RE: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
Joao Carlos, Use a notacao de Euler: -1 = e^i*pi = cos(pi)+isin(pi)=-1. Assim, Ln -1 = ln e^(i*pi) = i*pi * ln (e) = i*pi. Para uma definicao formal de ln em C, o prof. Nicolau forneceu uma esses dias na lista. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of JOÃO CARLOS PAREDE Sent: Tuesday, November 26, 2002 11:51 AM To: OBM Subject: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1 Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas Matemática. Numa passagem leio que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária) Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto. Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto dos Complexos. Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo: 1) Como se prova que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)? 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com logaritmos e exponencias nos complexos? JOÃO CARLOS PAREDE Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida, grátis e fácil. Faça o download do discador agora mesmo.
[obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas Matemática. Numa passagem leio que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária) Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto. Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto dos Complexos. Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo: 1) Como se prova que "ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)"? 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com logaritmos e exponencias nos complexos? JOÃO CARLOS PAREDEYahoo! Acesso Grátis Internet rápida, grátis e fácil. Faça o download do discador agora mesmo.
Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
Olá,
Duas coisas:
log(-1)=Pi*i não é bem verdade, é necessário definir um ramo do logaritmo,
pois log(z) é uma função multivalente.
A definição é simples:
log(z) = {z = log|z| + i*Arg(z) + 2*k*Pi*i; k inteiro}, em que i é a unidade
imaginária, |z| é o módulo e Arg(z) o argumento.
Para maiores demonstrações, qualquer livro de Análise Complexa (do Lang,
Churchill (aplicações), e outros) serve.
Atenciosamente,
Caio Augusto
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From: JOÃO CARLOS PAREDE
To: OBM
Sent: Tuesday, November 26, 2002 11:50 AM
Subject: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo
ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas
Matemática.
Numa passagem leio que
ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)
Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto.
Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto dos
Complexos.
Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as
seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo:
1) Como se prova que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)?
2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com
logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com
logaritmos e exponencias nos complexos?
JOÃO CARLOS PAREDE
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Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
On Tue, Nov 26, 2002 at 04:50:35PM -0300, JOÃO CARLOS PAREDE wrote: Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas Matemática. Numa passagem leio que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária) Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto. Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto dos Complexos. Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo: 1) Como se prova que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)? 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com logaritmos e exponencias nos complexos? JOÃO CARLOS PAREDE Ou utilizando um outro metodo, diferente do do Caio, podemos utilizar a notacao de Euler p/ o numero complexo, e^(arg*i) entao temos ln -1 = x e^x = -1 -1 = cis(pi), logo e^x = e^(pi*), e como as bases sao iguais, temos que x = pi*i foi a unica coisa que vi, nao sei quanto a ter de fazer limitacoes no log ou coisas do tipo.. alguem aih pode dar uma ajudinha?? quanto a 2. questao eu nao posso ajudar.. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
Corrigindo um pequeno engano:
A definição é simples:
log(z) = {w = log|z| + i*Arg(z) + 2*k*Pi*i; k inteiro}, em que i é a unidade
imaginária, |z| é o módulo e Arg(z) o argumento.
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Sent: Tuesday, November 26, 2002 6:58 PM
Subject: Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
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Olá,
Duas coisas:
log(-1)=Pi*i não é bem verdade, é necessário definir um ramo do logaritmo,
pois log(z) é uma função multivalente.
A definição é simples:
log(z) = {z = log|z| + i*Arg(z) + 2*k*Pi*i; k inteiro}, em que i é a
unidade
imaginária, |z| é o módulo e Arg(z) o argumento.
Para maiores demonstrações, qualquer livro de Análise Complexa (do Lang,
Churchill (aplicações), e outros) serve.
Atenciosamente,
Caio Augusto
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From: JOÃO CARLOS PAREDE
To: OBM
Sent: Tuesday, November 26, 2002 11:50 AM
Subject: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo
ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre
elas
Matemática.
Numa passagem leio que
ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)
Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto.
Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto
dos
Complexos.
Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as
seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo:
1) Como se prova que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)?
2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com
logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha
com
logaritmos e exponencias nos complexos?
JOÃO CARLOS PAREDE
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Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
Olá de novo, Mexer nos complexos é muito mais simples que nos reais pois os resultados são mais interessantes, porém deve-se tomar mais cuidado. Geralmente as funções nos complexos são definidas de forma análoga a dos reais. No caso da exponencial temos o seguinte: e^z = 1 + z +z^2/2!+z^3/3!+ Desta forma, pelo estudo de séries nos complexos vemos que o raio de convergência é infinito, ou seja, e^z é dada por esta definição para todo z pertencente a |C. Definindo log(z) do modo como disse nos outros emails é óbvio que e^log(z) = z. Quanto a questão da multivalência, é um pouco complicado explicar por email, se alguém puder me dar uma ajuda aqui seria bom. A demonstração dada pelo Marcelo só é válida num ramo em que Pi está no contradomínio de Arg(z). Última coisa que eu acho importante dos complexos: a função dada por a^w, onde w está em |C é definida por a^w = e^(w*log(a)), e aí entra a questão de qual log estamos usando, pois caso não se leve isso em consideração teríamos: (a^z)^w=a^(z*w) o que facilmente pode-se ver não é bem verdade pois se fosse: 1 = e^(i*Pi/2) elevando ao quadrado ambos lados: 1 = e^(i*Pi) = -1, absurdo! então é delicado trabalhar com função em |C mas é mais fácil devido as fórmulas e equações de Cauchy. Atenciosamente, Caio Augusto - Original Message - From: Marcelo Leitner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, November 26, 2002 3:27 PM Subject: Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1 Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br On Tue, Nov 26, 2002 at 04:50:35PM -0300, JOÃO CARLOS PAREDE wrote: Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas Matemática. Numa passagem leio que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária) Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto. Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto dos Complexos. Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo: 1) Como se prova que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)? 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com logaritmos e exponencias nos complexos? JOÃO CARLOS PAREDE Ou utilizando um outro metodo, diferente do do Caio, podemos utilizar a notacao de Euler p/ o numero complexo, e^(arg*i) entao temos ln -1 = x e^x = -1 -1 = cis(pi), logo e^x = e^(pi*), e como as bases sao iguais, temos que x = pi*i foi a unica coisa que vi, nao sei quanto a ter de fazer limitacoes no log ou coisas do tipo.. alguem aih pode dar uma ajudinha?? quanto a 2. questao eu nao posso ajudar.. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
Em Tue, 26 Nov 2002 21:27:04 -0200, Marcelo Leitner [EMAIL PROTECTED] disse: On Tue, Nov 26, 2002 at 04:50:35PM -0300, JOÃO CARLOS PAREDE wrote: Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas Matemática. Numa passagem leio que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária) Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto. Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto dos Complexos. Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo: 1) Como se prova que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)? 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com logaritmos e exponencias nos complexos? JOÃO CARLOS PAREDE Ou utilizando um outro metodo, diferente do do Caio, podemos utilizar a notacao de Euler p/ o numero complexo, e^(arg*i) entao temos ln -1 = x e^x = -1 -1 = cis(pi), logo e^x = e^(pi*), e como as bases sao iguais, temos que x = pi*i ESSE ARGUMENTO NAO EH VALIDO. -1 = e ^pi = e^(3pi) e nao eh verdade que pi=3pi. A funçao exponencial, no campo complexo, nao eh injetiva. foi a unica coisa que vi, nao sei quanto a ter de fazer limitacoes no log ou coisas do tipo.. alguem aih pode dar uma ajudinha?? quanto a 2. questao eu nao posso ajudar.. []'s -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] LOGARITMO NATURAL DE -1
On Tue, Nov 26, 2002 at 11:00:27PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Em Tue, 26 Nov 2002 21:27:04 -0200, Marcelo Leitner [EMAIL PROTECTED] disse: On Tue, Nov 26, 2002 at 04:50:35PM -0300, JOÃO CARLOS PAREDE wrote: Folheando despreocupadamente a Enciclopédia Delta Larrouse, no vocábulo ciência, vejo um quadro com a história da evolução das ciências; entre elas Matemática. Numa passagem leio que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária) Vasculhando pela internet vi outros sites que também só enunciam isto. Certa vez li que os logaritmos de números negativos existem no conjunto dos Complexos. Tentei dar uma mexida no problema, rabiscando alguma coisa e fiquei com as seguintes indagações, as quais compartilho com o grupo: 1) Como se prova que ln (-1) = (Pi)*(unidade imaginária)? 2) Com expoentes eu consigo me virar no Plano Argrand-Gauss, mas com logaritmo eu não consegui evoluir muita coisa sozinho. Como se trabalha com logaritmos e exponencias nos complexos? JOÃO CARLOS PAREDE Ou utilizando um outro metodo, diferente do do Caio, podemos utilizar a notacao de Euler p/ o numero complexo, e^(arg*i) entao temos ln -1 = x e^x = -1 -1 = cis(pi), logo e^x = e^(pi*), e como as bases sao iguais, temos que x = pi*i ESSE ARGUMENTO NAO EH VALIDO. -1 = e ^pi = e^(3pi) e nao eh verdade que pi=3pi. A funçao exponencial, no campo complexo, nao eh injetiva. Calma, eu avisei aqui em baixo ---v que eu nao sabia se isto estava certo, 1/2 certo ou totalmente errado, mas valeu, nao havia pensao na possibilidade do 3pi. Como o Caio disse, isto estah certo se pi estiver no contradominio de Arg(z). Gostei mais da explicacao dele.. foi a unica coisa que vi, nao sei quanto a ter de fazer limitacoes no log ou coisas do tipo.. alguem aih pode dar uma ajudinha?? ---end quoted text--- -- Marcelo R Leitner [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
