Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
D pra melhorar bastante esse limitante:
A idia baseia-se no seguinte fato:
todo inteiro entre 1...2^(n+1)-1 pode ser expresso como soma de elementos de
uma combinao de {1, 2, 2, ..., 2^n}.
Seja k um inteiro tal que 2^(k-1) p 2^k
Da matriz A j definida, separe os elementos:
S1 = {(1, 0); (2, 0); ...; (2^(k-1), 0)}
S2 = {(0, 1); ...; (0, 2^(k-1))}
|S1| = |S2| = k
todo elemento de Zp X Zp pode ser expresso como uma soma de elementos de uma
combinao dos elementos de S1 e S2, sendo assim, para toda a combinao de
elementos do resto da matriz, h sempre pelo menos uma combinao de
elementos de S1 e S2 que se cancela com a combinao do resto.
O limitante inferior passa ento a ser: 2^[p - 2k]
Onde k lg(p).
Alm do limitante inferior d pra determinar um limitante superior:
2^(k-1) p 2^k
logo
2^k 2p = 2^k - 1 = 2p - 2
o conjunto das possveis somas no mximo {0, 1, ..., p-1, p, p+1, ...
2p-2}.
repare que nesse conjunto no h nenhum elemento (mod p) que se repete mais
do que 2 vezes, sendo assim, no mximo temos 2 maneiras de escrever um mesmo
elemento e, por consequncia, no mximo 4 maneiras de escrever um par de Zp
X Zp como soma dos elementos de S1 e S2.
Sob essas condies um limitante superior 4*2^[p - 2k] = 2^[p - 2k + 2]
Temos ento:
2^[p - 2k] = RESPOSTA = 2^[p - 2k + 2]
[ ]'s
Consegui estimar um limitante inferior para o nmero de grupos de
crianas:
Considere uma matriz com elementos A[i, j] = (i, j) pertence a (Zp)
O problema proposto equivalente a calcular o nmero de combinaes de
elementos de A cuja soma d (0, 0).
Agora desenhando a matriz A e separando a ltima linha e a ltima coluna,
formamos uma matriz A', com (p-1) x (p-1) elementos em (Zp).
Os elementos da ltima linha so:
{ (1, 0), (2, 0), ..., (p-1, 0) , (0,0)}
e os da ltima coluna so:
{ (0, 1), (0, 2), ..., (0, p-1) , (0,0)}
* o elemento (0, 0) compartilhado!
Repare que toda combinao de elementos da matriz A' tem soma em (Zp) e
todo elemento e (Zp) tem um oposto aditivo em (Zp), alm disso,
possvel
obter todos os elementos de (Zp) atravs dos elementos da ltima linha e
da
ltima coluna (basta tomar a soma de dois deles, por exemplo), por tanto,
para cada combinao de A' existe pelo menos uma maneira de selecionar
elemento(s) na ltima linha e coluna de A tal que a soma total d (0, 0).
Por tanto, um limitante inferior para o nmero de grupo crianas do
problema
:
2^[(p-1)] == total de combinaes em A'.
Esse limitante tem bastante folga pois na verdade existe vrias maneiras
de
obter o mesmo elemento de (Zp) atravs da ltima linha e da ltima
coluna.
por exemplo o elemento (3, 2) = (3,0) + (0,2) = (2,0) + (1,0) + (0,2) =
...
Idias?
[ ]'s
-
7.5)(Guilherme Issao)Existem p,onde p e primo,crianas dispostas num
bairro
como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a
Cledmilson
Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor para
cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linha
tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianas.Da
mesma
forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas
verticais,sendo
que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui
igualmente
entre as p crianas.De quantas maneiras podemos escolher um grupo de
crianas
desse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cada
tipo de doce roubada seja inteira?[6]
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]
=
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Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Title: Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto Tah certo. Foi aquele problema do arquivo muito grande, neh? Desculpe a falha. O credito e de voces. Um abraco, Claudio. on 31.03.03 20:54, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: pô, o 7.2 eu e o Wendel já provamos: http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/problema.ps http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/problema.pdf
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Title: Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto 4) Seja f:NR uma função tal que f(1)=3 e f(m+n)+f(m-n)-m+n-1=(f(2m)+f(2n))/2 para todos os inteiros não negativos m e n com m=n. Determine a expressão de f(m). m = n == f(2n) + f(0) - 1 = f(2n) == f(0) = 1 n = 0 == f(m) + f(m) - m - 1 = [f(2m) + f(0)]/2 == 4f(m) - 2m - 2 = f(2m) + 1 == f(2m) = 4f(m) - 2m - 3 Fazendo m+n = p e m-n = q == p = q e m = (p+q)/2 e n = (p-q)/2 == f(p) + f(q) - (p+q)/2 + (p-q)/2 -1 = [f(p+q)+f(p-q)]/2 == f(p) + f(q) - q - 1 = [f(p+q)+f(p-q)]/2 p = q+1 == f(q+1) + f(q) - q - 1 = [f(2q+1)+f(1)]/2 == f(2q+1) = 2[f(q+1) + f(q) - q] - 5 == Resumindo, temos: f(0) = 1 f(1) = 3 e para todo n = 0: f(2n) = 4f(n) - 2n - 3 f(2n+1) = 2[f(n+1) + f(n) - n] - 5 Calculando os valores seguintes de f, chegamos a: f(2) = 7 f(3) = 13 f(4) = 21 f(5) = 31 f(6) = 43 f(7) = 57 Reparamos que vale, para todo k, com 1 = k = 7: f(k) = f(k-1) + 2k. Juntamente com f(0) = 1, esta equacao implica que: f(k) = k^2 + k + 1 para 0 = k = 7. Temos agora a nossa hipotese de inducao: Suponhamos que, para 0 = k n, f(k) = k^2 + k + 1. n eh par == n = 2m == f(2m) = 4f(m) - 2m - 3 = 4(m^2 + m + 1) - 2m - 3 = 4m^2 + 2m + 1 = (2m)^2 + (2m) + 1 = n^2 + n = 1 == Se n eh par, entao f(n) = n^2 + n = 1. n eh impar == n = 2m+1 == f(2m+1) = 2[f(m+1) + f(m) - m] - 5 = 2[(m^2+2m+1) + (m+1) + 1 + m^2 + m + 1 - m] - 5 = 4m^2 + 6m + 3 = (4m^2 + 4m + 1) + (2m + 1) + 1 = (2m+1)^2 + (2m+1) + 1 = n^2 + n + 1 == Se n eh impar, entao f(n) = n^2 + n = 1. Logo, para todo n = 0, f(n) = n^2 + n + 1. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Consegui estimar um limitante inferior para o nmero de grupos de
crianas:
Considere uma matriz com elementos A[i, j] = (i, j) pertence a (Zp)
O problema proposto equivalente a calcular o nmero de combinaes de
elementos de A cuja soma d (0, 0).
Agora desenhando a matriz A e separando a ltima linha e a ltima coluna,
formamos uma matriz A', com (p-1) x (p-1) elementos em (Zp).
Os elementos da ltima linha so:
{ (1, 0), (2, 0), ..., (p-1, 0) , (0,0)}
e os da ltima coluna so:
{ (0, 1), (0, 2), ..., (0, p-1) , (0,0)}
* o elemento (0, 0) compartilhado!
Repare que toda combinao de elementos da matriz A' tem soma em (Zp) e
todo elemento e (Zp) tem um oposto aditivo em (Zp), alm disso, possvel
obter todos os elementos de (Zp) atravs dos elementos da ltima linha e da
ltima coluna (basta tomar a soma de dois deles, por exemplo), por tanto,
para cada combinao de A' existe pelo menos uma maneira de selecionar
elemento(s) na ltima linha e coluna de A tal que a soma total d (0, 0).
Por tanto, um limitante inferior para o nmero de grupo crianas do problema
:
2^[(p-1)] == total de combinaes em A'.
Esse limitante tem bastante folga pois na verdade existe vrias maneiras de
obter o mesmo elemento de (Zp) atravs da ltima linha e da ltima coluna.
por exemplo o elemento (3, 2) = (3,0) + (0,2) = (2,0) + (1,0) + (0,2) = ...
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7.5)(Guilherme Issao)Existem p,onde p e primo,crianas dispostas num bairro
como um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a
Cledmilson
Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor para
cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linha
tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianas.Da mesma
forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas
verticais,sendo
que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui
igualmente
entre as p crianas.De quantas maneiras podemos escolher um grupo de
crianas
desse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cada
tipo de doce roubada seja inteira?[6]
=
Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Mais Problemas em Aberto
Title: Help
Caros colegas da lista:
Aqui vai mais uma compilao de problemas que foram propostos mas cujas
solues nunca foram publicadas na lista.
1) Prove, usando geometria e trigonometria bsica (por exemplo, via o
teorema de Ptolomeu), mas sem usar lgebra (o Nicolau j apresentou uma soluo
usando nos. complexos)ou identidades trigonomtricas "mandrakes" (como as
que o Lus Lopes mencionou) que:tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) =
sqrt(11)
*
2)Determine todos os primos da forma 101010.101.
*
3)Determine todos os inteiros positivos que podem ser representados de
maneira nica sob a forma ( x^2+y)/(xy+1).
*
4) Seja f:NR uma funo tal que f(1)=3
ef(m+n)+f(m-n)-m+n-1=(f(2m)+f(2n))/2 para todos os inteiros no negativos m
e n com m=n.
Determine a expresso de f(m).
*
5) Alguns de topologia geral:
Definamos x como ponto de condensao de um subconjunto E de R^n
sequalquer vizinhana V de x contiver um nmero incontvel de elementos
deE (isto , se V inter E no for numervel). Seja P o conjunto dos
pontosde condensao de E. Mostre que5.1) E numervel se, e
somente se, P for vazio ( o que acarretaautomaticamente que E no
numervel sse P no for vazio)5.2) O conjunto dos elementos de E que no so
pontos de condensao domesmo (E inter complementar de P)
numervel5.3) P perfeito ( fechado e todos seus elementos so pontos
deacumulao do mesmo). Na realidade, todo elemento de P ponto
decondensao do mesmo .5.4)Todo elemento de P ponto de condensao de
E inter P5.5) O fecho de E inter P o prprio P5.6) Todo conjunto
fechado dado pela unio disjunta de um conjuntoperfeito com um conjunto
numervel (podendo ser que um destes conjuntosseja vazio) Este o Teorema
de Cantor-BendixonEstas 5 afirmaes valem, na realidade, em qualquer
espao mtricoseparvelPara demonstrarmos as afirmaes, observemos que
todo conjunto aberto deR^n pode ser dado por uma unio numervel de bolas
abertas. A coleodas bolas abertas de centro em elementos com coordenadas
racionais eraios racionais uma base numervel de R^n.*
6) a e b so inteiros com mdc(a,b) = 1.
Prove que se existe um inteiro m tal que am + b primo, ento existe uma
infinidade de inteiros n para os quais an + b primo.
*
7) A notria 2a. Vingana Olmpica:
7.1)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo e k sua circunferencia
circunscrita.D e o ponto medio do arco BC que nao contem A;E e a
intersecao da mediatriz de BD com BC,F e a intersecao da paralelaa AB por
D com AC,G e a intersecao de EF com AB e H a de GD com AC.Mostreque o
triangulo AGH e isosceles.[3]7.2)(Alex Abreu)Defina a sequenciax(1)
natural ex(n+1)=1+(x(1)x(2)x(3)...x(n)).Prove que existe um primo p que
nao divide ninguem da sequencia acima.[4]7.3)(Yuri Gomes)Seja ABC um
triangulo com BAC=60.Seja A' o simetrico de Aem relaao a BC,D o ponto do
segmento AC tal que AB=AD e H o ortocentrode ABC.Se b e a bissetriz externa
do angulo BAC e M e N sao os pontos ondeas retas A'D e CH cortam b
respectivamente,mostre que AM=AN.[4]7.4)(Telmo Luis)Definimos uma
represa e sua barreira como um par de conjuntosfinitos A e B de pontos do
reticulado,sendo A conexo pela relaao de vizinhanadada por |a-b|=1 tais
que dado um elemento a de A,para qualquer x do reticuladocom |a-x|=1 temos
que x e um elemento de A ou de B.Dado #B=K ache o maiorvalor que #A pode
assumir.[5]7.5)(Guilherme Issao)Existem p,onde p e primo,crianas
dispostas num bairrocomo um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras
de doces,a CledmilsonMarmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda
um vendedor paracada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da
i-esima linhatem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p
crianas.Da mesmaforma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p
linhas verticais,sendoque o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de
jaca e distribui igualmenteentre as p crianas.De quantas maneiras podemos
escolher um grupo de crianasdesse bairro para roubar-lhes os doces de modo
que a quantidade de cadatipo de doce roubada seja
inteira?[6]7.6)(Alex Abreu)Ache todas as funoes f:R/{0}-R sem
pontos fixos tais quef(y(f(x)-x))=f(x)/y-f(y)/x para todos os x,y
nao-nulos.[6]7.7)(Humberto Naves)Seja X um subconjunto de R com m
elementos positivos.DetermineX tal que maximize o numero de subconjuntos de
X de mesma soma.[8]
*
Um abrao,
Claudio.
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Vamos laEssa do f(m),use recursao que nem a Eureka 9.Consegui fazer os de geometria da Vingança e mais nada alem do 2.E so marcar angulo!!!
Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros colegas da lista:
Aqui vai mais uma compilação de problemas que foram propostos mas cujas soluções nunca foram publicadas na lista.
1) Prove, usando geometria e trigonometria básica (por exemplo, via o teorema de Ptolomeu), mas sem usar álgebra (o Nicolau já apresentou uma solução usando nos. complexos)ou identidades trigonométricas "mandrakes" (como as que o Luís Lopes mencionou) que:tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)
*
2)Determine todos os primos da forma 101010.101.
*
3)Determine todos os inteiros positivos que podem ser representados de maneira única sob a forma ( x^2+y)/(xy+1).
*
4) Seja f:NR uma função tal que f(1)=3 ef(m+n)+f(m-n)-m+n-1=(f(2m)+f(2n))/2 para todos os inteiros não negativos m e n com m&=n.
Determine a expressão de f(m).
*
5) Alguns de topologia geral:
Definamos x como ponto de condensação de um subconjunto E de R^n sequalquer vizinhança V de x contiver um número incontável de elementos deE (isto é, se V inter E não for numerável). Seja P o conjunto dos pontosde condensação de E. Mostre que5.1) E é numerável se, e somente se, P for vazio ( o que acarretaautomaticamente que E não é numerável sse P não for vazio)5.2) O conjunto dos elementos de E que não são pontos de condensação domesmo (E inter complementar de P) é numerável5.3) P é perfeito (é fechado e todos seus elementos são pontos deacumulação do mesmo). Na realidade, todo elemento de P é ponto decondensação do mesmo .5.4)Todo elemento de P é ponto de condensação de E inter P5.5) O fecho de E inter P é o próprio P5.6) Todo conjunto fechado é dado pela união disjunta de um conjuntoperfeito com um conjunto numerável (podendo ser que um destes conjuntosseja vazio) Este é o Teorema de Cantor-BendixonEstas 5 afirmações valem, na realidade, em qualquer espaço métricoseparávelPara demonstrarmos as afirmações, observemos que todo conjunto aberto deR^n pode ser dado por uma união numerável de bolas abertas. A coleçãodas bolas abertas de centro em elementos com coordenadas racionais eraios racionais é uma base numerável de R^n.*
6) a e b são inteiros com mdc(a,b) = 1.
Prove que se existe um inteiro m tal que am + b é primo, então existe uma infinidade de inteiros n para os quais an + b é primo.
*
7) A notória 2a. Vingança Olímpica:
7.1)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo e k sua circunferencia circunscrita.D e o ponto medio do arco BC que nao contem A;E e a intersecçao da mediatriz de BD com BC,F e a intersecçao da paralelaa AB por D com AC,G e a intersecçao de EF com AB e H a de GD com AC.Mostreque o triangulo AGH e isosceles.[3]7.2)(Alex Abreu)Defina a sequenciax(1) natural ex(n+1)=1+(x(1)x(2)x(3)...x(n)).Prove que existe um primo p que nao divide ninguem da sequencia acima.[4]7.3)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo com BAC=60º.Seja A' o simetrico de Aem relaçao a BC,D o ponto do segmento AC tal que AB=AD e H o ortocentrode ABC.Se b e a bissetriz externa do angulo BAC e M e N sao os pontos ondeas retas A'D e CH cortam b respectivamente,mostre que AM=AN.[4]7.4)(Telmo Luis)Definimos uma represa e sua barreira como um par de conjuntosfinitos A e B de pontos do reticulado,sendo A conexo pela relaçao de vizinhançadada por |a-b|=1 tais que dado um elemento a de A,para qualquer x do reticuladocom |a-x|=1 temos que x e um elemento de A ou de B.Dado #B=K ache o maiorvalor que #A pode assumir.[5]7.5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças dispostas num bairrocomo um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a CledmilsonMarmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor paracada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linhatem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianças.Da mesmaforma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas verticais,sendoque o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui igualmenteentre as p crianças.De quantas maneiras podemos escolher um grupo de criançasdesse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cadatipo de doce roubada seja inteira?[6]7.6)(Alex Abreu)Ache todas as funçoes f:R/{0}-R sem pontos fixos tais quef(y(f(x)-x))=f(x)/y-f(y)/x para todos os x,y nao-nulos.[6]7.7)(Humberto Naves)Seja X um subconjunto de R com m elementos positivos.DetermineX tal que maximize o numero de subconjuntos de X de mesma soma.[8]
*
Um abraço,
Claudio.
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Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Title: Help p, o 7.2 eueo Wendelj provamos: http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/problema.ps http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/problema.pdf
[obm-l] Mais Problemas em Aberto - Topologia
Caros colegas da lista:
Aqui vai mais uma compilação de problemas que foram propostos mas
cujas soluções nunca foram publicadas na lista.
[Artur Costa Steiner]
Sobre, Topologia, para os que curtem, aqui vão algumas soluções:
5) Alguns de topologia geral:
Definamos x como ponto de condensação de um subconjunto E de R^n se
qualquer vizinhança V de x contiver um número incontável de elementos de
E (isto é, se V inter E não for numerável). Seja P o conjunto dos pontos
de condensação de E. Mostre que
5.1) E é numerável se, e somente se, P for vazio ( o que acarreta
automaticamente que E não é numerável sse P não for vazio)
Sabemos que R^n possui uma base numerável, como, por exemplo, a coleção
das bolas abertas de raios racionais e centros em elementos de
coordenadas racionais. Seja B = {B_n} esta coleção. Para maior clareza,
provaremos primeiro o item 5.2
5.2) O conjunto dos elementos de E que não são pontos de condensação do
mesmo (E inter complementar de P) é numerável.
Definamos W como a união de todos os conjuntos básicos B_n cujas
intercessões com E sejam numeráveis. Seja cP o complementar de P. Vamos
mostrar que W = cP. Se x pertence a W, então x possui uma vizinhança
básica B_n cuja intercessão com E é numerável. Da definição de ponto de
condensação, segue-se que x não é um de tais pontos e que portanto, x
pertence a cP. Se, por outro lado, x pertence a cP, então x possui uma
vizinhança, logo uma vizinhança básica, cuja intercessão com E é
numerável. Da definição de W, segue-se que x pertence a W. Concluimos
assim que W está contido em cP e vice-versa. Logo W = cP.
Desta conclusão, segue-se agora que E inter cP = E inter W = (E inter
B_1) U (E inter B_2) U(E inter B_n). Como cada (E inter B_n) é
numerável, vemos que E inter cP é dado por uma união numerável de
conjuntos numeráveis. Logo E inter cP é numerável, o que prova 5.2.
Voltando-se a 5.1, observamos que E = (E inter P) U (E inter cP). Se P
for vazio (isto é, se E não possuir pontos de condensação) então E = E
inter cP, equação que, em virtude do que acabamos de ver, mostra-nos que
E é numerável. Se, por outro lado, P não for vazio, então E possui um
ponto de condensação x e qualquer vizinhança V de x é tal que V inter E
não é numerável. Dado que V inter E é um subconjunto de E, segue-se que
E não é numerável. Isto prova 5.1. Tomando-se as contrapositivas de tais
conclusões, constatamos imediatamente que E não é numerável sse P não
for vazio.
5.3) P é perfeito (é fechado e todos seus elementos são pontos de
acumulação do mesmo). Na realidade, todo elemento de P é ponto de
condensação do mesmo.
Vimos que cP = W é dado por uma união de conjuntos abertos. Logo, cP é
aberto e P é fechado. Alternativamente, podemos chegar a esta mesma
conclusão observando que, se x pertence a cP, então x possui uma
vizinhança V cuja intercessão com E é numerável. Como V é vizinhança de
todos os seus elementos, segue-se que igual condição vale para todo
elemento de V, o que nos mostra que V está contida em cP. Todo elemento
de cP é portanto ponto interior do mesmo, do que deduzimos que cP é
aberto e P é fechado.
Sejam agora p pertencente a P e V uma vizinhaça qualquer de p. Temos a
seguinte equação: V inter E = (V inter E inter P) U (V inter E inter
cP). Pela definição de ponto de condensação, V inter E não é numerável
e, conforme já vimos, E inter cP é numerável. Logo, V inter E inter cP é
numerável, pois é subconjunto de E inter cP. Para que a equação citada
possa vigorar, temos então, necessariamente, que V inter E inter P não
pode ser numerável. Como V é arbitrária, concluimos que p é ponto de
condensação de E inter P e, consequentemente, do próprio P. E como todo
ponto de condensação de um conjunto é, automaticamente, ponto de
acumulação do mesmo, concluimos que todo elemento de P é ponto de
acumulação do mesmo. Logo P é perfeito. OBS. Nesta demonstração
admitimos que P não é vazio. Se P for vazio, então P é trivialmente
perfeito.
5.4)Todo elemento de P é ponto de condensação de E inter P
Conseqüência imediata da demonstração de 5.3. Como corolário, segue-se
que, se P não for vazio, então E inter P não é numerável. Como outro
corolário, temos que todo elemento de E inter P é ponto de condensação
do mesmo.
5.5) O fecho de E inter P é o próprio P
Se x pertence a fecho de E inter P, então então toda vizinhança V de x
intercepta E inter P e, portanto, intercepta P. Logo, V contém um ponto
de condensação de E, o que acarreta que V inter E não seja numerável.
Segue-se que x é ponto de condensação de E e, face a isto, x pertence a
P. Se, por outro lado, x pertence a P, então, conforme vimos, x é ponto
de condensação de E inter P. É então imediato que x pertence ao fecho de
E inter P. Isto prova 5.5
5.6) Todo conjunto fechado é dado pela união disjunta de um conjunto
perfeito com um conjunto numerável (podendo ser que um destes conjuntos
seja vazio). Este é o Teorema de Cantor-Bendixon.
Suponhamos que E seja fechado. Temos que E = (E
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
On Mon, Mar 31, 2003 at 03:13:46PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: 2)Determine todos os primos da forma 101010.101. O único primo é 101. Defina h(n) = (100^n - 1)/99. Queremos descobrir para quais valores de n temos h(n) primo. É fácil provar que a|b implica em h(a)|h(b) donde basta considerar n primo. O caso n=2 nos dá o primo 101 donde basta considerar n primo ímpar. Mas definindo g(n) = (10^n - 1)/9 temos g(n)|h(n) para todo n ímpar, como se verifica facilmente. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
