Re: [obm-l] Numeros complexo e formula de Euller...
> Como eu fç pra demonstrar a que r(cosx + isenx)=re^ix ??? > Oi Leonardo, Para verificar a identidade a acima usarei um resultado de calculo, serie de Taylor. Caso vc ainda nao tenha visto serie de Taylor, a ideia da mesma eh aproximar funcoes por polinomios. Primeiramente note que: i^0 = 1 i^1 = i i^2 = -1 (por definicao) i^3 = i * i^2 = -i i^4 = (i^2)^2 = 1 = i^0 De uma forma mais geral, todo interiro deixa resta 0, 1, 2 ou 3 quando dividido por 4. Ou seja, um inteiro naum negativo eh da forma 4k + r, onde k = 0, 1, 2, ... e r = 0, 1, 2 ou 3. Assim, i^(4k + r) = (i^4k) * (i^r) = [(i^4)^k]*(i^r) = (1^k) * (i^r) = i^r. Portanto i^n eh igual a i^r, onde r eh o resto da divisao de n por 4. Note que i^n tem periodicidade 4. A expansao infinita da serie de Taylor da funcao exponencial eh: e^y = 1 + y + (y^2)/2! + . . . + (y^n)/n! + . . . Substituindo y por ix, tem-se: e^(ix) = 1 + ix + [(ix)^2]/2! + [(ix)^3]/3! + [(ix)^4]/4! + . . . Agora agrupa-se os termos com expoentes pares e impares separadamente, logo: e^(ix) = {1 + [(ix)^2]/2! + . . . + [(ix)^(2n)]/ (2n)! + . . .} + {[(ix)^3]/3! + . . . + [(ix)^(2n +1)]/ (2n + 1)! + . . .} Um numero par deixa resto 0 ou 2 quando dividido por 4 e um impar 1 ou 3. Assim, e^(ix) = {1 + (-1)x^2/2! + . . . + [(-1)^n]x^(2n)/ (2n)! + . . .} + {(-1)ix^3/3! + . . . + [(-1)^n]ix^(2n +1)/ (2n + 1)! + . . .} = {1 + (-1)x^2/2! + . . . + [(-1)^n]x^(2n)/ (2n)! + . . .} + i{(-1)x^3/3! + . . . + [(-1)^n]x^(2n +1)/ (2n + 1)! + . . .} Note que a primeira soma eh a expansao infinita da serie de Taylor da funcao cosseno e a segunda da funcao seno. Logo: e^(ix) = cos(x) + i sen(x). []'s Andre Araujo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros complexo e formula de Euller...
> Como eu fç pra demonstrar a que r(cosx + isenx)=re^ix ??? > Oi Leonardo, Para verificar a identidade a acima usarei um resultado de calculo, serie de Taylor. Caso vc ainda nao tenha visto serie de Taylor, a ideia da mesma eh aproximar funcoes por polinomios. Primeiramente note que: i^0 = 1 i^1 = i i^2 = -1 (por definicao) i^3 = i * i^2 = -i i^4 = (i^2)^2 = 1 = i^0 De uma forma mais geral, todo interiro deixa resta 0, 1, 2 ou 3 quando dividido por 4. Ou seja, um inteiro naum negativo eh da forma 4k + r, onde k = 0, 1, 2, ... e r = 0, 1, 2 ou 3. Assim, i^(4k + r) = (i^4k) * (i^r) = [(i^4)^k]*(i^r) = (1^k) * (i^r) = i^r. Portanto i^n eh igual a i^r, onde r eh o resto da divisao de n por 4. Note que i^n tem periodicidade 4. A expansao infinita da serie de Taylor da funcao exponencial eh: e^y = 1 + y + (y^2)/2! + . . . + (y^n)/n! + . . . Substituindo y por ix, tem-se: e^(ix) = 1 + ix + [(ix)^2]/2! + [(ix)^3]/3! + [(ix)^4]/4! + . . . Agora agrupa-se os termos com expoentes pares e impares separadamente, logo: e^(ix) = {1 + [(ix)^2]/2! + . . . + [(ix)^(2n)]/ (2n)! + . . .} + {[(ix)^3]/3! + . . . + [(ix)^(2n +1)]/ (2n + 1)! + . . .} Um numero par deixa resto 0 ou 2 quando dividido por 4 e um impar 1 ou 3. Assim, e^(ix) = {1 + (-1)x^2/2! + . . . + [(-1)^n]x^(2n)/ (2n)! + . . .} + {(-1)ix^3/3! + . . . + [(-1)^n]ix^(2n +1)/ (2n + 1)! + . . .} = {1 + (-1)x^2/2! + . . . + [(-1)^n]x^(2n)/ (2n)! + . . .} + i{(-1)x^3/3! + . . . + [(-1)^n]x^(2n +1)/ (2n + 1)! + . . .} Note que a primeira soma eh a expansao infinita da serie de Taylor da funcao cosseno e a segunda da funcao seno. Logo: e^(ix) = cos(x) + i sen(x). []'s Andre Araujo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros complexo e formula de Euller...
cos x = (e^jx + e^-jx)/2 sin x = (e^jx - e^-jx)/2j cos x + j sin x = (e^jx + e^-jx)/2 + j*(e^jx - e^-jx)/2j cos x + j sin x = (e^jx + e^-jx)/2 + (e^jx - e^-jx)/2 cos x + j sin x = (e^jx + e^jx)/2 cos x + j sin x = 2(e^jx)/2 = e^jx Então r(cos x + j sin x) = re^jx. Obs.: a^b significa a elevado a b e j (voce chama de i) é a sqrt(-1). []s David - Original Message - From: "leonardo mattos" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, June 07, 2003 4:06 PM Subject: [obm-l] Numeros complexo e formula de Euller... > Como eu fç pra demonstrar a que r(cosx + isenx)=re^ix ??? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Numeros complexo e formula de Euller...
Como eu fç pra demonstrar a que r(cosx + isenx)=re^ix ??? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =