[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema olimpíada de maio

2019-01-23 Por tôpico Ralph Teixeira 
Sim, nao vi porque que algum resto apareceria mais do que os outros...
Achei que eu conseguiria uma funcao que levasse cada classe de restos numa
outra, mas soh consegui pareamentos. Com os dois paremntos, deu.

On Wed, Jan 23, 2019 at 10:27 AM Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> wrote:

> Bela solução!! mas qual foi o teu insight? Desconfiança de que havia uma
> distribuição uniforme dos restos possíveis?
> Att.
>
> Em qua, 23 de jan de 2019 às 00:47, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Hm, tive uma ideia, confiram se funciona.
>>
>> Seja S o conjunto dos numeros obtidos pela permutacao dos digitos de 1 a
>> 7, e seja x_i a quantidade de elementos de S que deixam resto i na divisao
>> por 7 (i=0,1,2,3,4,5,6).
>>
>> Agora vamos fazer dois pareamentos. (Ou seja, vamos criar funcoes
>> f,g:S->S tal que f(f(N))=N e g(g(N))=N para todo N em S).
>>
>> PRIMEIRO: No primeiro pareamento, troque cada digito x de N=abcdefg pelo
>> digito 8-x obtendo o numero f(N) (por exemplo, o numero N=1574326 eh
>> pareado com f(N)=7314562). Claramente, f(N) esta em S, e f(f(N))=N. Como a
>> soma desses dois numeros eh N+f(N)=888, que deixa resto 1 na divisao
>> por 7, temos automaticamente que:
>> -- Se N mod 7 = 1, entao f(N) mod 7 = 0; em outras palavras para cada
>> numero N que deixa resto 1, temos exatamente um numero f(N) que deixa resto
>> 0, e vice-versa; portanto x_1=x_0.
>> -- Se N mod 7 = 2, entao f(N) mod 7 = 6; portanto x_2=x_6.
>> -- Analogamente, x_3=x_5.
>>
>> SEGUNDO: Agora, g(N) eh obtido a partir de N trocando cada digito x por
>> 7-x, EXCETO O DIGITO 7 que eh mantido. Por exemplo, se N=1754326 entao
>> g(N)=6723451. Claramente g(N) estah em S, e g(g(N))=N. Agora, N+g(N) mod 7
>> = 777 = 0 (pois aquele 7 extra pode ser jogado fora sem alterar o resto
>> modulo 7). Assim, de maneira analoga ao pareamento anterior, concluimos que:
>> -- x_1=x_6; x_2=x_5; x_3=x_4.
>>
>> Encadeando tudo, concluimos que x_0=x_1=x_2=...=x_6. Assim, o numero
>> pedido eh x_0=#(S)/7=6!.
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> On Tue, Jan 22, 2019 at 9:57 PM Heitor Gama Ribeiro <
>> heitor...@hotmail.com> wrote:
>>
>>> Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de
>>> todas as maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são
>>> divisíveis por 7?
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema olimpíada de maio

2019-01-23 Por tôpico Mauricio de Araujo 
Bela solução!! mas qual foi o teu insight? Desconfiança de que havia uma
distribuição uniforme dos restos possíveis?
Att.

Em qua, 23 de jan de 2019 às 00:47, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Hm, tive uma ideia, confiram se funciona.
>
> Seja S o conjunto dos numeros obtidos pela permutacao dos digitos de 1 a
> 7, e seja x_i a quantidade de elementos de S que deixam resto i na divisao
> por 7 (i=0,1,2,3,4,5,6).
>
> Agora vamos fazer dois pareamentos. (Ou seja, vamos criar funcoes f,g:S->S
> tal que f(f(N))=N e g(g(N))=N para todo N em S).
>
> PRIMEIRO: No primeiro pareamento, troque cada digito x de N=abcdefg pelo
> digito 8-x obtendo o numero f(N) (por exemplo, o numero N=1574326 eh
> pareado com f(N)=7314562). Claramente, f(N) esta em S, e f(f(N))=N. Como a
> soma desses dois numeros eh N+f(N)=888, que deixa resto 1 na divisao
> por 7, temos automaticamente que:
> -- Se N mod 7 = 1, entao f(N) mod 7 = 0; em outras palavras para cada
> numero N que deixa resto 1, temos exatamente um numero f(N) que deixa resto
> 0, e vice-versa; portanto x_1=x_0.
> -- Se N mod 7 = 2, entao f(N) mod 7 = 6; portanto x_2=x_6.
> -- Analogamente, x_3=x_5.
>
> SEGUNDO: Agora, g(N) eh obtido a partir de N trocando cada digito x por
> 7-x, EXCETO O DIGITO 7 que eh mantido. Por exemplo, se N=1754326 entao
> g(N)=6723451. Claramente g(N) estah em S, e g(g(N))=N. Agora, N+g(N) mod 7
> = 777 = 0 (pois aquele 7 extra pode ser jogado fora sem alterar o resto
> modulo 7). Assim, de maneira analoga ao pareamento anterior, concluimos que:
> -- x_1=x_6; x_2=x_5; x_3=x_4.
>
> Encadeando tudo, concluimos que x_0=x_1=x_2=...=x_6. Assim, o numero
> pedido eh x_0=#(S)/7=6!.
>
> Abraco, Ralph.
>
> On Tue, Jan 22, 2019 at 9:57 PM Heitor Gama Ribeiro 
> wrote:
>
>> Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de
>> todas as maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são
>> divisíveis por 7?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



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Abraços,
Mauricio de Araujo
[oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Problema olimpíada de maio

2019-01-22 Por tôpico Ralph Teixeira 
Hm, tive uma ideia, confiram se funciona.

Seja S o conjunto dos numeros obtidos pela permutacao dos digitos de 1 a 7,
e seja x_i a quantidade de elementos de S que deixam resto i na divisao por
7 (i=0,1,2,3,4,5,6).

Agora vamos fazer dois pareamentos. (Ou seja, vamos criar funcoes f,g:S->S
tal que f(f(N))=N e g(g(N))=N para todo N em S).

PRIMEIRO: No primeiro pareamento, troque cada digito x de N=abcdefg pelo
digito 8-x obtendo o numero f(N) (por exemplo, o numero N=1574326 eh
pareado com f(N)=7314562). Claramente, f(N) esta em S, e f(f(N))=N. Como a
soma desses dois numeros eh N+f(N)=888, que deixa resto 1 na divisao
por 7, temos automaticamente que:
-- Se N mod 7 = 1, entao f(N) mod 7 = 0; em outras palavras para cada
numero N que deixa resto 1, temos exatamente um numero f(N) que deixa resto
0, e vice-versa; portanto x_1=x_0.
-- Se N mod 7 = 2, entao f(N) mod 7 = 6; portanto x_2=x_6.
-- Analogamente, x_3=x_5.

SEGUNDO: Agora, g(N) eh obtido a partir de N trocando cada digito x por
7-x, EXCETO O DIGITO 7 que eh mantido. Por exemplo, se N=1754326 entao
g(N)=6723451. Claramente g(N) estah em S, e g(g(N))=N. Agora, N+g(N) mod 7
= 777 = 0 (pois aquele 7 extra pode ser jogado fora sem alterar o resto
modulo 7). Assim, de maneira analoga ao pareamento anterior, concluimos que:
-- x_1=x_6; x_2=x_5; x_3=x_4.

Encadeando tudo, concluimos que x_0=x_1=x_2=...=x_6. Assim, o numero pedido
eh x_0=#(S)/7=6!.

Abraco, Ralph.

On Tue, Jan 22, 2019 at 9:57 PM Heitor Gama Ribeiro 
wrote:

> Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de
> todas as maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são
> divisíveis por 7?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Problema olimpíada de maio

2019-01-22 Por tôpico Heitor Gama Ribeiro 
Consideramos todos os números de 7 dígitos que se obtém permutando de todas as 
maneiras possíveis os dígitos de 1234567. Quantos deles são divisíveis por 7?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Problema olimpíada de maio

2018-05-10 Por tôpico Pedro José 
Boa noite!
Múltiplos de 56 tem como últimos algarismos 0, 2, 4, 6 e 8.
Vamos escolher 8 para começar, pois é o que tem a chance de ter o maior
número de algarismos.
Para ter 8 algarismos 12345678, deveria ser múltiplo de 56. Mas 4 não
divide 78 então não pode ser múltiplo de 56(7×8).
Então vamos tentar com 7 algarismos. 1234568
Como 8 | 568. Basta testar para 7.
123456 - 16 = 123440
12344
1234-8=1226
122-12=110
11
7 não divide 11 Então não serve.
Vamos tentar com 6 algarismos.
234568
Basta ver para 7, para 8 Já vimos que 8 | 568.
23456-16=  23440
2344
234-8=226
22-12=10 e 7 não divide 10.
Não presta.
134568.
Basta ver para 7 como já comentado.
13456-16=13440
1344
134-8=126
12-12= 0. Então serve.
O único que pode ter 6 algarismos é um número de final 6.
Porém seria um número  <=123456 <134568
Logo 134568 é o maior múltiplo de 56 que atende.
Deve ter um jeito mais elegante de resolver, usando congruência. Mas está
resolvido.

Saudações,
PJMS

Em 10 de mai de 2018 8:52 PM, "Arthur Vieira" 
escreveu:

> preciso de ajuda com esse problema
>
>
> PROBLEMA 1
>
> Dizemos que um número inteiro positivo é ascendente se seus dígitos
> lidos da esquerda para a direita estão em ordem estritamente crescente.
> Por exemplo, 458 é ascendente e 2339 não é.
> Determine o maior número ascendente que é múltiplo de 56.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] [obm-l] Problema olimpíada de maio

2018-05-10 Por tôpico Arthur Vieira 
preciso de ajuda com esse problema


PROBLEMA 1

Dizemos que um número inteiro positivo é ascendente se seus dígitos
lidos da esquerda para a direita estão em ordem estritamente crescente.
Por exemplo, 458 é ascendente e 2339 não é.
Determine o maior número ascendente que é múltiplo de 56.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.