RES: [obm-l] Integral maior q zero

[Artur Costa Steiner]

1) Fcamos G(x) = F(x) - Lnx = Int [1a x]  (e^t)*dt /t   - Int [1a x]  1/t dt =  
Int [1a x]  ((e^t) -1)/t dt /t   
 
Para  0  x  1, o integrando eh negativo, de modo que a integral de x a 1 
torna-se menos negativa aa medida que x aumenta. Assim, a integra de 1 a x 
torna-se menos positixa, a  funcao portanto decresce.
 
Para x =1, G(x) = 0
 
Para x 1, o integrando eh positivo e G cresce.
 
Logo, G tem um minimo global em x* =1, o que signfica que G(x) = G(x*) = 0 
para todo x, com igualdade sse x =1. Equivale a dizer que Ln x = F(x) para 
todo x, com igualdade sse x =1
 
 
 
2) Provar que 1/(x+1/2)  Ln(1+1/x)  1/x  para todo x0
 
Segundo conhecida desigualdade (oriunda to T. do Valor Medio), Lny = y-1 para 
todo y 0. com igualdade sse y =1. Logo, Ln (1+ y) =y Fazendo y =1/x, obtemos 
Ln(1/x)= 1/x -1 e, portanto, Ln(1 + 1/x)  1/x para todo x 0. As funcoes 
tendem a se igualar no infinito
 
A desigualdade da direita equivale a dizer que 1/(1/y +2) = y/(1 + 2y)  Ln(1 + 
y) para todo y 0. Ambas as expressoes tendem a 0 quando y -0. Desta forma, 
podemos comparar as derivadas (baseados na conhecida formuma f(x) = f(0) + x 
f'(0) + o(x)) .
 
 (y/(1 + 2y))' = 1/(1 + 2y)^2   (Ln(1 + y))' = 1/(1 +y)   
 
A condicao sera atendida para y  0 sse  1 + y  (1 + 2y)^2 = 1 + 4y + 4y^2 , 
que eh claramente satisfaita. Isso prova a desigualdade da esquerda  
 


[Artur Costa Steiner] 
 
 
 
 
 
 
 ---Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Leonardo Borges Avelino
Enviada em: domingo, 13 de maio de 2007 14:26
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Integral maior q zero



1)
F(x)=  t  , x0

Para quais valores de x vale: Ln x = F(x)



2) Provar que 1/(x+1/2)  Ln(1+1/x)  1/x  para todo x0

[obm-l] Integral maior q zero

[Leonardo Borges Avelino]

1)
F(x)= Int [1a x]  (e^t)*dt / t  , x0

Para quais valores de x vale: Ln x = F(x)



2) Provar que 1/(x+1/2)  Ln(1+1/x)  1/x  para todo x0

Re:[obm-l] Integral maior q zero

[claudio\.buffara]

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sun, 13 May 2007 14:25:59 -0300
Assunto: [obm-l] Integral maior q zero

 1)
 F(x)= Int [1a x]  (e^t)*dt / t  , x0
 
 Para quais valores de x vale: Ln x = F(x)

Seja G(x) = F(x) - log(x).
Entao:
G'(x) = (e^x - 1)/x ==
G'(x)  0, se 0  x  1;
G'(1) = 0;
G'(x)  0, se x  1.

Logo, 1 eh um ponto de minimo global de G, com G(1) = 0.
Ou seja, G(x) = 0, para todo x  0 ==
log(x) = f(x), para tdod x  0, com igualdade sss x = 1.
   
 
 
 2) Provar que 1/(x+1/2)  Ln(1+1/x)  1/x  para todo x0
 

Faca y = 1/x. 
Entao o problema fica provar que:
2y/(y+2)  log(1+y)  y, para todo y  0.

Quando y - 0+, todos as tres expressoes tendem a 0.
Assim, basta mostrar que vale a desigualdade das derivadas, ou seja:
4/(y+2)^2  1/(1+y)  1

A segunda desigualdade eh obvia.
A primeira tambem: ela equivale a y^2  0 (faca as contas e veja).

[]s,
Claudio.

 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=