Bom, tente imaginar que o que está ao lado do '/' é um ideal gerado pelo
polinômio x²+1, ou seja
x² + 1 = {(x²+1).f(x), f(x) pertencendo a R[X]}
R[x]/x^2 + 1 é um anel de polinômios em x com coeficientes em R, por ser o
quociente de anéis, temos que x²+1 é um elemento neutro, temos então uma
classe de elementos, assim como teríamos tomando Zn (neste caso teríamos 1 =
n+1 = 2n+1 = ...).
no caso de polinômios temos por exemplo que x + 1 = x² + x + 2 = (x² +
1).g(x) + x + 1 = ...
o que significa que as nossas classes de polinômio podem ser definidas de
forma única pelos restos da divisão de polinômios de R[X] por x²+1.
é bom explicar isso porque a '/' não é uma divisão de polinômios nem nada
desse tipo, o conceito é mais geral e sutil.
agora a mágica da coisa... tome o elemento x + x² + 1 em R[x]/x^2 + 1,
veja que esse elemento é raiz do polinômio x² + 1, pois (x + x² + 1)² =
(x² + 1) + x² + 1 = 0!
então agora fica simples ver que o elemento x + x² + 1 é o i dos
complexos!
o isomorfismo aparece daí, pois basta ver que os polinômios desse nosso anel
(que na verdade é um corpo pois x²+1 é irredutível) são representados por
polinômios de grau 1 em x, logo são da forma ax + b, sabendo que o x e o i
são a mesma coisa, vemos que os elementos desse corpo são da forma ai + b,
com a e b reais... preciso ser mais formal que isso?
se os corpos são isomorfos então sua cardianlidade é a mesma, logo há
infinitos elementos em C e em R[x]/x^2+1.
obs: note que R[x]/x^2 + 1 é corpo porque x²+1 é irredutível...
espero ter ajudado mais do que complicado!
[ ]'s
- Original Message -
From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, October 12, 2003 6:44 PM
Subject: [obm-l] Interpretaçao do corpo R[x]/(x^2 + 1)
Qual sao os elementos de R[x]/(x^2 + 1)???Sao todos
os restos de polinomios de coeficientes reais que sao
divididos por x^2 + 1???Entao esse resto poderá ser um
polinomio???Pq se diz que ele é isomorfo ao corpo dos
complexos???É pq a raiz de x^2 + 1 é i(unidade
imaginaria)???Quantos elementos possui este corpo??
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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