RE: [obm-l] Muito interressante
Este problema foi citado no livro O último teorema de Fermat como o problema dos pesos de Bachet (pag. 297). -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Antonio Neto Sent: segunda-feira, 25 de fevereiro de 2002 22:47 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Muito interressante Amigos, sou meio atrasado na lista, tenho umas aulinhas pra dar, e jah estah quase tudo dito a respeito do problema do Raul. Acrescentaria apenas a observacao de que o problema foi criado por ela, de onde deduzimos ser tal extraordinaria professora uma muito longeva macrobia. Do alto das minhas brancas e venerandas barbas, lembro do problema desde meus verdes anos, que jah se esvaem na nevoa do tempo. Fui procurar nos incunabulos, mas o meu exemplar de O homem que Calculava estah perdido nas mudancas da minha quase tao macrobia vida, mas acho que o nosso Julio Cesar jah o mencionava, quando eu ainda tinha a ilusao de aprender Matematica. Abracos, olavo. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Muito interressante Date: Fri, 22 Feb 2002 14:29:11 EST Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. Obrigado pela atenção, Raul _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Muito interressante
Tenho quase certeza de que o referido problema está no livro O último teorema de Fermat, do Singh. []s, Josimar - Original Message - From: Antonio Neto [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 25, 2002 10:46 PM Subject: Re: [obm-l] Muito interressante Amigos, sou meio atrasado na lista, tenho umas aulinhas pra dar, e jah estah quase tudo dito a respeito do problema do Raul. Acrescentaria apenas a observacao de que o problema foi criado por ela, de onde deduzimos ser tal extraordinaria professora uma muito longeva macrobia. Do alto das minhas brancas e venerandas barbas, lembro do problema desde meus verdes anos, que jah se esvaem na nevoa do tempo. Fui procurar nos incunabulos, mas o meu exemplar de O homem que Calculava estah perdido nas mudancas da minha quase tao macrobia vida, mas acho que o nosso Julio Cesar jah o mencionava, quando eu ainda tinha a ilusao de aprender Matematica. Abracos, olavo. From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Muito interressante Date: Fri, 22 Feb 2002 14:29:11 EST Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. Obrigado pela atenção, Raul _ Join the world's largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Muito interressante
Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, sim. Exemplos: 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 42 = 81 - 27 - 9 - 3 45 = 81 - 27 - 9 50 = 81 - 27 - 3 - 1 58 = 81 - 27 + 3 + 1 60 = 81 - 27 + 9 - 3 75 = 81 - 9 + 3 É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Nicolau C. Saldanha Sent: domingo, 24 de fevereiro de 2002 09:49 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Muito interressante On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na base 3 com os algarismos -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4 algarismos. Por exemplo: -5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1 13 = 0+++ = 9 + 3 + 1 20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1 Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Muito interressante
On Mon, Feb 25, 2002 at 10:34:54AM -0300, Jose Jayme Moraes Junior wrote: Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, sim. Exemplos: 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 42 = 81 - 27 - 9 - 3 45 = 81 - 27 - 9 50 = 81 - 27 - 3 - 1 58 = 81 - 27 + 3 + 1 60 = 81 - 27 + 9 - 3 75 = 81 - 9 + 3 É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n Sim para todas as perguntas. E não é muito difícil demonstrar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Muito interressante
SIM, É POSSÍVEL... Ou seja, podemos escrever qualquer número de (1 - 3^n)/2 a (3^n - 1)/2 com no máximo n algarismos (-1, 0 ou 1) na base 3. Demonstracao: 1) Se vale de 0 a (3^n - 1)/2, vale de (1 - 3^n)/2 a 0: (conclusao I) Para verificar isto, basta trocarmos (-1) por (1) e (1) por (-1), mantendo o (0). 2) Vale para 0 a (3^n - 1)/2? -- Princípio da Inducao 2.1) Vale para n = 1 -- podemos escrever 0 como 0 (base 3) e 1 como 1 (base 3) 2.2) Se vale para n, vale para n+1: Ora, com n algarismos podemos escrever todos os números entre 0 e (3^n - 1)/2. Assim, adicionando um algarismo 1 na posicao n+1 (o que nos dá 3^n na base 10), e sabendo que podemos formar qualquer número de (1 - 3^n)/2 a 0 (vide conclusao I), fica claro que formamos assim qualquer número de: 3^n + (1-3^n)/2 a 3^n, ou seja, de (3^n + 1)/2 a 3^n. Da mesma maneira, podemos adicionar a 3^n os números formados de 0 a (3^n -1)/2, obtendo todos os números de: 3^n a 3^n + (3^n - 1)/2, ou seja, de 3^n a (3^(n+1) - 1)/2 Entao, podemos formar todos os números de 0 a (3^n - 1)/2 e de (3^n + 1)/2 a (3^(n+1) - 1)/2. Como (3^n - 1)/2 e (3^n + 1)/2 sao naturais consecutivos, podemos formar qualquer número de: 0 a (3^(n+1) - 1)/2 com (n+1) algarismos, o que conclui a prova por inducao. Espero ter ajudado... [ ]'s Alexandre Terezan -Mensagem Original- De: Jose Jayme Moraes Junior [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 25 de Fevereiro de 2002 10:34 Terezan Assunto: RE: [obm-l] Muito interressante Isto também funciona para inteiros de -121 a +121 (1,3,9,27 e 81) utilizando na base 3 com os algarismos -1,0,+1 ?? Pelos exemplos abaixo, sim. Exemplos: 41 = 81 - 27 - 9 - 3 - 1 42 = 81 - 27 - 9 - 3 45 = 81 - 27 - 9 50 = 81 - 27 - 3 - 1 58 = 81 - 27 + 3 + 1 60 = 81 - 27 + 9 - 3 75 = 81 - 9 + 3 É possível estender para 3^n ? 1, 3, 9, 27, 81, ., 3^n -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Nicolau C. Saldanha Sent: domingo, 24 de fevereiro de 2002 09:49 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Muito interressante On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na base 3 com os algarismos -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4 algarismos. Por exemplo: -5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1 13 = 0+++ = 9 + 3 + 1 20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1 Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Muito interressante
On Fri, Feb 22, 2002 at 02:29:11PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. O matemático observa que todo inteiro de -40 a 40 pode ser escrito na base 3 com os algarismos -,0,+ (-1, 0 e 1) usando no máximo 4 algarismos. Por exemplo: -5 = 0-++ =- 9 + 3 + 1 13 = 0+++ = 9 + 3 + 1 20 = +-+- = 27 - 9 + 3 - 1 Não sei se é tão fácil verificar se esta (1,3,9,27) é a única solução. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Muito interressante
Interessante os pesos serem potencias de 3.. Isso me lembra as potencias de 2, que sao ligeiramente excessivas, ou seja, a soma dos divisores de n é n-1, como 2^4=16, divisores 1, 2, 4 e 8, sendo 8+4+2+1=15. Existiria algo do tipo, com 3^n, n variando de 0 até um certo m, conseguimos formar o numero n+1 efetuando operacoes simples? Ih, acho que tá bem mal explicado, mas deve ter dado para entender. []s Ricardo Miranda Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. Obrigado pela atenção, Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Muito interressante
Interessante os pesos serem potencias de 3..
Isso me lembra as potencias de 2, que sao ligeiramente excessivas, ou
seja,
a soma dos divisores de n é n-1, como 2^4=16, divisores 1, 2, 4 e 8, sendo
8+4+2+1=15.
Existiria algo do tipo, com 3^n, n variando de 0 até um certo m,
conseguimos formar o numero n+1 efetuando operacoes simples? Ih, acho que
tá bem mal explicado, mas deve ter dado para entender.
9=2(1+3)+1
27=2(1+3+9)+1
81=2(1+3+9+27)+1
...
3^n=2(1+3+...+3^{n-1})+1
Mais geralmente,
q^n=(q-1)(1+q+...+q^{n-1}) +1
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Muito interressante
Oi pessoal, uma professora me apresentou um problema interessante criado por ela e cuja solução é ainda mais interessante. Queria saber se há alguma regra que explica essa solução tão curiosa. Problema : Um feirante possuía uma balança de pratos e quarenta pesos numerados de um até 40 que indicava a massa que ele vendia (de um a quarenta quilos). O peso de 40 quilos caiu e quebrou em 4 partes. Um matemático que queria montar uma barraca ,mas não tinha peso algum, observou (pesou) as partes quebradas e pediu-as. Com elas o matemático conseguia pesar com a mesma precisão massas de 1 a 40 quilos. Quais as massas das partes? Solução : 1, 3, 9 e 27. Obrigado pela atenção, Raul PS : Gostaria muito que alguém tentasse me explicar (ou comentasse) a questão que enviei duas vezes : "Quando existe o limite?"
