[obm-l] OBM 2004 - Nivel U - Prob. 4
Aqui vai minha solução - construtiva - pra esse problema. Obviamente, comentários serão bem-vindos. Para 1 = i = k, seja R_i um vetor de Z^n tal que R_i,P_i = 0 (X,Y = X(1)*Y(1) + X(2)*Y(2) + ... + X(n)*Y(n) = produto interno usual de X e Y). Seja S um vetor de Z^n tal que S,Q = 0. Como, para 1 = i = k,(P_i - Q)/p não pertence a Z^n, vai existir, para cada i, um j(i) (1 = j(i) = n) tal que a j(i)-ésima coordenada de P_i - Q não é divisível por p. Sendo assim, consideremos o polinômio f(X), dado por: f(X) = S,X*Produto(1=i=k) R_i,X + Produto(1=i=k) (P_i(j(i)) - X(j(i))) Para cada i 1 = i = k), f(P_i) = 0, pois R_i,P_i = 0, o que anula o primeiro produtório, e P_i(j(i)) - P_i(j(i)) = 0, o qua anula o segundo. Por outro lado, f(Q) = S,Q*Produto(1=i=k) R_i,Q + Produto(1 =i=k) (P_i(j(i)) - Q(j(i)) = 0*Produto(1=i=k) R_i,Q + Produto dekinteiros não divisíveis por p = Produto dek inteiros não divisíveis por p = Inteiro não divisível por p. Logo, f(P_i) = 0 para 1 = i = k e f(Q)/p não pertence a Z^n. []s, Claudio.
Re: [obm-l] OBM 2004 nivel U
On Wed, Oct 20, 2004 at 11:27:35PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sobre o problema 2, já que o Nicolau comentou uma solução vou mostrar a
minha.
Seja X_i = {x em R; (x,i) nao pertence a A}. Pela segunda condição X_i é
enumerável para todo i natural. Assim o conjunto X=UX_i (a união de todos
os X_i, com i natural) é enumerável, e como R não é enumerável existe x_0
em R que não está em X. Mas neste caso (x_0,i) está em A para todo natural
i, o que contradiz a primeira condição.
Logo não existe A com estas propriedades.
Muito bem.
Pode-se usar fatos como o que R não é enumerável, ou que o X é enumerável
sem demonstrar na prova?
Claro.
Quanto a variação proposta já gastei umas boas horas pensando nela, mas
até agora nada.
Boa sorte. Aliás a variação é um problema que não poderia cair em uma OBM.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] OBM 2004 nivel U
Boa sorte. Aliás a variação é um problema que não poderia cair em uma OBM. []s, N. Isso quer dizer que o axioma da escolha ou algo equivalente deve ser usado em algum momento? []s, Claudio.
Re: [obm-l] OBM 2004 nivel U
On Thu, Oct 21, 2004 at 04:37:16PM -0300, claudio.buffara wrote: Boa sorte. Aliás a variação é um problema que não poderia cair em uma OBM. Isso quer dizer que o axioma da escolha ou algo equivalente deve ser usado em algum momento? Vou tentar responder sem estragar a questão para quem estiver pensando nela. Isso quer dizer que a pergunta como eu fiz aqui na lista não pode plausivelmente ser respondida corretamente dentro do tempo de 4 horas e meia e dentro do material que concordamos que seria uma espécie de programa da OBM-Nível U. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] OBM 2004 nivel U
Sobre o problema 2, já que o Nicolau comentou uma solução vou mostrar a
minha.
Seja X_i = {x em R; (x,i) nao pertence a A}. Pela segunda condição X_i é
enumerável para todo i natural. Assim o conjunto X=UX_i (a união de todos
os X_i, com i natural) é enumerável, e como R não é enumerável existe x_0
em R que não está em X. Mas neste caso (x_0,i) está em A para todo natural
i, o que contradiz a primeira condição.
Logo não existe A com estas propriedades.
Pode-se usar fatos como o que R não é enumerável, ou que o X é enumerável
sem demonstrar na prova?
Quanto a variação proposta já gastei umas boas horas pensando nela, mas
até agora nada.
Até mais
Diogo Diniz P. S. Silva
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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