Re: [obm-l] Número de quadrados
Eu resolvi um pouco diferente. Quantos quadrados 1x1 podemos formar? (n+1 escolhe 2) Quantos quadrados 2x2 podemos formar? (n escolhe 2) ... Então temos Somatorio de i = 2 até n + 1 de (i escolhe 2) = 2^(n+1) Errei em algum canto? On Wed, Jul 9, 2008 at 6:51 PM, Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] wrote: Para uma escada de tamanho n, seja F(n) o numero de quadrados temos que F(n)=quadrados que nao englobem a primeira coluna + quadrados que englobem a primeira coluna. quadrados que nao englobem a primeira coluna = F(n-1) para n par: quadrados que englobem a primeira coluna: 1 + 2 + 3 + 4+... + k+k+ (k-1)+(k-2)+...+1 = 2(1+2+3..+k) = k(k+1), onde k eh o maior inteiro tal que 2k+1=n, como n e' par n=2m 2k+1=2m = k= m+1/2, logo k = m= n/2 para n impar: quadrados que englobem a primeira coluna: 1 + 2 + 3 + 4+... + k (k-1)+(k-2)+...+1 = 2(1+2+3..+k-1)+k = k^2, onde k eh o menor inteiro tal que 2k+1n, como n e' impar n=2m+1 2k+12m+1 = k m, logo k = m+1= (n+1)/2 Assim F(n)= Somatorio de k=2 ate n de A(k) + F(1) onde A(n)= n/2 ( n/2 + 1) se n e` par, e [(n+1)/2]^2 se n e` impar. Assim: F(2n) = n(n+1)+somatorio de k=1 ate n-1 A(2k)+A(2k+1) + F(1) = 1 + n(n+1)+ somatorio de k=1 ate n-1 de 2k^2 + 3k+1 = 1+ n(n+1)+ n-1 + 3(n-1)n/2 + 2 (n-1)n(2n-1)/6 F(2n+1)= somatorio de k=1 ate n A(2k)+A(2k+1) + F(1) = 1 + Somatorio de k=1 ate n de 2k^2 + 3k+1 = 1 + n + 3n(n+1)/2 + 2n(n+1)(2n+1)/6 fiz meio rapido espero estar certo... Felipe Diniz On Wed, Jul 9, 2008 at 12:05 PM, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote: Na seguinte figura (link no photobucket) http://s317.photobucket.com/albums/mm387/matcult/?action=viewcurrent=quadrados2.jpg Queremos saber o número máximo de quadrados de qualquer tamanho formados pelos quadrados unitários, numa escada com n degrais = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Wanderley Guimarães = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número de quadrados
Acho que fiz besteira! Eu contei quantos quadrados diferentes podemos colocar na escada. :( 2008/7/10 Wanderley Guimarães [EMAIL PROTECTED]: Eu resolvi um pouco diferente. Quantos quadrados 1x1 podemos formar? (n+1 escolhe 2) Quantos quadrados 2x2 podemos formar? (n escolhe 2) ... Então temos Somatorio de i = 2 até n + 1 de (i escolhe 2) = 2^(n+1) Errei em algum canto? On Wed, Jul 9, 2008 at 6:51 PM, Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] wrote: Para uma escada de tamanho n, seja F(n) o numero de quadrados temos que F(n)=quadrados que nao englobem a primeira coluna + quadrados que englobem a primeira coluna. quadrados que nao englobem a primeira coluna = F(n-1) para n par: quadrados que englobem a primeira coluna: 1 + 2 + 3 + 4+... + k+k+ (k-1)+(k-2)+...+1 = 2(1+2+3..+k) = k(k+1), onde k eh o maior inteiro tal que 2k+1=n, como n e' par n=2m 2k+1=2m = k= m+1/2, logo k = m= n/2 para n impar: quadrados que englobem a primeira coluna: 1 + 2 + 3 + 4+... + k (k-1)+(k-2)+...+1 = 2(1+2+3..+k-1)+k = k^2, onde k eh o menor inteiro tal que 2k+1n, como n e' impar n=2m+1 2k+12m+1 = k m, logo k = m+1= (n+1)/2 Assim F(n)= Somatorio de k=2 ate n de A(k) + F(1) onde A(n)= n/2 ( n/2 + 1) se n e` par, e [(n+1)/2]^2 se n e` impar. Assim: F(2n) = n(n+1)+somatorio de k=1 ate n-1 A(2k)+A(2k+1) + F(1) = 1 + n(n+1)+ somatorio de k=1 ate n-1 de 2k^2 + 3k+1 = 1+ n(n+1)+ n-1 + 3(n-1)n/2 + 2 (n-1)n(2n-1)/6 F(2n+1)= somatorio de k=1 ate n A(2k)+A(2k+1) + F(1) = 1 + Somatorio de k=1 ate n de 2k^2 + 3k+1 = 1 + n + 3n(n+1)/2 + 2n(n+1)(2n+1)/6 fiz meio rapido espero estar certo... Felipe Diniz On Wed, Jul 9, 2008 at 12:05 PM, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote: Na seguinte figura (link no photobucket) http://s317.photobucket.com/albums/mm387/matcult/?action=viewcurrent=quadrados2.jpg Queremos saber o número máximo de quadrados de qualquer tamanho formados pelos quadrados unitários, numa escada com n degrais = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Wanderley Guimarães -- Wanderley Guimarães = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número de quadrados
Se quiserem alguns números dessa sequência, tem aqui nesse link http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=1%2C3%2C7%2C13%2C22%2C34%2C50amp;amp;sort=0fmt=0language=englishamp;go=Search eu cheguei na formula n³/12 +3n²/8+5n/12 +1/16 -1/16 (-1)^n =f(n) 2008/7/10 Wanderley Guimarães [EMAIL PROTECTED]: Eu resolvi um pouco diferente. Quantos quadrados 1x1 podemos formar? (n+1 escolhe 2) Quantos quadrados 2x2 podemos formar? (n escolhe 2) ... Então temos Somatorio de i = 2 até n + 1 de (i escolhe 2) = 2^(n+1) Errei em algum canto? On Wed, Jul 9, 2008 at 6:51 PM, Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] wrote: Para uma escada de tamanho n, seja F(n) o numero de quadrados temos que F(n)=quadrados que nao englobem a primeira coluna + quadrados que englobem a primeira coluna. quadrados que nao englobem a primeira coluna = F(n-1) para n par: quadrados que englobem a primeira coluna: 1 + 2 + 3 + 4+... + k+k+ (k-1)+(k-2)+...+1 = 2(1+2+3..+k) = k(k+1), onde k eh o maior inteiro tal que 2k+1=n, como n e' par n=2m 2k+1=2m = k= m+1/2, logo k = m= n/2 para n impar: quadrados que englobem a primeira coluna: 1 + 2 + 3 + 4+... + k (k-1)+(k-2)+...+1 = 2(1+2+3..+k-1)+k = k^2, onde k eh o menor inteiro tal que 2k+1n, como n e' impar n=2m+1 2k+12m+1 = k m, logo k = m+1= (n+1)/2 Assim F(n)= Somatorio de k=2 ate n de A(k) + F(1) onde A(n)= n/2 ( n/2 + 1) se n e` par, e [(n+1)/2]^2 se n e` impar. Assim: F(2n) = n(n+1)+somatorio de k=1 ate n-1 A(2k)+A(2k+1) + F(1) = 1 + n(n+1)+ somatorio de k=1 ate n-1 de 2k^2 + 3k+1 = 1+ n(n+1)+ n-1 + 3(n-1)n/2 + 2 (n-1)n(2n-1)/6 F(2n+1)= somatorio de k=1 ate n A(2k)+A(2k+1) + F(1) = 1 + Somatorio de k=1 ate n de 2k^2 + 3k+1 = 1 + n + 3n(n+1)/2 + 2n(n+1)(2n+1)/6 fiz meio rapido espero estar certo... Felipe Diniz On Wed, Jul 9, 2008 at 12:05 PM, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote: Na seguinte figura (link no photobucket) http://s317.photobucket.com/albums/mm387/matcult/?action=viewcurrent=quadrados2.jpg Queremos saber o número máximo de quadrados de qualquer tamanho formados pelos quadrados unitários, numa escada com n degrais = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Wanderley Guimarães = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número de quadrados
2008/7/10 Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED]: Se quiserem alguns números dessa sequência, tem aqui nesse link http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=1%2C3%2C7%2C13%2C22%2C34%2C50amp;amp;sort=0fmt=0language=englishamp;go=Search eu cheguei na formula n³/12 +3n²/8+5n/12 +1/16 -1/16 (-1)^n =f(n) Acho que encontrei meu erro. Vamos lá: Quantos quadrados 1x1 posso formar? (n+1 escolhe 2) Quantos quadrados 2x2 posso formar? Bom. Olhando para o canto inferior esquerdo do meu quadrado ele não pode ficar na diagonal que vai de (N,0) a (0, N), pois teríamos 3 unidades 1x1 fora da escada. Também temos que nosso as posições que vão de (N-1,0) a (0, N-1) também não são válidas, pois teríamos 1 unidade 1x1 fora da escada. Logo, (n - 1 escolhe 2) Quantos quadrados IxI posso formar? Novamente, olhando para o canto inferior esquerdo do meu quadrado IxI ele não pode ficar nas diagonais que vão de (N, 0) a (0, N-1) pois teríamos I*I-1 unidades fora da escada, nem na (N-1,0) a (0, N-1) pois teríamos I*I-3 unidades fora da escada, e assim por diante. Logo, (n+1 - i*2 escolhe 2) -- Wanderley Guimarães = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Número de quadrados
Na seguinte figura (link no photobucket) http://s317.photobucket.com/albums/mm387/matcult/?action=viewcurrent=quadrados2.jpg Queremos saber o número máximo de quadrados de qualquer tamanho formados pelos quadrados unitários, numa escada com n degrais = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número de quadrados
Para uma escada de tamanho n, seja F(n) o numero de quadrados temos que F(n)=quadrados que nao englobem a primeira coluna + quadrados que englobem a primeira coluna. quadrados que nao englobem a primeira coluna = F(n-1) para n par: quadrados que englobem a primeira coluna: 1 + 2 + 3 + 4+... + k+k+ (k-1)+(k-2)+...+1 = 2(1+2+3..+k) = k(k+1), onde k eh o maior inteiro tal que 2k+1=n, como n e' par n=2m 2k+1=2m = k= m+1/2, logo k = m= n/2 para n impar: quadrados que englobem a primeira coluna: 1 + 2 + 3 + 4+... + k (k-1)+(k-2)+...+1 = 2(1+2+3..+k-1)+k = k^2, onde k eh o menor inteiro tal que 2k+1n, como n e' impar n=2m+1 2k+12m+1 = k m, logo k = m+1= (n+1)/2 Assim F(n)= Somatorio de k=2 ate n de A(k) + F(1) onde A(n)= n/2 ( n/2 + 1) se n e` par, e [(n+1)/2]^2 se n e` impar. Assim: F(2n) = n(n+1)+somatorio de k=1 ate n-1 A(2k)+A(2k+1) + F(1) = 1 + n(n+1)+ somatorio de k=1 ate n-1 de 2k^2 + 3k+1 = 1+ n(n+1)+ n-1 + 3(n-1)n/2 + 2 (n-1)n(2n-1)/6 F(2n+1)= somatorio de k=1 ate n A(2k)+A(2k+1) + F(1) = 1 + Somatorio de k=1 ate n de 2k^2 + 3k+1 = 1 + n + 3n(n+1)/2 + 2n(n+1)(2n+1)/6 fiz meio rapido espero estar certo... Felipe Diniz On Wed, Jul 9, 2008 at 12:05 PM, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote: Na seguinte figura (link no photobucket) http://s317.photobucket.com/albums/mm387/matcult/?action=viewcurrent=quadrados2.jpg Queremos saber o número máximo de quadrados de qualquer tamanho formados pelos quadrados unitários, numa escada com n degrais = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
