Re: [obm-l] Primos em PA

[Cláudio \(Prática\)]

Oi, Gugu:

Agora entendi!  Se toda PA (Kx + L) com mdc(K,L) = 1 contiver um primo,
então o teorema de Dirichlet é verdadeiro.

Mas ainda acho que o enunciado original do problema poderia ser melhor
redigido...

De qualquer forma, muito obrigado.

Um abraço,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Primos em PA

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira]

- Original Message -
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, June 12, 2003 1:09 AM
Subject: Re: [obm-l] Primos em PA


Caro Claudio,
O teorema de Dirichlet claramente implica a afirmacao do problema 8.
Por
 outro lado, dados inteiros primos entre si a e b, com b1, a afirmacao do
 problema 8 implica que para todo n existe um primo congruente a a+b.n
modulo
 b^n. Esse primo claramente tambem e' congruente a a modulo b, e nao e'
dificil
 ver que dessse jeito geramos infinitos primos, e portanto existem
infinitos
 primos congruentes a a modulo b. Isso resolve o problema 8 abaixo.

Oi, Gugu:

Desculpe a minha lerdeza mental, mas o fato de existirem infinitos primos
congruentes a a modulo b não é justamente a conclusão do teorema de
Dirichlet?

Ou seja, a meu ver você acabou de provar que se mdc(a,b) = 1 e se existe um
primo da forma a + bn, então existem infinitos primos dessa forma. Ou estou
enganado?

   Bem, Claudio, o que eu provei foi que se mdc(a,b)=1 e se, PARA QUAISQUER
A e B com mdc(A,B)=1 existe algum primo congruente a A modulo B entao
existem infinitos primis congruentes a a modulo b. Na prova desse fato eu
uso infinitos valores be B (B=b^n), apesar de a e b estarem fixos. E' um
pouco diferente... Para conseguir infinitos primos congruentes a 2 modulo 5
eu precisaria de conseguir algum primo em certas classes de congruencia
modulo 5, modulo 25, modulo 125, modulo 625, etc, e nao apenas saber que
existe algum primo congruente a 2 modulo 5.
   Abracos,
Gugu


 Apesar
 disso, sem o teorema de Dirichlet, continuamos sem conhecer uma prova
 simples da existencia de infinitos primos congruentes a 2 modulo 5...

De acordo com o que você provou, não.
Basta tomar a = 2, b = 5 e verificar que mdc(a,b) = 1 e que a + b*1 = 7 é
primo.

Abracos,
Gugu

 
Um abraço,
Claudio.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Primos em PA

[Cludio \(Prtica\)]

Title: Help



Oi, Gugu:

S pra formalizar a nossa discusso:

O problema foi tirado do livro "Elementary Theory of Numbers", escrito por 
William J. LeVeque - editora Dover - 1990(originalmente Addison-Wesley - 
1962)- captulo 3, seo 3-5, problemas 7 e 8.

Os enunciados originais so:
"7. A famous theorem of P.L.Dirichlet asserts that ifK and L are 
relatively prime, then there are infinitely many primes of the form Kx + L. The 
proof is rather difficult. (...)

8. Show that Dirichlet's theorem implies, and is implied by, the following 
assertion: if (K,L) = 1, then there is at least one prime of the form Kx + 
L."

Naturalmente, K, L e x so inteiros e (K,L) = mdc de K e L.

O minha interpretao do enunciadodo problema 8 a 
seguinte:
"Se K e L so inteiros primos entre si, ento:
Existe um primo da forma Kx + L se e somente se existem infinitos primos da 
forma Kx + L."

Onde eu estou errando?


Um abrao,
Claudio.