Roteiro para os cálculos logo abaixo:
- na 1a. passagem, lei da prob total;
- na 2a., definição de prob condicional;
- na 3a., para ter k meninos preciso ter pelo menos k filhos;
- na 4a., a prob condicional é binomial e a outra foi dada no enunciado;
- na 5a., só rearranjei alguns termos.
P(k meninos) =
= soma(n de 0 a infinito) P(k meninos e n filhos) =
= soma(n de 0 a infinito) P(k meninos | n filhos) . P(n filhos) =
= soma(n de k a infinito) P(k meninos | n filhos) . P(n filhos) =
= soma(n de k a infinito) [C(n,k).(1/2)^n] . [a.p^n] =
= a . soma(n de k a infinito) C(n,k).(p/2)^n
Aqui, há dois caminhos possíveis: resolver esse somatório na raça
(derivadas iteradas para tombar os coeficientes e gerar o coeficiente
binomial) ou usar funções geratrizes. Para mim, o segundo caminho
parece mais fácil. Portanto, sendo
g(z) = soma(k de 0 a infinito)
P(k meninos) z^k,
segue que
g(z) =
= a . soma(k de 0 a infinito) soma(n de k a infinito) z^k . C(n,k) . (p/2)^n =
= a . soma(n de 0 a infinito) soma(k de 0 a n) z^k . C(n,k) . (p/2)^n =
= a . soma(n de 0 a infinito) [ (p/2)^n . soma(k de 0 a n) z^k . C(n,k) ] =
= a . soma(n de 0 a infinito) [ (p/2)^n . (1+z)^n ] =
= a . { 1 / ( 1 - [p(1+z)/2] ) } =
= [2a/(2-p)] . { 1 / ( 1 - [p/(2-p)]z ) } =
= [2a/(2-p)] . soma(i de 0 a infinito) C(-1,i) . [-p/(2-p)]^i . z^i =
= [2a/(2-p)] . soma(i de 0 a infinito) (-1)^i . [-p/(2-p)]^i . z^i =
= P(k meninos) = (2a . p^k) / [ (2-p)^(k+1) ],
e as justificativas são:
- na 1a. passagem, definição da função geratriz;
- na 2a., inversão da ordem dos somatórios (importantes questões de convergência estão sendo omitidas);
- na 3a., rearranjei um termo;
- na 4a., teorema binomial usual;
- na 5a., soma de série geométrica;
- na 6a., rearranjei termos;
- na 7a., teorema binomial generalizado;
- na 8a., coeficiente binomial generalizado;
- na 9a., da definição da função geratriz.
Recomendo àqueles não familiarizados com algumas das técnicas
mencionadas acima (funções geratrizes, teorema binomial generalizado,
coef. bin. generalizado), que dêem uma olhada no excelente livro
Introdução à Análise Combinatória, de Santos, Mello Murari, Ed.
da Unicamp.
Espero ter sido claro. Abraços, Leo.
On 3/18/06, Rodrigo Guarino [EMAIL PROTECTED]
wrote:Primeiramente gostaria de agradecer
ao Ronaldo Luiz e ao Marcelo Salhab pela atenção dada ao meu pbm de
probabilidade postada no dia 9 de Mar. Infelizmente
no entanto continuo sem saber como resolvê-lo, mas consegui acesso a
resposta, após encontrá-lo com um enunciado de demonstração em outro
livro. Agradeço já de antemão qualquer ajuda que possa ser dada.A nova versão é:Problema 1:=A
probabilidade que uma família possua exatamente n crianças é a*(p^n)
quando n=1 e 1 - a*p(1+p+p^2+) quando n = 0. Suponha que todas
as distribuições de sexo das n crianças tenham a mesma
probabilidade.Prove que aprobabilidade que uma família
possua exatamente k meninos é (2*a*p^k) / (2-p)^(k+1). Além
desse tem um outro, que eu consegui chegar numa resposta, MAS que não
bate com o gabarito do livro. Novamente qualquer ajuda é bem vinda :-)Problema 2: =A
probabilidade de um carro passar durante um segundo qualquer em uma rua
é p. Supondo que não exista interação entre o passar dos carros em
segundos diferentes e supondo também que o segundo é uma unidade de
tempo indivisível, assumimos que o modelo de tentativas de Bernouli
seja válido. Suponha agora que parapedestre pode atravessar a rua
somente se nenhum carro passar durante três segundos consecutivos. Ache
a probabilidade do pedestre ter que esperar exatamente por k = 0,1,2,3
e 4 segundos.Comentário: acertei para k = 0 e k = 1. Mas não estou conseguindo entender a resposta para k = 2 e k = 3.
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