Re: [obm-l] Irredutíveis e Anéis
Se p divide (a+b.raiz(3))(c+d.raiz(3)), entao p divide (a^2-3b^2)(c^2-3d^2), e logo p divide um desses fatores, digamos a^2-3b^2. Como x^2-3 'e irredutivel, e logo nao tem raiz em Z/pZ, se p divide a^2-3b^2 entao p divide b (senao b e' invertivel em Z/pZ, e a/b e' raiz de x^2-3), e logo p divide a, donde p divide a+b.raiz(3). Abracos, Gugu --_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Preciso de ajuda com o exerc=EDcio 3 da se=E7=E3o IV.4 do livro Elementos= de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides): a) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a Z[x]/(x^2-3). b) Seja p um primo de Z. Mostre que p =E9 um elemento primo de Z[raiz(3)]= se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9 irredut=EDvel em (Z/pZ)[x]. Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) =E9 o n=FAcleo do homomor= fismo sobrejetor H:Z[x] - Z[raiz(3)] dado por H(f(x)) =3D f(raiz(3)) e i= nvocando o teorema dos homomorfismos. No item (b) eu provei que se p =E9 primo em Z[raiz(3)] ent=E3o x^2 - 3 =E9= irredut=EDvel (de fato, eu provei o contrapositivo): x^2 - 3 n=E3o =E9 irredut=EDvel em Z_p[x] =3D=3D x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x] =3D=3D existe um inteiro a tal que a^2 =3D=3D 3 (mod p) =3D=3D p divide a^2 - 3 =3D (a + raiz(3))(a - raiz(3)) em Z[raiz(3)]. Mas p n=E3o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois se dividisse, teria q= ue dividir os coeficientes de raiz(3) respectivos, iguais a 1 e -1, o que= =E9 uma contradi=E7=E3o, pois p =E9 um primo de Z. Logo, p n=E3o =E9 primo em Z[raiz(3)]. No entanto, n=E3o estou conseguindo provar a rec=EDproca. Imagino que, de= alguma forma, eu tenha que usar o item (a). Qualquer ajuda ser=E1 bem vinda. []s, Claudio. --_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable DIVPreciso de ajuda comnbsp;o exerc=EDcio 3 da se=E7=E3o IV.4 do livro= Elementos de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides= ):/DIV DIVnbsp;/DIV DIVa) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a Z[x]/(x^2-3)./DIV DIVnbsp;/DIV DIVb) Seja p um primo de Z. Mostre que p =E9 um elemento primo de Z[rai= z(3)] se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9 irredut=EDvel em (Z/pZ)[x= ]./DIV DIVnbsp;/DIV DIVEu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) =E9 o n=FAcleo do ho= momorfismo sobrejetor H:Z[x] -gt; Z[raiz(3)]nbsp;dado por H(f(x)) =3D f= (raiz(3)) e invocando o teorema dos homomorfismos./DIV DIVnbsp;/DIV DIVNo item (b) eu provei que se p =E9 primo em Z[raiz(3)] ent=E3o x^2 -= 3 =E9 irredut=EDvel (de fato, eu provei o contrapositivo):/DIV DIVx^2 - 3 n=E3o =E9 irredut=EDvel em Z_p[x]nbsp; lt;=3D=3Dgt;/DIV= DIVx^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x]nbsp; lt;=3D=3Dgt;/DIV DIVexiste um inteiro a tal que a^2 =3D=3Dnbsp;3 (mod p) =3D=3Dgt;/DI= V DIVnbsp;/DIV DIVp divide a^2 - 3 =3D (a + raiz(3))(anbsp;- raiz(3)) em Z[raiz(3)].= /DIV DIVnbsp;/DIV DIVMas p n=E3o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois se dividisse, te= ria que dividir os coeficientes de raiz(3)nbsp;respectivos, iguais a 1 e= -1, o que =E9 uma contradi=E7=E3o, pois p =E9 um primo de Z./DIV DIVLogo, p n=E3o =E9 primo em Z[raiz(3)]./DIV DIVnbsp;/DIV DIVNo entanto, n=E3o estou conseguindo provar a rec=EDproca. Imagino qu= e, de alguma forma, eu tenha que usar o item (a)./DIV DIVnbsp;/DIV DIVQualquer ajuda ser=E1 bem vinda./DIV DIVnbsp;/DIV DIV[]s,/DIV DIVClaudio./DIV DIVnbsp;/DIV --_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759-- = Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Irredutíveis e Anéis
estou meio enferrujado, nao sei se esta certo mas ai vai: Z[sqrt3] isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3) = Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3)/(p) = Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3 ,p) = Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(p)/(x^2 - 3 ,p)/(p) = Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Zp[x]/(x^2 - 3) Desde que x^2 -3 é irredutivel=primo(hipotese) em Zp[x](Zp[x] é DFU) =Zp[x]/(x^2 - 3) é anel de integridade = Z[sqrt3]/(p) é anel de integridade = (p) é primo em Z[sqrt3]. --- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se p divide (a+b.raiz(3))(c+d.raiz(3)), entao p divide (a^2-3b^2)(c^2-3d^2), e logo p divide um desses fatores, digamos a^2-3b^2. Como x^2-3 'e irredutivel, e logo nao tem raiz em Z/pZ, se p divide a^2-3b^2 entao p divide b (senao b e' invertivel em Z/pZ, e a/b e' raiz de x^2-3), e logo p divide a, donde p divide a+b.raiz(3). Abracos, Gugu --_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759 Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable Preciso de ajuda com o exerc=EDcio 3 da se=E7=E3o IV.4 do livro Elementos= de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides): a) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a Z[x]/(x^2-3). b) Seja p um primo de Z. Mostre que p =E9 um elemento primo de Z[raiz(3)]= se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9 irredut=EDvel em (Z/pZ)[x]. Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) =E9 o n=FAcleo do homomor= fismo sobrejetor H:Z[x] - Z[raiz(3)] dado por H(f(x)) =3D f(raiz(3)) e i= nvocando o teorema dos homomorfismos. No item (b) eu provei que se p =E9 primo em Z[raiz(3)] ent=E3o x^2 - 3 =E9= irredut=EDvel (de fato, eu provei o contrapositivo): x^2 - 3 n=E3o =E9 irredut=EDvel em Z_p[x] =3D=3D x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x] =3D=3D existe um inteiro a tal que a^2 =3D=3D 3 (mod p) =3D=3D p divide a^2 - 3 =3D (a + raiz(3))(a - raiz(3)) em Z[raiz(3)]. Mas p n=E3o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois se dividisse, teria q= ue dividir os coeficientes de raiz(3) respectivos, iguais a 1 e -1, o que= =E9 uma contradi=E7=E3o, pois p =E9 um primo de Z. Logo, p n=E3o =E9 primo em Z[raiz(3)]. No entanto, n=E3o estou conseguindo provar a rec=EDproca. Imagino que, de= alguma forma, eu tenha que usar o item (a). Qualquer ajuda ser=E1 bem vinda. []s, Claudio. --_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759 Content-Type: text/html; charset=iso-8859-1 Content-Transfer-Encoding: quoted-printable DIVPreciso de ajuda comnbsp;o exerc=EDcio 3 da se=E7=E3o IV.4 do livro= Elementos de =C1lgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides= ):/DIV DIVnbsp;/DIV DIVa) Mostre que Z[raiz(3)] =E9 isomorfo a Z[x]/(x^2-3)./DIV DIVnbsp;/DIV DIVb) Seja p um primo de Z. Mostre que p =E9 um elemento primo de Z[rai= z(3)] se e somente se o polin=F4mio x^2 - 3 =E9 irredut=EDvel em (Z/pZ)[x= ]./DIV DIVnbsp;/DIV DIVEu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) =E9 o n=FAcleo do ho= momorfismo sobrejetor H:Z[x] -gt; Z[raiz(3)]nbsp;dado por H(f(x)) =3D f= (raiz(3)) e invocando o teorema dos homomorfismos./DIV DIVnbsp;/DIV DIVNo item (b) eu provei que se p =E9 primo em Z[raiz(3)] ent=E3o x^2 -= 3 =E9 irredut=EDvel (de fato, eu provei o contrapositivo):/DIV DIVx^2 - 3 n=E3o =E9 irredut=EDvel em Z_p[x]nbsp; lt;=3D=3Dgt;/DIV= DIVx^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x]nbsp; lt;=3D=3Dgt;/DIV DIVexiste um inteiro a tal que a^2 =3D=3Dnbsp;3 (mod p) =3D=3Dgt;/DI= V DIVnbsp;/DIV DIVp divide a^2 - 3 =3D (a + raiz(3))(anbsp;- raiz(3)) em Z[raiz(3)].= /DIV DIVnbsp;/DIV DIVMas p n=E3o divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois se dividisse, te= ria que dividir os coeficientes de raiz(3)nbsp;respectivos, iguais a 1 e= -1, o que =E9 uma contradi=E7=E3o, pois p =E9 um primo de Z./DIV DIVLogo, p n=E3o =E9 primo em Z[raiz(3)]./DIV DIVnbsp;/DIV DIVNo entanto, n=E3o estou conseguindo provar a rec=EDproca. Imagino qu= e, de alguma forma, eu tenha que usar o item (a)./DIV DIVnbsp;/DIV DIVQualquer ajuda ser=E1 bem vinda./DIV DIVnbsp;/DIV DIV[]s,/DIV DIVClaudio./DIV DIVnbsp;/DIV --_=__=_XaM3_.1115735981.2A.732637.42.23694.52.42.007.339369759-- = Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _
Re: [obm-l] Irredutíveis e Anéis
on 11.05.05 17:12, Chicao Valadares at [EMAIL PROTECTED] wrote: estou meio enferrujado, nao sei se esta certo mas ai vai: Z[sqrt3] isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3) = Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3)/(p) Oi, Chicao: Vou escrever os detalhes pra guardar esta solucao no meu arquivos. O p do lado esquerdo eh um elemento de Z[raiz(3)] e o p do lado direito um elemento de Z[x]/x^2-3. Assim, um elemento tipico do ideal p da esquerda eh: (a + b*raiz(3))*p (a, b em Z) enquanto que do ideal p da direita eh: (a + b*x + x^2-3)*(p + x^2-3) = (a + b*x)*p + x^2-3 Como os dois aneis sao isomorfos, voce pode fazer a identificacao. O isomorfismo original leva a + b*raiz(3) em a + b*x + x^2-3. Nos aneis quociente, ele leva: a + b*raiz(3) + p em a + b*x + x^2-3 + p = a + b*x + x^2-3,p. = Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(x^2 - 3 ,p) Elemento tipico do anel quociente da esquerda: a + b*raiz(3) + p, com a, b em Z. Elemento tipico do anel quociente da direita: a + b*x + x^2-3,p, onde 0 = a,b = p-1. Isso quer dizer que estes aneis quociente tem p^2 elementos cada. = Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Z[x]/(p)/(x^2 - 3 ,p)/(p) Esse eh o 3o. teorema dos isomorfismos. Foi nesse ponto que eu empaquei, pois nao me lembrei dele. Boa sacada! Z[x]/p ~ (Z/p)[x] ~ Z_p[x]. x^2 - 3,p/p ~ x^2 - 3. Logo: = Z[sqrt3]/(p) isomorfo a Zp[x]/(x^2 - 3) Desde que x^2 -3 é irredutivel=primo(hipotese) em Zp[x](Zp[x] é DFU) =Zp[x]/(x^2 - 3) é anel de integridade = Z[sqrt3]/(p) é anel de integridade = (p) é primo em Z[sqrt3]. Excelente! Muito obrigado. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Irredutíveis e Anéis
Oi, Gugu: Obrigado pela solucao. []s, Claudio. on 11.05.05 15:03, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Se p divide (a+b.raiz(3))(c+d.raiz(3)), entao p divide (a^2-3b^2)(c^2-3d^2), e logo p divide um desses fatores, digamos a^2-3b^2. Como x^2-3 'e irredutivel, e logo nao tem raiz em Z/pZ, se p divide a^2-3b^2 entao p divide b (senao b e' invertivel em Z/pZ, e a/b e' raiz de x^2-3), e logo p divide a, donde p divide a+b.raiz(3). Abracos, Gugu = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Irredutíveis e Anéis
Preciso de ajuda como exercício 3 da seção IV.4 do livro Elementos de Álgebra (Arnaldo Garcia e Yves Lequain - Projeto Euclides): a) Mostre que Z[raiz(3)] é isomorfo a Z[x]/(x^2-3). b) Seja p um primo de Z. Mostre que p é um elemento primo de Z[raiz(3)] se e somente se o polinômio x^2 - 3 é irredutível em (Z/pZ)[x]. Eu fiz o item (a) mostrando que o ideal (x^2-3) é o núcleo do homomorfismo sobrejetor H:Z[x] - Z[raiz(3)]dado por H(f(x)) = f(raiz(3)) e invocando o teorema dos homomorfismos. No item (b) eu provei que se p é primo em Z[raiz(3)] então x^2 - 3 é irredutível (de fato, eu provei o contrapositivo): x^2 - 3 não é irredutível em Z_p[x] == x^2 - 3 tem uma raiz em Z_p[x] == existe um inteiro a tal que a^2 ==3 (mod p) == p divide a^2 - 3 = (a + raiz(3))(a- raiz(3)) em Z[raiz(3)]. Mas p não divide a + raiz(3) nem a - raiz(3) pois se dividisse, teria que dividir os coeficientes de raiz(3)respectivos, iguais a 1 e -1, o que é uma contradição, pois p é um primo de Z. Logo, p não é primo em Z[raiz(3)]. No entanto, não estou conseguindo provar a recíproca. Imagino que, de alguma forma, eu tenha que usar o item (a). Qualquer ajuda será bem vinda. []s, Claudio.
