Re: [obm-l] Inteiros de novo
2^n=(2k+1)(2x+1)^2-1=(2k+1)(4x^2+4x+1)-1=2k(4x^2+4x+1)+4x^2+4x= 2(k(4x^2+4x+1)+2x^2+2x) 2^(n-1)=(4k+2)x^2+(4k+2)x+k delta=16k^2+16k+4-16k^2-8k=8k+4 x=(-2k-1+-sqrt(2k+1))/2(2k+1) 2^(n)=(2(2k+1)x+2k+1-sqrt(2k+1))(2(2k+1)x+2k+1+sqrt(2k+1))/(2k+1) 2k+1=y^2 y^22^n=(2y^2x+y^2-y)(2y^2x+y^2+y) 2^n=(2yx+y-1)(2yx+y+1) dois numeros quase consecutivos potencia de 2 2yx+y-1=2 2yx+y+1=4 n=3 2yx+y=3, y(2x+1)=3 2015-01-05 17:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Determine todos os inteiros positivos n tais que (2^n +1) / n^2 é inteiro -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Inteiros de novo
Determine todos os inteiros positivos n tais que (2^n +1) / n^2 é inteiro -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Bom dia!
Atrasado; porém, com outra solução.
n^2 + (n+1)^2 = m^3 == 2n^2 + 2n + 1 - m^3 =0
n^2 + n + (1-m^3)/2 = 0
n = (-1 ± Raiz (2m^3-1))/2
n Ɛ Z == 2m^3-1 é um quadrado perfeito.
Da primeira equação temos que: m Ɛ 2Z +1 (i)
2m^3 -1 Ɛ 2Z +1. Se é um quadrado perfeito pode ser escrito da forma 4 y(y
+1) +1, y Ɛ Z, pois,
x Ɛ 2Z +1 == Ǝ y Ɛ Z | x = 2y + 1 == x^2 = 4y^2 + 4y + 1 = 4y (y+1) +1;
(i) == Ǝ s Ɛ Z | m = 2s + 1 == 2m^3 - 1 = 16s^3 + 24s^2 + 12s + 1 =
= 4s(4s^2+6s+3) + 1.
Para ser quadrado perfeito:
4s(4s^2+6s+3) = 0 (i); pois 1 = 4.0.1 + 1 ou
s + 1 = 4s^2+6s+3 (ii) ou
s = 4s^2+6s+4 (iii)
(i) só aceita s =0 como raiz inteira.
(ii) não aceita raízes inteiras.
(iii) não aceita raízes inteiras.
s=0 == m=1 == só há solução para m =1 == n=0 ou n= -1.
S = {(-1,1) , (0,1)}
Saudações,
PJMS
Em 30 de setembro de 2014 15:04, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
Boa tarde!
Só que eu achei as soluções de orelhada. Como 1 é elemento neutro da
multiplicação se o lado esquerdo fosse 1 haveria raízes.
Porém não consegui provar que eram as únicas soluções.
Do jeito que você apresentou ficou claro.
Bela resolução!
Saudações,
PJMS.
Em 30 de setembro de 2014 13:11, Douglas Oliveira de Lima
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:
Olá rabisquei bem esse problema, achei muito legal, olha considerei uma
equação xˆ2+yˆ2=zˆ3, e fiz uma jogada parecida com a identidade de
fibonacci.
Vamos ver se esta equação xˆ2+yˆ2=zˆ3 tem soluções inteiras.
Suponha z = a2 + b2 = z3 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = a6 + 9a4b2 –
6a4b2 + 9a2b4 – 6a2b4 + b6 =
z3 = (a6 – 6a4b2 + 9a2b4) + (9a4b2 – 6a2b4 + b6)
Temos então a identidade: (a3 – 3ab2)2 + (3a2b – b3)2 = (a2 + b2)3
Variando a e b temos infinitos valores para x2 + y2 = z3.
(1)Agora observe que no seu caso, o n=aˆ3-3abˆ2 e n+1=3aˆ2b-bˆ3, assim
resolvendo o sistema teremos (a+b)(3ab+ab-aˆ2-bˆ2)=1 , ou ambos são iguais
a 1 , ou ambos são iguais a -1 , bom resolvi os dois, com ambos iguais a 1
não teve solução, porém com ambos os fatores iguais a -1 achei solução a=-1
e b=0 ou a=0 e b=-1, Assim já temos as soluções que o Pedro encontrou.
(2)Se invertermos o caso (1) assim n+1=aˆ3-3abˆ2 e n=3aˆ2b-bˆ3, teremos
as mesmas raízes.
Com relação a todos os casos supracitados acredito que as únicas soluções
são as mesmas do Pedro.
Abraços do Douglas Oliveira.
Em 29 de setembro de 2014 17:33, Pedro José petroc...@gmail.com
escreveu:
Boa tarde!
É complicado mesmo, mas tem de fazer ressalva para n 0 e n -1;
pois para esses casos há solução (0,1) e (-1,1).
Saudações,
PJMS
Em 28 de setembro de 2014 22:11, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
--
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +
Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.
2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0
Delta = 4(2m^3 + 1)
2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par
2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma
contradição.
--
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 +
Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n
inteiros.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Meus agradecimentos e meus parabéns ao Douglas e ao Pedro.Vocês mandaram muito bem. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Olá rabisquei bem esse problema, achei muito legal, olha considerei uma equação xˆ2+yˆ2=zˆ3, e fiz uma jogada parecida com a identidade de fibonacci. Vamos ver se esta equação xˆ2+yˆ2=zˆ3 tem soluções inteiras. Suponha z = a2 + b2 = z3 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = a6 + 9a4b2 – 6a4b 2 + 9a2b4 – 6a2b4 + b6 = z3 = (a6 – 6a4b2 + 9a2b4) + (9a4b2 – 6a2b4 + b6) Temos então a identidade: (a3 – 3ab2)2 + (3a2b – b3)2 = (a2 + b2)3 Variando a e b temos infinitos valores para x2 + y2 = z3. (1)Agora observe que no seu caso, o n=aˆ3-3abˆ2 e n+1=3aˆ2b-bˆ3, assim resolvendo o sistema teremos (a+b)(3ab+ab-aˆ2-bˆ2)=1 , ou ambos são iguais a 1 , ou ambos são iguais a -1 , bom resolvi os dois, com ambos iguais a 1 não teve solução, porém com ambos os fatores iguais a -1 achei solução a=-1 e b=0 ou a=0 e b=-1, Assim já temos as soluções que o Pedro encontrou. (2)Se invertermos o caso (1) assim n+1=aˆ3-3abˆ2 e n=3aˆ2b-bˆ3, teremos as mesmas raízes. Com relação a todos os casos supracitados acredito que as únicas soluções são as mesmas do Pedro. Abraços do Douglas Oliveira. Em 29 de setembro de 2014 17:33, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Boa tarde! É complicado mesmo, mas tem de fazer ressalva para n 0 e n -1; pois para esses casos há solução (0,1) e (-1,1). Saudações, PJMS Em 28 de setembro de 2014 22:11, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1) -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?) Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 + Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar. 2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0 Delta = 4(2m^3 + 1) 2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par 2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição. -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?) Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 + Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n inteiros. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Boa tarde! Só que eu achei as soluções de orelhada. Como 1 é elemento neutro da multiplicação se o lado esquerdo fosse 1 haveria raízes. Porém não consegui provar que eram as únicas soluções. Do jeito que você apresentou ficou claro. Bela resolução! Saudações, PJMS. Em 30 de setembro de 2014 13:11, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Olá rabisquei bem esse problema, achei muito legal, olha considerei uma equação xˆ2+yˆ2=zˆ3, e fiz uma jogada parecida com a identidade de fibonacci. Vamos ver se esta equação xˆ2+yˆ2=zˆ3 tem soluções inteiras. Suponha z = a2 + b2 = z3 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = a6 + 9a4b2 – 6a 4b2 + 9a2b4 – 6a2b4 + b6 = z3 = (a6 – 6a4b2 + 9a2b4) + (9a4b2 – 6a2b4 + b6) Temos então a identidade: (a3 – 3ab2)2 + (3a2b – b3)2 = (a2 + b2)3 Variando a e b temos infinitos valores para x2 + y2 = z3. (1)Agora observe que no seu caso, o n=aˆ3-3abˆ2 e n+1=3aˆ2b-bˆ3, assim resolvendo o sistema teremos (a+b)(3ab+ab-aˆ2-bˆ2)=1 , ou ambos são iguais a 1 , ou ambos são iguais a -1 , bom resolvi os dois, com ambos iguais a 1 não teve solução, porém com ambos os fatores iguais a -1 achei solução a=-1 e b=0 ou a=0 e b=-1, Assim já temos as soluções que o Pedro encontrou. (2)Se invertermos o caso (1) assim n+1=aˆ3-3abˆ2 e n=3aˆ2b-bˆ3, teremos as mesmas raízes. Com relação a todos os casos supracitados acredito que as únicas soluções são as mesmas do Pedro. Abraços do Douglas Oliveira. Em 29 de setembro de 2014 17:33, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu: Boa tarde! É complicado mesmo, mas tem de fazer ressalva para n 0 e n -1; pois para esses casos há solução (0,1) e (-1,1). Saudações, PJMS Em 28 de setembro de 2014 22:11, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1) -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?) Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 + Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar. 2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0 Delta = 4(2m^3 + 1) 2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par 2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição. -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?) Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 + Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n inteiros. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Boa tarde! É complicado mesmo, mas tem de fazer ressalva para n 0 e n -1; pois para esses casos há solução (0,1) e (-1,1). Saudações, PJMS Em 28 de setembro de 2014 22:11, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1) -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?) Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 + Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar. 2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0 Delta = 4(2m^3 + 1) 2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par 2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição. -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?) Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 + Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n inteiros. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n inteiros. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0Delta = 4(2m^3 + 1)2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par 2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?) Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 + Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n inteiros. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1) From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?) Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 + Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0Delta = 4(2m^3 + 1)2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par 2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?) Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 + Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n inteiros. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Inteiros(de novo)
Para a primeira,fazendo x = y da pra ver que há infinitas soluções2x^2 = y^3basta tomar x é da forma 2^(3n+1).b^3 e y = x^1/3mas eu gostaria de resolver a equaçãoA segunda equação seria um caso particular da primeira Date: Thu, 16 Jan 2014 20:09:56 -0200 Subject: Re: [obm-l] Inteiros(de novo) From: saulo.nil...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br (2,2,2) 2014/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros(de novo)
x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3 y^3+y^2-4=z^3 (-2,-2), (2,2) 2014/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Inteiros(de novo)
(2,2,2) 2014/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Inteiros(de novo)
Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
