2 -1)^2 = 1+a. Como
P_n ^2 eh sempre positivo, isso eh equivalente a (P_n(x))^2 = 1 + sqrt(a),
que por hipotese de inducao tem 2 solucoes. (ii) P_n+1 (x)
= 0 sse (P_n (x))^2 - 1 = 0 sse P_n(x) = 1 ou P_n(x)= -1. No primeiro caso,
[P_n-1 (x)]^2 - 1 = 1, e pela hipotese de inducao(ii) isso tem exatamente
duas raizes (equivale a (P_n-1 (x) )^2 = sqrt(2) >1). No segundo caso,
[P_n-1 (x)]^2 - 1 = -1 sse P_n-1(x) = 0 e pela hipotesede inducao (i) isso
tem exatamente n-1+1 = n raizes (distintas das outras2), de forma que a
equacaoP_n+1 (x) = 0 tem n+2 solucoes de fato.> >3) Let S_n be
the set of all sum x_1+x_2+...x_n, where> >n>=2,
0<=x_1,...,x_n<="pi"/2 and> >sin(x_1) + sin(x_2) + ... +
sin(x_n) = 1> >a) Show that S_n is an interval.> >b)Let l_n
be the length of S_n. Find lim(n->infinito)(l_n).a) Por Jensen,
sen[(x_1+...x_n)/n] >= (senx1+ ... +sen xn)/n = 1/n. Logo,x1+...+xn >=
n * arcsen(1/n). Sabemos que senx >= 2x/pi para x em
[0,pi/2] (isso segue da concavidadedo seno), de forma quex1+x2+...+xn
<= pi/2 (senx1+...senxn) = pi/2. Para mostrar que a imagem eh
o intervalo (n * arcsen(1/n), pi/2) vocepode soh citar a continuidade da
funcao ou mostrar usando soh o TVIunidimensional, vendo que dado t nesse
intervalo, sempre consigo escolher ade forma que x1=x2=...=x_n-1 = a/(n-1),
x_n = t -a e (n-1)sen[a/(n-1)] +sen(t-a) = 1 (encare o lhs como um
f(a) e veja que f(0) = sen t <= 1 e sendoa' tq a'/(n-1) = t-a', f(a') =
n*arcsen(1/n) >= 1).b) A letra (b) eh consequencia do limite fundamental
senx/x = 1 qdo x -> 0.A resposta eh portanto pi/2 - 1.>
>4)Suppose n>=4 and let M be a finite set of n points in> >R^3,
no four of which lie in a plane. Assume that the> >points can be
coloured black or white so that any of> >the sphere which intersect M
in at least four points have> >the property that exactly half of the
points in the> >intersection of M and the sphere are white.
Prove that> >all of the points in M lie on one sphere. ...
...> >5) Let X be a set of
