Re: [obm-l] Probleminhas legais
1. O produto de alguns primos é igual a 10 vezes a soma desses primos. Quais são esses primos( não necessariamente distintos)? sejam p1, p2 ... p[n] tais primos: (p1 + p2 + ... + p[n]).2.5 = p1.p2.p3...p[n] assuma sem perda de generalidade então que p1 = 2 e p2 = 5 já que esses dois primos devem aparecer em ambos os lados. 7 + p3 + p4 + ... + p[n] = p3.p4...p[n] 2 + 3 = 5 2 * 3 = 6 tome r, s = 0 inteiros (2 + r) + (3 + s) = 5 + r + s (2 + r).(3 + s) = 6 + r*s + 3r + 2s é evidente que (2 + r) + (3 + s) (2 + r).(3 + s) isso nos demonstra a idéia intuitiva de que o produto de dois primos que não sejam 2 e 2 é maior que a soma desses mesmos primos! essa idéia segue para um número maior de fatores também: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = k*2 2*2*2...*2 = 2^k k*2 2^k para todo k 2 sejam r1, r2, ... rk = 0 inteiros e pelo menos um k[i] = 1 (2 + r1)(2 + r2)...(2 + rk) 2^k + r1 + r2 + ... + rk 2*k + r1 + r2 + ... + rk = (2 + r1) + (2 + r2) + ... + (2 + rk) sendo assim, como 7 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15 2^4 = 16 não deve haver mais do que 4 primos além de p1 e p2 7 + 2 + 2 + 2 + 3 = 16 2^3*3 = 24, logo não há mais do que 3 primos além de p1 e p2 7 + 2 + 2 + 3 = 14 != 2*2*3 = 12 7 + 2 + 3 + 3 = 15 2*3*3 = 18, logo não há mais do que 2 primos além de p1 e p2, mas obviamente com 1 primo só eu nunca vou ter 7 + p3 = p3, logo se existe solução ela possui exatamente 4 primos 7 + 2 + 3 = 12 != 2*3 = 6 7 + 3 + 3 = 13 != 3*3 = 9 7 + 2 + 5 = 14 != 2*5 = 10 7 + 3 + 5 = 15 == 3*5 essa é a única solução, pois, como vimos, para r1, r2 = 0, (3 + r1).(5 + r2) = 3 + 5 + r1 + r2 = r1 = r2 = 0 logo 2.3.5.5 = 150 = 10(2 + 3 + 5 + 5) [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Probleminhas legais
2. Considere f:Q - Q tal que f(x + f(y)) = f(x).f(y) para todo x,y pertencentes a Q. Prove que f é constante. seja f : Q - Q f(x + f(y)) = f(x).f(y) i) suponha que existe x0 tq. f(x0) = 0 f(a + f(x0)) = f(a + 0) = f(a) f(a + f(x0)) = f(a).f(x0) = f(a).0 = 0 logo f(a) = 0 para todo a, sendo assim, f(x) = 0, logo f é constante ii) suponha que existe y0 tq. f(y0) = 1 f(x + f(y0)) = f(x).f(y0) ou seja f(x + 1) = f(x) para todo x f(y0 + f(x)) = f(y0).f(x) = f(x) f(n.y0 + f(x)) = f(x) para todo n = 1 inteiro seja f(x0) = a != 1 f(n.y0 + a) = f(x0) = a suponha y0 = u/v com u, v inteiros f(v.y0 + a) = f(u + a) = a mas f(u + a) = f(u - 1 + a) = ... = f(a) f(a) = a f(a + f(a)) = f(a).f(a) = f(a)² = a^2 f(n.a) = a^n para n = 1 inteiro se a = w/z com w, z inteiros f(z.a) = f(w) = a^z f(2z.a) = f(2w) = a^(2z), mas f(2w) = f(2w - 1) = ... = f(w) logo a^z = a^(2z) = a^z = 1 = a = 1 (pois z != 0), mas a != 1 logo f(x) = 1. seja f(0) = c != 0 (estamos excluindo o caso i) seja n = 1 inteiro: f(x + n.f(y)) = f(x + (n-1).f(y) + f(y)) = f(x + (n-1).f(y)).f(y) ou seja: f(x + n.f(y)) = f(x).f(y)^n seja y0 tq. f(y) = a/b != 0 f(-a + b.f(y)) = f(-a).f(y)^b f(-a + b.(a/b)) = f(0) = c = f(-a).(a/b)^b f(-a) = c.(b/a)^b mas f(y) = (m.a)/(m.b) para qualquer inteiro m != 0, logo f(-a) = c(m.b/m.a)^(m.b) = c.(b/a)^(m.b) logo: c.(b/a)^b = c.(b/a)^(2b) = c.(b/a)^(3b) = ... como c != 0 e b/a != 0 c.(b/a)^(2b) = c.(b/a)^b.(b/a)^b = c.(b/a)^b (b/a)^b = 1 logo b/a = 1 e f(y) = 1, caímos no caso (ii), logo f é constante! [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Probleminhas legais
Ola amigos da lista, Como carnaval é uma época de resolver problemas então vou mandar uns problemas que tentei resolver nesse carnaval. 1. O produto de alguns primos é igual a 10 vezes a soma desses primos. Quais são esses primos( não necessariamente distintos)? 2. Considere f:Q - Q tal que f(x + f(y)) = f(x).f(y) para todo x,y pertencentes a Q. Prove que f é constante. Cícero Thiago -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
