Isto pode ser feito usando calculo, mas neste caso acho que nao eh a solucao
mais facil.
Sendo S a soma dos n numeros, temos que S = n Ma, onde Ma eh a media aritmetica
dos numeros. Como S é constante, temos que Ma = S/n eh constante;
Sendo P o produto, temos que P = Mg^n, onder Mg eh a media geometrica dos
numeros. Assim, P eh maximo se, e somente se, Mg for maxima.
Da desigualdade das medias aritmetica e geometrica, temos que Mg = Ma, com
igualdade se, e somente se, os numeros forem todos iguais. Assim, Mg serah
maxima se Mg = Ma, o que so acontece se os numeros forem todos iguais.
Segue-se que P é maximo se, e somente se, os n numeros forem iguais.
[Artur Costa Steiner]
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Argolo
Enviada em: segunda-feira, 5 de novembro de 2007 17:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Mesma soma e produto máximo
Caros Colegas:
Gostaria de obter uma demonstração da propriedade abaixo:
Dados n números reais positivos com a mesma soma S, seu produto será
máximo quando todos o n números forem iguais; não sendo todos iguais, seu
produto não será máximo.
Cordialmente,
Paulo Argolo
Rio de Janeiro, RJ
