Hah um engano, a expressao dada nao pode ser a soma dos quadrados dos n
primeiros numeros impares, pois, para n=1, ela teria que dar 1, e nao
5/3.
Acho que o certo eh n(4n^2 - 1)/3.
Jah que temos uma sugestao para a formula, vamos verificar por inducao
finita. Para n=1, obtemos 1 - OK. Admitindo-se que a formula valha para
algum natural n e sendo S_n a soma dos quadrados dos n primeiros numeros
impares, temos que S_n+1 = S_n + (2n+1)^2 = n(4n^2 - 1)/3 + (2n+1)^2 =
n(2n-1)(2n+1)/3 + (2n+1)^2 = (2n+1) [n(2n-1)+3(2n+1)]/3 =
(2n+1)[2n^2+5n+3]/3= (2n+1)(n+1)(2n+3)/3 = (n+1)(2n+1)(2n+3)/3. Dado que
S_n = n(4n^2 - 1)/3 = n(2n-1)(2n+1)/3, vemos que a expressao de S_n+1 eh
obtida de S_n substituindo-se n por n+1. Isto completa a inducao e
mostra que a formula eh valida (a corrigida, nao a original).
O que temos aqui eh a soma dos quadrados dos n primeiros termos de uma
PA, no caso a PA dos numeros impares. Existe uma formula geral (dificil
de se guardar) para a soma dos n primeiros termos de uma PA elevados a
k, poderiamos simplesmente aplicar tal formula sem recorrer a inducao
finita. Sabemos que esta formula corresponde a um polinomio do grau k+1
em n no qual o termo independente eh nulo. Logo, no caso temos um pol.
Do grau 3 em n com termo independente nulo. Basedos nisto, uma forma
mais simples de checarmos se a expressao eh correta, e que evita o
algebrismo que realizamos, eh verificar se a mesma eh um pol. em n (e
de fato eh), se o termo independente eh nulo (claramente eh) e se a
expressao bate para n=1 , 2 e 3 (existe um e apenas um pol. do terceiro
grau que atende a estas condicoes). Verificamos sem muito esforco que
este eh o caso, conclusao que valida a formula.
Provas por inducao finita sao interessantes, mas exigem que se conheca
previamente a conclusao que se deseja provar. Assim, para aplica-las, vc
tem, seja porque analisou o problema, seja porque (como no caso) alguem
lhe disse ou seja porque vc teve uma especie de inspiracao divina, que
desconfiar previamente que sua formula ou conclusao eh valida
Finalizo sugerindo a vc um problema simples e interessante a ser
resolvido por inducao: baseado em que a soma dos n primeiros naturais eh
dada por n(n+1)/2, mostre que a soma dos cubos dos n primeiros naturais
eh o quadrado da soma dos mesmos,
Espero ter ajudado um pouco.
Artur
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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